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2017 年辽宁省盘锦市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号涂在答题卡
上，每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相反数的性质可得结果.
【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，
故选B．
【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .
2. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是【 】
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，只有选项B
符合条件．故选B．
3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
解：A． ，故A不是因式分解；
B． ，故B不是因式分解；C． ，故C正确；
D． =a（x+1）（x﹣1），故D分解不完全．
故选C．
4. 如图，下面几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：从上面可看到第一行有三个正方形，第二行最左边有1个正方形．故选D．
5. 在我市举办的中学生“争做文明盘锦人”演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，
小明想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的（ ）
A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数
【答案】D
【解析】
解：由题意可得：一名学生想要知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生
成绩的中位数，故选D．
6. 不等式组 的解集是（ ）
A. ﹣1＜x≤3 B. 1≤x＜3 C. ﹣1≤x＜3 D. 1＜x≤3
【答案】C
【解析】
解：解不等式 ，得：x＜3，解不等式2（x+2）+1≥3，得：x≥﹣1，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜
3，故选C．点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7. 样本数据3，2，4，a，8的平均数是4，则这组数据的众数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
解：a=4×5﹣3﹣2﹣4﹣8=3，则这组数据为3，2，4，3，8；众数为3，故选B．
8. 十一期间，几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩，中巴车的租价为480元，出发时又有4名学生
参加进来，结果每位同学比原来少分摊4元车费．设原来游玩的同学有x名，则可得方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
解：由题意得： ，故选D．
9. 如图，双曲线 （x＜0）经过▱ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点
C，则▱OABC的面积是（ ）
A. B. C. 3 D. 6
【答案】C
【解析】解：∵点 D 为▱ABCD 的对角线交点，双曲线 （x＜0）经过点 D，AC⊥y 轴，∴S
平行四边形
=4S =4× ×|﹣ |=3．故选C．
ABCO △COD
点睛：本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合反比
例函数系数k的几何意义，找出出S =4S =2|k|是解题的关键．
平行四边形ABCO △COD
10. 如图，抛物线 与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，
3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣ ≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm
（m为任意实数）；⑤一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线x=1，∴ =1，∴b=﹣2a＞0，∵
与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c≤4，∴abc＜0，故①错误；
3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确；
∵与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，∴a﹣（﹣2a）+c=0，∴c=﹣3a，∴3≤﹣3a≤4，∴﹣ ≤a≤﹣1，
故③正确；
∵顶点坐标为（1，n），∴当x=1时，函数有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正确；一元二次方程 有两个相等的实数根x=x=1，故⑤错误．
1 2
综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最
值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 2016年我国对“一带一路”沿线国家直接投资145亿美元，将145亿用科学记数法表示为______．
【答案】1.45×1010．
【解析】
解：将145亿用科学记数法表示为：1.45×1010．故答案为1.45×1010．
12. 若式子 有意义，则x的取值范围是______．
【答案】x＞ ．
【解析】
解：依题意得：2x+3＞0．解得x＞ ．故答案为x＞ ．
13. 计算： =______．
【答案】 ．
【解析】
解：原式= ，故答案为 ．
14. 对于▱ABCD，从以下五个关系式中任取一个作为条件：①AB=BC；②∠BAD=90°；③AC=BD；
④AC⊥BD；⑤∠DAB=∠ABC，能判定▱ABCD是矩形的概率是______．
【答案】 ．
【解析】
解：∵ABCD是平行四边形，AB=BC，∴ABCD是菱形；
∵ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴ABCD是矩形；
∵ABCD 是平行四边形，AC=BD，∴ABCD是矩形；∵ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴ABCD是菱形；
∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∠DAB=∠ABC，∴∠DAB=90°，∴ABCD是矩形．
故P（ABCD是矩形）= ．故答案为 ．
15. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AB=4cm，分别以B、C为圆心，以BD、
CD为半径画弧，交边AB、AC于点E、F，则图中阴影部分的面积是______cm2．
【答案】 ．
【解析】
解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠B=30°，∴AD= AB=2cm，∴BD= =
（cm），∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=CD=2cm，∴BC=（ +2）cm，∴S = ×（ +2）×2﹣
阴影
﹣ = = ，故答案为（ ）．
点睛：此题主要考查了扇形的面积计算，以及勾股定理，关键是正确计算出AD、BD、CD长．
16. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，﹣5），以P为圆心的圆与x轴相切，⊙P的弦AB（B点在A
点右侧）垂直于y轴，且AB=8，反比例函数 （k≠0）经过点B，则k=______．
【答案】﹣8或﹣32．
【解析】
【分析】
【详解】解：设线段AB交y轴于点C，当点C在点P的上方时，连接PB，如图，∵⊙P与x轴相切，且P（0，﹣5），
∴PB=PO=5，
∵AB=8，
∴BC=4，
在Rt PBC中，由勾股定理可得PC= =3，
△
∴OC=OP﹣PC=5﹣3=2，
∴B点坐标为（4，﹣2），
∵反比例函数 （k≠0）经过点B，
∴k=4×（﹣2）=﹣8；
当点C在点P下方时，同理可求得PC=3，则OC=OP+PC=8，
∴B（4，﹣8），
∴k=4×（﹣8）=﹣32；
综上可知k的值为﹣8或﹣32，
故答案为﹣8或﹣32．
【点睛】本题主要考查切线的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，利用垂径定理和切线的性质求得
PC的长是解题的关键，注意分两种情况．
17. 如图，⊙O的半径OA=3，OA的垂直平分线交⊙O于B、C两点，连接OB、OC，用扇形OBC围成一
个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为______．【答案】 ．
【解析】
解：连接AB，AC，∵BC为OA的垂直平分线，∴OB=AB，OC=AC，∴OB=AB=OA，OC=OA=AC，∴△OAB
和△AOC都是等边三角形，∴∠BOA=∠AOC=60°，∴∠BOC=120°，设圆锥的底面半径为r，则2πr=
，解得：r=1，这个圆锥的高为 = ，故答案为 ．
18. 如图，点A（1，1）在直线y=x上，过点A 分别作y轴、x轴的平行线交直线 于点B，B，
1 1 1 2
过点B 作y轴的平行线交直线y=x于点A，过点A 作x轴的平行线交直线 于点B，…，按照此
2 2 2 3
规律进行下去，则点A 的横坐标为______．
n
【答案】 ．
【解析】
【分析】【详解】解：∵AB ∥x轴，∴tan∠AB B= ．
n n+1 n n+1 n
当x=1时， = ，∴点B 的坐标为（1， ），
1
∴AB=1﹣ ，AB= = ﹣1．
1 1 1 2
∵1+AB= ，∴点A 的坐标为（ ， ），
1 2 2
点B 的坐标为（ ，1），
2
∴AB= ﹣1，AB= = ﹣ ，
2 2 2 3
∴点A 的坐标为（ ， ），点B 的坐标为（ ， ）．
3 3
同理，可得：点A 的坐标为（ ， ）．
n
故答案 为．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及规律型，通过解直角三角形找出点
A、A、…、A 的坐标是解题的关键．
2 3 n
三、解答题
19. 先化简，再求值： ，其中a= ．
【答案】 ，1．
【解析】
试题分析：根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．试题解析：解：原式=
=
=
当a=1+2=3时，原式= =1．
20. 如图，码头A、B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上，仓库C在海岛O的北偏东75°方向上，
码头A、B均在仓库C的正西方向，码头B和仓库C的距离BC=50km，若将一批物资从仓库C用汽车运送
到A、B两个码头中的一处，再用货船运送到海岛O，若汽车的行驶速度为50km/h，货船航行的速度为
25km/h，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛O？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据：
≈1.4， ≈1.7）
【答案】这批物资在A码头装船，最早运抵海岛O．
【解析】
【分析】
如图（见解析），延长CA交OM于K．先根据方位角、等腰三角形的定义求出OB的长，再利用直角三
角形的性质、线段的和差求出OA、AB的长，然后分别求出时间即可判断．
【详解】如图，延长CA交OM于K
由题意得，
，即在 中，
在 中，
则若在A码头装船，所需时间为
若在B码头装船，所需时间为
因
故这批物资在A码头装船，能最早运抵海岛O．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、速度、时间、路程之间的关系等知识点，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21. 如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本
班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：
A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．
根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图．
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限1瓶，价格如下表），则该班同学用于饮品上的人均
花费是多少元？
（3）若我市约有初中生4万人，估计我市初中生每天用于饮品上的花费是多少元？
（4）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取
2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到2名女生的概率．
【答案】(1)50；（2）2.6；（3）104000元；（4） ．
【解析】
试题分析：（1）由B类型的人数及其百分比求得总人数，在用总人数减去其余各组人数得出 C类型人数，
即可补全条形图；
（2）由各类的人数可得其总消费，进而可求出该班同学用于饮品上的人均花费是多少元；
（3）用总人数乘以样本中的人均消费数额即可；
（4）用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，根
据概率公式求解可得．
试题解析：解：（1）∵抽查的总人数为：20÷40%=50人，∴C类人数=50﹣20﹣5﹣15=10人，补全条形统
计图如下：（2）该班同学用于饮品上的人均花费=（5×0+20×2+3×10+4×15）÷50=2.6 元；
（3）我市初中生每天用于饮品上的花费=40000×2.6=104000元．
（4）列表得：
或画树状图得：
所有等可能的情况数有20种，其中一男一女的有12种，所以P（恰好抽到一男一女）= = ．
点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图
中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映
部分占总体的百分比大小．
22. （2017辽宁省盘锦市，第22题，12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与x轴、
y轴分别交于点M，N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到 ABC ，当点B 与原点重合时，解答下列问题：
1 1 1 1
（1）求出点A
1
的坐标△，并判断点A
1
是否在直线l上；
（2）求出边AC 所在直线的解析式；
1 1
（3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A、C 、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．
1 1
【答案】（1）A （ ，3），在直线上；（2） ；（3）P （ ，3），P （ ，﹣
1 1 2
3），P（﹣ ，3）．
3
【解析】
试题分析：
(1) 根据题意画出示意图，过点A 作x轴的垂线AD，在Rt△ADB 中利用等边三角形的性质和勾股定理可
1 1 1
以求得线段AD和BD的长，进而写出点A 的坐标. 将点A 的横坐标代入直线l的解析式，求得相应的纵
1 1 1 1
坐标，通过对比求得的纵坐标和点A 的纵坐标可以判断点A 与直线l的位置关系.
1 1
(2) 根据等边三角形的边长容易得到点C 的坐标. 利用点A 和点C 的坐标，结合一次函数的一般形式，可
1 1 1
以获得关于待定系数的方程，求解这些方程进而可以写出边AC 所在直线的解析式.
1 1
(3) 由于利用△AC M的三个内角均可以构造出符合题意的平行四边形，所以本小题应对这三种情况分别进
1 1
行讨论. 根据题意画出各种情况的示意图. 当以∠AC M为平行四边形的一个内角构造平行四边形时，可以
1 1
过点A 作y轴的垂线AE，利用Rt△ABE中的几何关系求得线段AE和BE的长. 利用点M的坐标和等边
1 1 1 1 1
三角形的边长可以得到线段C M的长，进而获得线段AP的长，从而可以写出点P的坐标. 当以∠AMC 为
1 1 1 1
平行四边形的一个内角构造平行四边形时，利用Rt△ABF中的几何关系和线段C M的长，可以求得线段
1 1 1
AF和BF的长，进而写出点P的坐标. 当以∠C AM为平行四边形的一个内角构造平行四边形时，可以过
1 1 1 1
点P作x轴的垂线PG，利用平行四边形的性质获得线段PM的长，利用Rt△PGM中的几何关系和线段
BM的长，可以求得线段PG和OG的长，进而写出点P的坐标.
1
试题解析：(1)
如图，过点A 作AD⊥OM，垂足为D.
1 1
∵△ABC 是等边三角形，AD⊥OM，
1 1 1 1
∴∠BAD=30°，
1 1
∴在Rt△ADB 中， ，
1 1
∵AD=3，
1
∴在Rt△ADB 中， ，
1 1
∴ ， .
∴点A 的坐标为( , 3).
1
由直线l的解析式，得
当x= 时， ，
∴点A 在直线l上.
1
(2) ∵△ABC 是等边三角形， ，
1 1 1
∴ .
∴点C 的坐标为( , 0).
1
设直线AC 的解析式为y=kx+b (k≠0).
1 1
将点A ( , 3)，点C ( , 0)的坐标分别代入直线AC 的解析式，得
1 1 1 1
，
解之，得，
∴直线AC 的解析式为 .
1 1
(3) 点P的坐标为( , 3)，( , 3)或( , -3). 求解过程如下.
根据题意，分别对下面三种情况进行讨论.
①若以∠AC M为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形AC MP.
1 1 1 1
如图①，过点A 作AE⊥ON，垂足为E.
1 1
由直线l的解析式，得
当y=0时， ，
∴x= .
∴点M的坐标为( , 0).
∴OM= .
∵ ，
∴ ，
.
∴
∵△ABC 是等边三角形，
1 1 1
∴∠ABC =60°，
1 1 1
∴∠ABE=90°-∠ABC =90°-60°=30°.
1 1 1 1 1
∴在Rt△AEB 中， ， .
1 1∵AP∥C M，AE⊥ON，
1 1 1
∴点E，A，P在同一条直线上，
1
∴ .
∴点P的坐标为( , 3).
②若以∠AMC 为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形PC MA .
1 1 1 1
∵AP∥C M，
1 1
∴AF⊥ON，
1
∴在Rt△AFB 中， ， .
1 1
∵ ，
∴ .
∴点P的坐标为( , 3).
③若以∠C AM为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形AC PM.
1 1 1 1
如图③，过点P作PG⊥OM，垂足为G.
∵△ABC 是等边三角形，
1 1 1
∴∠AC B=60°，
1 1 1
∴∠AC M=180°-∠AC B=180°-60°=120°，
1 1 1 1 1
∵AC ∥PM，
1 1
∴∠PMC =∠AC M=120°，
1 1 1
∴∠PMG=180°-∠PMC =180°-120°=60°，
1
∴在Rt△PMG中，∠MPG=90°-∠PMG=90°-60°=30°.
∵ ，
∴在Rt△PGM中， ，
.
∵OM= ，∴ .
∴点P的坐标为( , -3).
综上所述，点P的坐标为( , 3)，( , 3)或( , -3).
23. 端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，
解答小慧和小杰提出的问题．（价格取正整数）
【答案】小慧：定价为102元；小杰：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利
润最多，最多利润为9300元．
【解析】
试题分析：小慧：设定价为x元，利润为y元，根据利润=（定价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，结
的
合x 取值范围，求出当y取800时，定价x的值即可；
小杰：根据小慧中求出的函数解析式，运用配方法求最大值，并求此时x的值即可．
试题解析：解：小慧：设定价为x元，利润为y元，则销售量为：410﹣10（x﹣100）=1410﹣10x，由题意
得，y=（x﹣80）（1410﹣10x）
=﹣10x2+2210x﹣112800，当y=8580时，﹣10x2+2210x﹣112800=8580，整理，得：x2﹣221x+12138=0，解
得：x=102或x=119，∵当x=102时，销量为1410﹣1020=390，当x=119时，销量为1410﹣1190=220，∴若
要达到8580元的利润，且薄利多销，∴此时的定价应为102元；
小杰：y=﹣10x2+2210x﹣112800= ，∵价格取整数，即x为整数，∴当x=110或
x=111时，y取得最大值，最大值为9300．
答：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利润最多，最多利润为9300元．点睛：本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是根据题意找出等量关系列出函数关系式，
要求同学们掌握运用配方法求二次函数的最大值．
24. 如图，在等腰 ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延
长线于点E，垂足△为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径R=5，tanC= ，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）连接圆心和切点，利用平行，DE⊥AB可证得∠ODF=90°；
（2）过D作DH⊥BC于H，设BD=k，CD=2k，求得BD、CD的长，根据三角形的面积公式得到DH的长，
由勾股定理得到OH的长，根据射影定理得到OD2=OH•OE，求得OE的长，从而得到BE的长，根据相似
三角形的性质得到BF=2，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：如图，连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠90°，
∴BD⊥AC．
∵AB=BC，
∴AD=DC．
∵OA=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．（2）过D作DH⊥BC于H
∵⊙O 半径R=5，tanC= ，
的
∴BC=10，设BD=k，CD=2k，
∴BC= k=10，
∴k=2 ，
∴BD=2 ，CD=4 ，
∴DH= =4，
∴OH= =3，
∵DE⊥OD，DH⊥OE，
∴OD2=OH•OE，
∴OE= ，
∴BE= ，
∵DE⊥AB，
∴BF∥OD，
∴△BFE∽△ODE，
∴ ，
即 ，
∴BF=2，
∴EF= = ．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质以及解直角三角形．当题中已有垂直时，
证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明；而求相关角的余弦值，应根据所给条件进行适当转移，注
意利用直角三角形面积的不同方式求解．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、
点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．
（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．
（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明
理由；
（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．
【答案】（1）BQ=CP；（2）成立：PC=BQ；（3） ．
【解析】
试题分析：（1）结论：BQ=CP．如图1中，作PH∥AB交CO于H，可得△PCH是等边三角形，只要证明
△POH≌△QPB即可；
（2）成立：PC=BQ．作PH∥AB交CO的延长线于H．证明方法类似（1）；
（3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．设CE=CO=a，则
FC=FP=2a，EF= a，在Rt△PCE中，表示出PC，根据PC+CB=4，可得方程 ，
求出a即可解决问题；
试题解析：解：（1）结论：BQ=CP．理由：如图1中，作PH∥AB交CO于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等边三
角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等边三角形，
∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP，∵∠OPQ=∠OCP=60°，
∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．
（2）成立：PC=BQ．理由：作PH∥AB交CO的延长线于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等边三
角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等边三角形，
∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠POH=60°+∠CPO，∠QPO=60°+∠CPQ，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，
∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．
（3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．
∵∠OPC=15°，∠OCB=∠OCP+∠POC，∴∠POC=45°，∴CE=EO，设CE=CO=a，则FC=FP=2a，EF= a，
在Rt△PCE中，PC= = = ，∵PC+CB=4，∴
，解得a= ，∴PC= ，由（2）可知BQ=PC，∴BQ= ．
点睛：此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压
轴题．
26. 如图，直线y=﹣2x+4交y轴于点A，交抛物线 于点B（3，﹣2），抛物线经过点C
（﹣1，0），交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE⊥DB交DB所在直线于点E．
（1）求抛物线的解析式；（2）当△PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标；
（3）在（2）的条件下，连接PB，将△PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折点后E的对称点坐标．
【答案】（1） ；（2）PE=5或1，P（1，﹣3）或（5，3）；（3）E的对称点坐标为（
，﹣ ）或（3.6，﹣1.2）．
【解析】
试题分析：（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入 即可得到结论；
（2）由 求得D（0，﹣2），根据等腰直角三角形的性质得到DE=PE，列方程即可得到
结论；
（3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，
求得直线EE′的解析式为 ，设E′（m， ），根据勾股定理即可得到结论；②当P点在
直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，得到直线EE′的解
析式为 ，设E′（m， ），根据勾股定理即可得到结论．试题解析：解：（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入 得： ，∴
，∴抛物线的解析式为 ；
（2）设P（m， ），在 中，当x=0时，y=﹣2，∴D（0，﹣2），∵B
（3，﹣2），∴BD∥x轴，∵PE⊥BD，∴E（m，﹣2），∴DE=m，PE= ，或PE=
，∵△PDE为等腰直角三角形，且∠PED=90°，∴DE=PE，∴m= ，或m=
，解得：m=5，m=1，m=0（不合题意，舍去），∴PE=5或2，P（1，﹣3）或（5，3）；
（3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，
由（2）知，此时，E（5，﹣2），∴DE=5，∴BE′=BE=2，∵EE′⊥AB，∴设直线EE′的解析式为 ，
∴﹣2= ×5+b，∴b=﹣ ，∴直线EE′的解析式为 ，设E′（m， ），∴E′H=﹣2﹣
= ，BH=3﹣m，∵E′H2+BH2=BE′2，∴（ ）2+（3﹣m）2=4，∴m= ，m=5（舍去），
∴E′（ ，﹣ ）；②当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，由
（2）知，此时，E（2，﹣2），∴DE=2，∴BE′=BE=1，∵EE′⊥AB，∴设直线EE′的解析式为 ，∴
﹣2= ×2+b，∴b=﹣3，∴直线EE′的解析式为 ，设E′（m， ），∴E′H= =
，BH=m﹣3，∵E′H2+BH2=BE′2，∴（ ）2+（m﹣3）2=1，∴m=3.6，m=2（舍去），
∴E′（3.6，﹣1.2）．
综上所述，E的对称点坐标为（ ，﹣ ）或（3.6，﹣1.2）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确
的作出辅助线是解题的关键．
