文档内容
2017 年河南省中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中比1大的数是（ ）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3
2．（3分）2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元，数据“74.4万亿”用
科学记数法表示（ ）
A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015
3．（3分）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（ ）
A． B． C． D．
1 3
4．（3分）解分式方程 ﹣2= ，去分母得（ ）
x-1 1-x
A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3
5．（3分）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，
95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．95分，95分 B．95分，90分C．90分，95分D．95分，85分
6．（3分）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
7．（3分）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不
能判定 ▱ABCD是菱形的只有（ ）
第1页（共31页）A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2
8．（3分）如图是一次数学活动可制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区
域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指
针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两
个数字都是正数的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
8 6 4 2
9．（3分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边
长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，
B，把正方形沿箭头方向推，使点 D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点
C′的坐标为（ ）
A．（√3，1） B．（2，1） C．（1，√3） D．（2，√3）
10．（3分）如图，将半径为 2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转
60°，点O，B的对应点分别为 O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（
）
第2页（共31页）2π π 2π 2π
A． B．2√3﹣ C．2√3﹣ D．4√3﹣
3 3 3 3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：23﹣√4= ．
{
&x-2≤0
12．（3分）不等式组 x-1 的解集是 ．
& ＜x
2
2
13．（3分）已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=﹣ 的图象上，则
x
m与n的大小关系为 ．
14．（3 分）如图 1，点 P 从△ABC 的顶点 B 出发，沿 B→C→A 匀速运动到点
A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为
曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=√2+1，点M，N分别
是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落
在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 ．
第3页（共31页）三、解答题（本题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中
x=√2+1，y=√2﹣1．
17．（9分）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校
部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．
调查结果统计表
组别 分组（单位：元） 人数
A 0≤x＜30 4
B 30≤x＜60 16
C 60≤x＜90 a
D 90≤x＜120 b
E x≥120 2
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次被调查的同学共有 人，a+b= ，m= ；
（2）求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；
（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额 x在60≤x＜120范围的
人数．
18．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，
过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．
（1）求证：BD=BF；
（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．
第4页（共31页）19．（9分）如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两
船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方
向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东
53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船
4 3
至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，
5 5
4
tan53°≈ ，√2≈1.41）
3
k
20．（9分）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点
x
A（m，3）和B（3，1）．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的
面积为S，求S的取值范围．
第5页（共31页）21．（10分）学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A
种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数
相同．
（1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔
方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明
选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
22．（10 分）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D，E 分别在边
AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判
断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE 绕点 A在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出
第6页（共31页）△PMN面积的最大值．
2
23．（11 分）如图，直线 y=﹣ x+c与x轴交于点 A（3，0），与 y轴交于点
3
4
B，抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A，B．
3
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛
物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点
M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段
的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得
M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
第7页（共31页）2017 年河南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•河南）下列各数中比1大的数是（ ）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【考点】18：有理数大小比较．
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【分析】根据正数大于零、零大于负数，可得答案．
【解答】解：2＞0＞﹣1＞﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数大小比较，利用正数大于零、零大于负数是解题关
键．
2．（3分）（2017•河南）2016年，我国国内生产总值达到 74.4万亿元，数据
“74.4万亿”用科学记数法表示（ ）
A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数
点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，
n是负数．
【解答】解：将74.4万亿用科学记数法表示为：7.44×1013．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2017•河南）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是
（ ）
第8页（共31页）A． B． C． D．
【考点】U3：由三视图判断几何体．
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【分析】左视图是从左边看到的，据此求解．
【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为
2，1，
D不符合，
故选D．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的构
成，难度不大．
1 3
4．（3分）（2017•河南）解分式方程 ﹣2= ，去分母得（ ）
x-1 1-x
A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11 ：计算题；522：分式方程及应用．
【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母x﹣1得到结果，即可作出判断．
1 3
【解答】解：分式方程整理得： ﹣2=﹣ ，
x-1 x-1
去分母得：1﹣2（x﹣1）=﹣3，
故选A
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
5．（3分）（2017•河南）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，
85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别
是（ ）
第9页（共31页）A．95分，95分 B．95分，90分C．90分，95分D．95分，85分
【考点】W5：众数；W4：中位数．
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【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和
中位数，本题得以解决．
【解答】解：位于中间位置的两数分别是95分和95分，
故中位数为95分，
数据95出现了3次，最多，
故这组数据的众数是95分，
故选A．
【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会
找一组数据的众数和中位数．
6．（3分）（2017•河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与
△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，
方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
7．（3分）（2017•河南）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添
加下列条件不能判定 ▱ABCD是菱形的只有（ ）
第10页（共31页）A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2
【考点】L9：菱形的判定；L5：平行四边形的性质．
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【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：A、正确．对角线相等是平行四边形的菱形．
B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．
C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．
故选C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练
掌握菱形的判定方法．
8．（3分）（2017•河南）如图是一次数学活动可制作的一个转盘，盘面被等
分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转
盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重
转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
8 6 4 2
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两
个数字都是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两个数字都是正数的有4种情况，
第11页（共31页）4 1
∴两个数字都是正数的概率是： = ．
16 4
故选：C．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可
以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状
图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率=所求情况数与总情况
数之比．
9．（3分）（2017•河南）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直
角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点
O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，
则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（√3，1） B．（2，1） C．（1，√3） D．（2，√3）
【考点】LE：正方形的性质；D5：坐标与图形性质；L1：多边形．
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1
【分析】由已知条件得到 AD′=AD=2，AO= AB=1，根据勾股定理得到 OD′=
2
√AD'2-OA2=√3，于是得到结论．
【解答】解：∵AD′=AD=2，
1
AO= AB=1，
2
∴OD′=√AD'2-OA2=√3，
∵C′D′=2，C′D′∥AB，
∴C（2，√3），
故选D．
第12页（共31页）【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识
别图形是解题的关键．
10．（3分）（2017•河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点
A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分
的面积是（ ）
2π π 2π 2π
A． B．2√3﹣ C．2√3﹣ D．4√3﹣
3 3 3 3
【考点】MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．
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【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的想知道的∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边
三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到
∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
1 60⋅π×22
∴图中阴影部分的面积=S ﹣（S ﹣S ）= ×1×2√3﹣（
△B′O′B 扇形O′OB △OO′B
2 360
第13页（共31页）1 2π
﹣ ×2×√3）=2√3﹣ ．
2 3
故选C．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）（2017•河南）计算：23﹣√4= 6 ．
【考点】22：算术平方根；1E：有理数的乘方．
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【分析】明确√4表示4的算术平方根，值为2．
【解答】解：23﹣√4=8﹣2=6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了算术平方根和有理数的乘方的定义，是一个基础题目，
比较简单．
{
&x-2≤0
12．（3分）（2017•河南）不等式组 x-1 的解集是 ﹣ 1 ＜ x ≤ 2 ．
& ＜x
2
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的公共部分，
{
&x-2≤0①
【解答】解： x-1
& ＜x②
2
解不等式①0得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，
故答案为﹣1＜x≤2．
第14页（共31页）【点评】题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的
关键是求出不等式组的解集．
13．（3分）（2017•河南）已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=﹣
2
的图象上，则m与n的大小关系为 m ＜ n ．
x
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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2
【分析】由反比例函数y=﹣ 可知函数的图象在第二、第四象限内，可以知道
x
在每个象限内，y随x的增大而增大，根据这个判定则可．
2
【解答】解：∵反比例函数y=﹣ 中k=﹣2＜0，
x
∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵0＜1＜2，
∴A、B两点均在第四象限，
∴m＜n．
故答案为m＜n．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反
比例函数图象所在的象限是解答此题的关键．
14．（3分）（2017•河南）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀
速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，
其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 1 2 ．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
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【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运
动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．
第15页（共31页）【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B先A运动时，BP的最大值为5，
即BC=5，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，
即BP⊥AC，BP=4，
∴由勾股定理可知：PC=3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PA=3，
∴AC=6，
1
∴△ABC的面积为： ×4×6=12
2
故答案为：12
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与
AC的长度，本题属于中等题型．
15．（3 分）（2017•河南）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BC=√2
+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B
1
的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 √2+
2
1
或 1 ．
2
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KW：等腰直角三角形．
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【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结
论；②如图 2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到 CM=√2
MB′，列方程即可得到结论．
第16页（共31页）【解答】解：①如图1，
当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，
1 1 1
∴BM= BC= √2+ ；
2 2 2
②如图2，当∠MB′C=90°，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形，
∴CM=√2MB′，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，
∴BM=B′M，
∴CM=√2BM，
∵BC=√2+1，
∴CM+BM=√2BM+BM=√2+1，
∴BM=1，
1 1
综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 √2+ 或1，
2 2
1 1
故答案为： √2+ 或1．
2 2
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作
出图形是解题的关键．
第17页（共31页）三、解答题（本题共8个小题，满分75分）
16．（8分）（2017•河南）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x
（x﹣y），其中x=√2+1，y=√2﹣1．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
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【专题】11 ：计算题．
【分析】首先化简（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），然后把x=√2+1，
y=√2﹣1代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）
=4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
=9xy
当x=√2+1，y=√2﹣1时，
原式=9（√2+1）（√2﹣1）
=9×（2﹣1）
=9×1
=9
【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值问题，要熟练掌握，解答
此题的关键是要明确：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整
式的值．
17．（9分）（2017•河南）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随
机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图
表．
调查结果统计表
组别 分组（单位：元） 人数
A 0≤x＜30 4
B 30≤x＜60 16
C 60≤x＜90 a
D 90≤x＜120 b
E x≥120 2
请根据以上图表，解答下列问题：
第18页（共31页）（1）填空：这次被调查的同学共有 5 0 人，a+b= 2 8 ，m= 8 ；
（2）求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；
（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额 x在60≤x＜120范围的
人数．
【考点】VB：扇形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．
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【分析】（1）根据B组的频数是16，对应的百分比是32%，据此求得调查的总
人数，利用百分比的意义求得b，然后求得a的值，m的值；
（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数1000乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：（1）调查的总人数是16÷32%=50（人），
则b=50×16%=8，a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20，
4
A组所占的百分比是 =8%，则m=8．
50
a+b=8+20=28．
故答案是：50，28，8；
20
（2）扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°× =144°；
50
28
（3）每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数是1000× =560（人）．
50
【点评】本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解
题关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．（9分）（2017•河南）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交
AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．
（1）求证：BD=BF；
（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．
第19页（共31页）【考点】MC：切线的性质；KH：等腰三角形的性质．
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【分析】（1）根据圆周角定理求出BD⊥AC，∠BDC=90°，根据切线的性质得出
AB⊥BF，求出∠ACB=∠FCB，根据角平分线性质得出即可；
（2）求出AC=10，AD=6，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出BC即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴BD⊥AC，∠BDC=90°，
∵BF切⊙O于B，
∴AB⊥BF，
∵CF∥AB，
∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB=∠FCB，
∵BD⊥AC，BF⊥CF，
∴BD=BF；
（2）解：∵AB=10，AB=AC，
∴AC=10，
∵CD=4，
∴AD=10﹣4=6，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD=√102-62=8，
第20页（共31页）在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC=√82+42=4√5．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判
定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
19．（9分）（2017•河南）如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，
某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在
A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C
在其南偏东 53°方向，已知 A 船的航速为 30 海里/小时，B 船的航速为 25 海
4
里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈ ，
5
3 4
cos53°≈ ，tan53°≈ ，√2≈1.41）
5 3
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【分析】如图作 CE⊥AB于E．设AE=EC=x，则 BE=x﹣5，在 Rt△BCE中，根据
EC 4 x
tan53°= ，可得 = ，求出x，再求出BC、AC，分别求出A、B两船到C的
BE 3 x-5
时间，即可解决问题．
【解答】解：如图作CE⊥AB于E．
第21页（共31页）在Rt△ACE中，∵∠A=45°，
∴AE=EC，设AE=EC=x，则BE=x﹣5，
在Rt△BCE中，
EC
∵tan53°= ，
BE
4 x
∴ = ，
3 x-5
解得x=20，
∴AE=EC=20，
∴AC=20√2=28.2，
EC
BC= =25，
sin53°
28.2 25
∴A船到C的时间≈ =0.94小时，B船到C的时间= =1小时，
30 25
∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、锐角三角函数、速度、
时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中
考常考题型．
k
20．（9分）（2017•河南）如图，一次函数 y=﹣x+b与反比例函数 y= （x＞
x
0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．
3
（1）填空：一次函数的解析式为 y=﹣ x + 4 ，反比例函数的解析式为 y =
x
；
（2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的
第22页（共31页）面积为S，求S的取值范围．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】（1）先将B（3，1）代入反比例函数即可求出k的值，然后将A代入
反比例函数即可求出m的，再根据B两点的坐标即可求出一次函数的解析式．
（2）设P的坐标为（x，y），由于点P在直线AB上，从而可知PD=y，OD=x，
由题意可知：1≤x≤3，从而可求出S的范围
k
【解答】解：（1）将B（3，1）代入y= ，
x
∴k=3，
3
将A（m，3）代入y= ，
x
∴m=1，
∴A（1，3），
将A（1，3）代入代入y=﹣x+b，
∴b=4，
∴y=﹣x+4
（2）设P（x，y），
由（1）可知：1≤x≤3，
∴PD=y=﹣x+4，OD=x，
1
∴S= x（﹣x+4），
2
∴由二次函数的图象可知：
3
S的取值范围为： ≤S≤2
2
3
故答案为：（1）y=﹣x+4；y= ．
x
第23页（共31页）【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次
函数与反比例函数的解析式，本题属于中等题型．
21．（10分）（2017•河南）学校“百变魔方”社团准备购买 A，B两种魔方，
已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B
种魔方所需款数相同．
（1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔
方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明
选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
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【分析】（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据
“购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种
魔方所需款数相同”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结
论；
（2）设购进 A种魔方m个（0≤m≤50），总价格为w元，则购进 B种魔方
（100﹣m）个，根据两种活动方案即可得出w 、w 关于m的函数关系
活动一 活动二
式，再分别令w ＜w 、w =w 和w ＞w ，解出m的取值
活动一 活动二 活动一 活动二 活动一 活动二
范围，此题得解．
【解答】解：（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，
{&2x+6 y=130
根据题意得： ，
&3x=4 y
第24页（共31页）{&x=20
解得： ．
& y=15
答：A种魔方的单价为20元/个，B种魔方的单价为15元/个．
（2）设购进 A种魔方m个（0≤m≤50），总价格为w元，则购进 B种魔方
（100﹣m）个，
根据题意得：w =20m×0.8+15（100﹣m）×0.4=10m+600；
活动一
w =20m+15（100﹣m﹣m）=﹣10m+1500．
活动二
当w ＜w 时，有10m+600＜﹣10m+1500，
活动一 活动二
解得：m＜45；
当w =w 时，有10m+600=﹣10m+1500，
活动一 活动二
解得：m=45；
当w ＞w 时，有10m+600＞﹣10m+1500，
活动一 活动二
解得：45＜m≤50．
综上所述：当m＜45时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=45时，选择两种
活动费用相同；当m＞45时，选择活动二购买魔方更实惠．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、解一元一次不
等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x、y
的二元一次方程组；（2）根据两种活动方案找出w 、w 关于m的函数
活动一 活动二
关系式．
22．（10分）（2017•河南）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，
E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中
点．
（1）观察猜想
图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 PM=PN ，位置关系是
PM ⊥ PN ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判
断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
第25页（共31页）把△ADE 绕点 A在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出
△PMN面积的最大值．
【考点】RB：几何变换综合题．
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1 1
【分析】（1）利用三角形的中位线得出 PM= CE，PN= BD，进而判断出
2 2
BD=CE，即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论；
1
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出 BD=CE，同（1）的方法得出 PM= BD，
2
1
PN= BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；
2
（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出
MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
1
∴PN∥BD，PN= BD，
2
∵点P，M是CD，DE的中点，
1
∴PM∥CE，PM= CE，
2
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
第26页（共31页）∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN，
（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
1 1
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN= BD，PM= CE，
2 2
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，
∴MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE∥BC且DE在顶点A上面，
∴MN最大=AM+AN，
第27页（共31页）连接AM，AN，
在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，
∴AM=2√2，
在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5√2，
∴MN =2√2+5√2=7√2，
最大
1 1 1 1 49
∴S = PM2= × MN2= ×（7√2）2= ．
△PMN最大
2 2 2 4 2
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角
三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）
1 1
的关键是判断出PM= CE，PN= BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，
2 2
解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大，是一道基础题目．
2
23．（11分）（2017•河南）如图，直线 y=﹣ x+c与x轴交于点A（3，0），
3
4
与y轴交于点B，抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A，B．
3
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛
物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点
M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段
的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得
M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
第28页（共31页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得 c，则可求得 B点坐标，由
A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的
长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关
于m的方程，可求得m的值；
②用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线
段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于 m的方程，可求得m的
值．
【解答】解：
2
（1）∵y=﹣ x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，
3
∴0=﹣2+c，解得c=2，
∴B（0，2），
4
∵抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A，B，
3
{ 10
{&-12+3b+c=0 &b=
∴ ，解得 3 ，
&c=2
&c=2
4 10
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2；
3 3
2
（2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣ x+2，
3
第29页（共31页）∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线
分别交于点P，N，
2 4 10
∴P（m，﹣ m+2），N（m，﹣ m2+ m+2），
3 3 3
2 4 10 2 4
∴PM=﹣ m+2，PA=3﹣m，PN=﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）=﹣ m2+4m，
3 3 3 3 3
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，
当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，
∴BN=OM=m，
4
- m2+4m
BN PN m 3
∴ = ，即 = ，解得m=0（舍去）或m=2，
AM PM 3-m 2
- m+2
3
∴M（2，0）；
PN BP
当∠NBP=90°时，则有 = ，
PA MP
2
∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣ m+2），
3
√ 2 √13 √ 2 √13
∴BP= m2+(- m+2-2) 2= m，AP= (m-3) 2+(- m+2) 2= （3﹣m），
3 3 3 3
4 √13
- m2+4m m
3 3 11
∴ = ，解得m=0（舍去）或m= ，
√13 2 8
(3-m) - m+2
3 3
11
∴M（ ，0）；
8
综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2，
11
0）或（ ，0）；
8
2 4 10
②由①可知M（m，0），P（m，﹣ m+2），N（m，﹣ m2+ m+2），
3 3 3
∵M，P，N三点为“共谐点”，
∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，
第30页（共31页）2 4 10
当P为线段MN的中点时，则有2（﹣ m+2）=﹣ m2+ m+2，解得m=3（三
3 3 3
1
点重合，舍去）或m= ；
2
2 4 10
当M为线段PN的中点时，则有﹣ m+2+（﹣ m2+ m+2）=0，解得m=3（舍
3 3 3
去）或m=﹣1；
2 4 10
当N为线段PM的中点时，则有﹣ m+2=2（﹣ m2+ m+2），解得m=3（舍
3 3 3
1
去）或m=﹣ ；
4
1 1
综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为 或﹣1或﹣ ．
2 4
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相
似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等
知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质
得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐
点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较
多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．
第31页（共31页）
