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2019年中考数学真题分类训练——专题七：反比例函数
一、选择题
1．（2019黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比
例函数y= 上，顶点B在反比例函数y= 上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是
A． B． C．4 D．6
【答案】C
2．（2019广州）若点A（-1，y），B（2，y），C（3，y）在反比例函数y 的图象上，则y，
1 2 3 1
y，y的大小关系是
2 3
A．y<y<y B．y<y<y
3 2 1 2 1 3
C．y<y<y D．y<y<y
1 3 2 1 2 3
【答案】C
3．（2019台州）已知某函数的图象C与函数y 的图象关于直线y=2对称．下列命题
①图象C与函数y 的图象交于点（ ，2）；
②点（ ，–2）在图象C上；
③图象C上的点的纵坐标都小于4；
④A（x，y），B（x，y）是图象C上任意两点，若x>x，则y>y．
1 1 2 2 1 2 1 2
其中真命题是A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
4．（2019河北）如图，函数y= 的图象所在坐标系的原点是
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】A
5．（2019温州）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，
根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为
近视眼镜的度数y 200 250 400 500 1000
（度）
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A．y B．y C．y D．y
【答案】A
6．（2019江西）已知正比例函数y的图象与反比例函数y的图象相交于点A（2，4），下列说法正确
1 2
的是
A．反比例函数y的解析式是y=–
2 2
B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，–4）
C．当x<–2或0<x<2时，y<y
1 2
D．正比例函数y与反比例函数y都随x的增大而增大
1 2
【答案】C
7．（2019广西）若点（–1，y），（2，y），（3，y）在反比例函数y= （k<0）的图象上，则
1 2 3y，y，y的大小关系是
1 2 3
A．y＞y＞y B．y＞y＞y
1 2 3 3 2 1
C．y＞y＞y D．y＞y＞y
1 3 2 2 3 1
【答案】C
8．（2019安徽）已知点A（1，–3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y= 的图象上，则实数k的值
为
A．3 B．
C．–3 D．–
【答案】A
二、填空题
9．（2019福建）如图，菱形ABCD顶点A在函数y= （x＞0）的图象上，函数y= （k＞3，x＞
0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB=2，∠BAD=30°，则k=__________．
【答案】6+2
10．（2019深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，C（0，-3），CD=3AD，点A在反比例函数y
图象上，且y轴平分∠ACB，求k=__________．【答案】
11．（2019湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y x﹣1分别交x轴，y轴于点A和点
B，分别交反比例函数y （k>0，x>0），y （x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x
1 2
轴于点E，连结OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是__________．
【答案】2
12．（2019山西）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴
上，点A坐标为（–4，0），点D的坐标为（–1，4），反比例函数y= （x＞0）的图象恰好经过点
C，则k的值为__________．
【答案】1613．（2019宁波）如图，过原点的直线与反比例函数y （k>0）的图象交于A，B两点，点A在第
一象限．点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE
的垂线，垂足为E，连结DE．若AC=3DC，△ADE的面积为8，则k的值为__________．
【答案】6
14．（2019北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y= 上，点A
关于x轴的对称点B在双曲线y= ，则k+k的值为__________．
1 2
【答案】0
15．（2019衢州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， ABCD的边AB在x轴上，顶点D在
y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE
的中点，DE与BC交于点F．若y （k≠0）图象经过点C，且S =1，则k的值为__________．
△BEF
【答案】416．（2019绍兴）如图，矩形ABCD的顶点A，C都在曲线y （常数k>0，x>0）上，若顶点D的
坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是__________．
【答案】y x
三、解答题
17．（2019吉林）已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x=4时，求y的值．
解：（1）因为y是x的反例函数，
所以设y= (k≠0)，
当x=2时，y=6．
所以k=xy=12，
所以y= ．
（2）当x=4时，y=3．
18．（2019广东）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，其
1
中点A的坐标为（–1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足kx+b＞ 的x的取值范围；
1
（2）求这两个函数的表达式；（3）点P在线段AB上，且S ：S =1：2，求点P的坐标．
△AOP △BOP
解：（1）∵点A的坐标为（–1，4），点B的坐标为（4，n）．
由图象可得：kx+b＞ 的x的取值范围是x<–1或0<x<4；
1
（2）∵反比例函数y= 的图象过点A（–1，4），B（4，n），
∴k=–1×4=–4，k=4n，∴n=–1，∴B（4，–1），
2 2
∵一次函数y=kx+b的图象过点A，点B，
1
∴ ，
解得k=–1，b=3，
∴直线解析式y=–x+3，反比例函数的解析式为y=– ；
（3）设直线AB与y轴的交点为C，∴C（0，3），
∵S = ×3×1= ，
△AOC
∴S =S +S = ×3×1+ ×3×4= ，
△AOB △AOC △BOC
∵S ：S =1：2，∴S = × = ，
△AOP △BOP △AOP
∴S = – =1，∴ ×3x=1，∴x= ，
△COP P P∵点P在线段AB上，∴y=– +3= ，∴P（ ， ）．
19．（2019甘肃）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于A（–1，n）、B
（2，–1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；
（3）若M（x，y）、N（x，y）是反比例函数y= 上的两点，当x<x<0时，比较y与y的大小
1 1 2 2 1 2 2 1
关系．
解：（1）∵反比例函数y= 经过点B（2，–1），∴m=–2，
∵点A（–1，n）在y= 上，∴n=2，∴A（–1，2），
把A，B坐标代入y=kx+b，则有 ，解得 ，
∴一次函数的解析式为y=–x+1，反比例函数的解析式为y=– ．
（2）∵直线y=–x+1交y轴于C，∴C（0，1），
∵D，C关于x轴对称，∴D（0，–1），
∵B（2，–1），∴BD∥x轴，∴S = ×2×3=3．
△ABD
（3）∵M（x，y）、N（x，y）是反比例函数y=– 上的两点，且x<x<0，s∴y<y．
1 1 2 2 1 2 1 2
20．（2019河南）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能
用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy=4，即y= ；由周长为m，得2（x+y）
=m，即y=–x+ ．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第__________象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y= （x＞0）的图象如图所示，而函数y=–x+ 的图象可由直线y=–x平移得到．请在同一直角
坐标系中直接画出直线y=–x．
（3）平移直线y=–x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y= （x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为__________；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为__________．解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，故点（x，y）在第一象限，答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①把点（2，2）代入y=–x+ 得：
2=–2+ ，解得：m=8；
②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，
联立y= 和y=–x+ 并整理得：x2– mx+4=0，
△= m2–4×4≥0时，两个函数有交点，解得m≥8，
即：0个交点时，m<8；1个交点时，m=8；2个交点时，m＞8．
（4）由（3）得：m≥8．
21．（2019兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= （k≠0）的图象经过等边三角形
BOC的顶点B，OC=2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．
（1）求反比例函数y= （k≠0）的表达式；
（2）若四边形ACBO的面积是3 ，求点A的坐标．
解：（1）如图，过点B作BD⊥OC于D，
∵△BOC是等边三角形，
∴OB=OC=2，OD= OC=1，
∴BD= = ，∴S = OD×BD= ，
△OBD
又∵S = |k|，∴|k|= ，
△OBD
∵反比例函数y= （k≠0）的图象在第一、三象限，
∴k= ，
∴反比例函数的表达式为y= ；
（2）∵S = OC•BD= ×2× = ，
△OBC
∴S =3 - =2 ，
△AOC
∵S = OC•y=2 ，∴y=2 ，
△AOC A A
把y=2 代入y= ，求得x= ，
∴点A的坐标为（ ，2 ）．
22．（2019广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（-1，
2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图象与反比例函数y 的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．解：（1）将点P（-1，2）代入y=mx，得：2=-m，
解得：m=-2，
∴正比例函数解析式为y=-2x；
将点P（-1，2）代入y ，得：2=-（n-3），
解得：n=1，
∴反比例函数解析式为y ．
联立正、反比例函数解析式成方程组，得： ，
解得： ， ，
∴点A的坐标为（1，-2）．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP=∠BAP，即∠DCP=∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO=∠CPD=90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）∵点A的坐标为（1，-2），∴AE=2，OE=1，AO ．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP=∠AOE，
∴sin∠CDB=sin∠AOE ．
23．（2019杭州）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时
间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．
②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
解：（1）因为vt=480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，
②所以v关于t的函数表达式为：v （t≥4）．理由见解析.
（2）①8点至12点48分，时间长为 小时；
8点至14点，时间长为6小时．
将t=6代入v ，解得v=80；
将t 代入v ，解得v=100．
综上可得小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．
②方方不能在当天11点30分前到达B地．
理由如下：
8点至11点30分，时间长为 小时，将t 代入v ，解得v= ．
因为 >120，所以超速了．
故方方不能在当天11点30分前到达B地．
24．（2019金华）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y
（k>0，x>0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD=2．
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；
（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．
解：（1）点A在该反比例函数的图象上，理由如下：
如图，过点P作x轴垂线PG，连接BP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD=2，
∴BP=2，G是CD的中点，
∴PG ，
∴P（2， ），∵P在反比例函数y 上，
∴k=2 ，
∴y ，
由正六边形的性质，A（1，2 ），
∴点A在反比例函数图象上；
（2）由题易得点D的坐标为（3，0），点E的坐标为（4， ），
设直线DE的解析式为y=ax+b，
∴ ，
∴ ，
∴y x﹣3 ，
联立方程 ，
解得x （负值已舍），
∴Q点横坐标为 ；
（3）A（1，2 ），B（0， ），C（1，0），D（3，0），E（4， ），F（3，2 ），
设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为
∴A（1﹣m，2 n），B（﹣m， n），C（1﹣m，n），D（3﹣m，n），E（4﹣m，n），
F（3﹣m，2 n），
①将正六边形向左平移两个单位后，E（2， ），F（1，2 ）；
则点E与F都在反比例函数图象上；
②将正六边形向左平移–1个单位，再向上平移 个单位后，C（2， ），B（1，2 ），
则点B与C都在反比例函数图象上；
③将正六边形向左平移2个单位，再向上平移–2 个单位后，B（﹣2， ），C（﹣1，﹣2 ）；
则点B与C都在反比例函数图象上．
25．（2019舟山）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函
数y 的图象上．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'，当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，
求a的值．
解：（1）如图1，过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，OC OB，
∵B（4，0），
∴OB=OA=4，
∴OC=2，AC=2 ．
把点A（2，2 ）代入y ，解得k=4 ．∴反比例函数的解析式为y ；
（2）分两种情况讨论：
①当点D是A′B′的中点，如图2，过点D作DE⊥x轴于点E．
由题意得A′B′=4，∠A′B′E=60°，
在Rt△DEB′中，B′D=2，DE= ，B′E=1．
∴O′E=3，
把y 代入y ，得x=4，
∴OE=4，
∴a=OO′=1；
②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．
由题意得A′O′=4，∠A′O′B′=60°，
在Rt△FO′H中，FH ，O′H=1．把y 代入y ，得x=4，
∴OH=4，
∴a=OO′=3，
综上所述，a的值为1或3．
