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2019年中考数学真题分类训练——专题三：方程及其应用
一、选择题
1.（2019广东）已知x，x是一元二次方程x2–2x=0的两个实数根，下列结论错误的是
1 2
A.x≠x B.x2–2x=0
1 2 1 1
C.x+x=2 D.x•x=2
1 2 1 2
【答案】D
2.（2019 深圳）定义一种新运算 n•xn-1dx=an-bn，例如 2xdx=k2-n2，若
x-2dx=-2，则m=
A.-2 B.
C.2 D.
【答案】B
3.（2019宁波）能说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m=0一定有实数根”是假命题的反
例为
A.m=﹣1 B.m=0 C.m=4 D.m=5
【答案】D
4.（2019新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场.设
有x个队参赛，根据题意，可列方程为
A. x（x–1）=36 B. x（x+1）=36
C.x（x–1）=36 D.x（x+1）=36
【答案】A
5.（2019广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做 8个，甲做120个
所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是
A. B.C. D.
【答案】D
6.（2019宁波）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下
10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的
钱还剩下
A.31元 B.30元
C.25元 D.19元
【答案】A
7.（2019新疆）若关于x的一元二次方程（k–1）x2+x+1=0有两个实数根，则k的取值
范围是
A.k≤ B.k＞ C.k< 且k≠1 D.k≤ 且k≠1
【答案】D
8.（2019广州）关于x的一元二次方程x2-（k-1）x-k+2=0有两个实数根x，x，若
1 2
（x-x+2）（x-x-2）+2xx=-3，则k的值
1 2 1 2 1 2
A.0或2 B.-2或2
C.-2 D.2
【答案】D
9.（2019舟山）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共
价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几
何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为
A. B.
C. D.
【答案】D
10.（2019河北）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，
b=4，解出其中一个根是x=–1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是
A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是x=–1 D.有两个相等的实数根
【答案】A
11.（2019台州）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走
3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到
乙地需54min，从乙地到甲地需42min.甲地到乙地全程是多
少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程
，则另一个方程正确的是
A. B.
C. D.
【答案】B
12.（2019广西）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出
四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm，
则可列方程为
A.（30–x）（20–x）= ×20×30 B.（30–2x）（20–x）= ×20×30
C.30x+2×20x= ×20×30 D.（30–2x）（20–x）= ×20×30
【答案】D13.（2019金华）用配方法解方程x2–6x–8=0时，配方结果正确的是
A.（x–3）2=17 B.（x–3）2=14
C.（x–6）2=44 D.（x–3）2=1
【答案】A
14.（2019黑龙江）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出
若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 43，
则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】
15.（2019杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种
2棵树，设男生有x人，则
A.2x+3（72–x）=30 B.3x+2（72–x）=30
C.2x+3（30–x）=72 D.3x+2（30–x）=72
【答案】D
16.（2019河南）一元二次方程（x+1）（x–1）=2x+3的根的情况是
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
【答案】A
17.（2019重庆）若数a使关于x的不等式组 有且仅有三个整数解，
且使关于y的分式方程 =–3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和
是
A.–3 B.–2 C.–1 D.1
【答案】A
18.（2019广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个
所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是A. B.
C. D.
【答案】D
19.（2019黑龙江）已知关于x的分式方程 =1的解是非正数，则m的取值范围
是
A.m≤3 B.m<3 C.m＞–3 D.m≥–3
【答案】A
20.（2019成都）分式方程 =1的解为
A.x=–1 B.x=1 C.x=2 D.x=–2
【答案】A
21.（2019海南）分式方程 =1的解是
A.x=1 B.x=–1 C.x=2 D.x=–2
【答案】B
22.（2019重庆）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而
钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其
钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其 的钱给乙，则乙
的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组
为
A. B.C. D.
【答案】A
23.（2019天津）方程组 的解是
A. B.
C. D.
【答案】D
24.（2019福建）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增
添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，
每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685
个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是
A.x+2x+4x=34685 B.x+2x+3x=34685
C.x+2x+2x=34685 D.x+ x+ x=34685
【答案】A
25.（2019襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：
今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱.问合伙人数、羊价各
是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是
A.5x–45=7x–3 B.5x+45=7x+3
C. D.
【答案】B
26.（2019南充）关于x的一元一次方程2xa–2+m=4的解为x=1，则a+m的值为A.9 B.8 C.5 D.4
【答案】C
27.（2019怀化）一元一次方程x–2=0的解是
A.x=2 B.x=–2 C.x=0 D.x=1
【答案】A
二、填空题
28.（2019舟山）在x2+__________+4=0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两
个相等的实数根.
【答案】±4x
29.（2019山西）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相
垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积
77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为__________.
【答案】（12–x）（8–x）=77
30. （ 2019 江 西 ） 设 x ， x 是 一 元 二 次 方 程 x2– x– 1=0 的 两 根 ， 则
1 2
x+x+xx=__________.
1 2 1 2
【答案】0
31.（2019绍兴）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数
字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等.如图的幻方中，
字母m所表示的数是__________.
【答案】4
32.（2019江西）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映
着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段A–B–C横穿双向行驶车道，其中
AB=BC=6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度.设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方
程得：__________.
【答案】 =11
33.（2019甘肃）分式方程 的解为__________.
【答案】
34.（2019重庆）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种
植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入.经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连
面积之比是4：3：5，根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地
上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的 种植黄连，则黄连种植总面积将
达到这三种中药材种植总面积的 .为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3：
4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是__________.
【答案】3：20
35.（2019成都）若m+1与–2互为相反数，则m的值为__________.
【答案】1
三、解方程
36.（2019广州）解方程组： .
解： ，②–①得，4y=8，解得y=2，
把y=2代入①得，x–2=1，解得x=3，
故原方程组的解为 .
37.（2019山西）解方程组： .
解：①+②得，4x=–8，∴x=–2，
把x=–2代入②得，–2+2y=0，∴y=1，
∴ .
38.（2019南京）解方程： .
解：方程两边都乘以（x+1）（x–1），
去分母得x（x+1）–（x2–1）=3，
即x2+x–x2+1=3，
解得x=2.
检验：当x=2时，（x+1）（x–1）=（2+1）（2–1）=3≠0，
∴x=2是原方程的解，
故原分式方程的解是x=2.
39.（2019安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定
修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.
甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26
米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个
工程队还需联合工作多少天？
解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x–2）米，
由题意，得2x+（x+x–2）=26，
解得x=7，
所以乙工程队每天掘进5米， =10（天）.答：甲乙两个工程队还需联合工作10天.
40.（2019甘肃）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中
《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车
各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一
车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
解：设共有x人，
根据题意得： ，
去分母得：2x+12=3x–27，
解得：x=39，
∴ =15，
则共有39人，15辆车.
41.（2019黄石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步.”（出自《九章算术》）意
思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步.假定两者步长相
等，据此回答以下问题：
（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几
何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步
时，请问谁在前面，两人相隔多少步？
（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，
请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，
由题意得x：600=100：60，
∴x=1000，
∴1000–600–100=300.
答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步.
（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，
由题意得y=200+ y，∴y=500.
答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人.
42.（2019海南）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购
百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千
克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元.请问这两种百香果每千克各是多少
元？
解：设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，
由题意得： ，
解得： .
答：“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元.
43.（2019威海）列方程解应用题：
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球.他们两家到体育公园的距离分别是1200米，
3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4
分钟出发，求小明和小刚两人的速度.
解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，
根据题意可得： ，
解得：x=50，
经检验得：x=50是原方程的根，故3x=150，
答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟.
44.（2019菏泽）列方程（组）解应用题：
德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工.届时，如果汽车行驶高
速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路
比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速
度.
解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均
速度是1.8x千米/分钟，由题意，得 .
解得x=1.
经检验，x=1是所列方程的根，且符合题意.
所以1.8x=1.8（千米/分钟）.
答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8千米/分钟.
45.（2019安徽）解方程：（x–1）2=4.
解：两边直接开平方得：x–1=±2，
∴x–1=2或x–1=–2，
解得：x=3，x=–1.
1 2
46.（2019呼和浩特）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x–6）=16的实数根.
解：原方程化为一般形式为2x2–9x–34=0，
x2– x=17，
x2– x+ =17+ ，
（x– ）2= ，
x– =± ，
所以x= ，x= .
1 2
47.（2019北京）关于x的方程x2–2x+2m–1=0有实数根，且m为正整数，求m的值
及此时方程的根.
解：∵关于x的方程x2–2x+2m–1=0有实数根，
∴b2–4ac=4–4（2m–1）≥0，解得m≤1，
∵m为正整数，∴m=1，
∴x2–2x+1=0，则（x–1）2=0，
解得：x=x=1.
1 2
48.（2019广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表
的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，
全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座.
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率.
解：（1）1.5×4=6（万座）.
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座.
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
根据题意，得：6（1+x）2=17.34，
解得：x=0.7=70%，x=–2.7（舍去）.
1 2
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%.
49.（2019金华）解方程组
解：
将②代入①可得3x–4=5，解得x=3，
将x=3代入②，得3–2y=1，解得y=1.
∴ .
50.（2019绍兴）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？
解：由题可得x2+1=4x+1，
x2–4x=0，
x（x–4）=0，
x=0，x=4.
1 2
