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2019年中考数学真题分类训练——专题十四：图形的相似
一、选择题
1．（2019邵阳）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中
错误的是
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO∶AA′=1∶2
D．AB∥A′B′
【答案】C
2．（2019温州）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边
BE上取点M使BM=BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了
（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积
为S，图中阴影部分的面积为S．若点A，L，G在同一直线上，则 的值为
1 2A． B．
C． D．
【答案】C
3．（2019淄博）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若△ADC的面积为
a，则△ABD的面积为
A．2a B． a
C．3a D． a
【答案】C
4．（2019杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C
重合），连接AM交DE于点N，则
A． B．C． D．
【答案】C
5．（2019玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
【答案】C
6．（2019常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积
为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】D
7．（2019凉山）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于
E，则BE∶EC=
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3
【答案】B
8．（2019赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
9．（2019重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
10．（2019连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，
“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、
“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
【答案】B
11．（2019安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，
EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
【答案】B
12．（2019兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则 =
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
13．（2019常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为
A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4
【答案】B
二、填空题
14．（2019吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为
90 m，则这栋楼的高度为__________m．
【答案】54
15．（2019台州）如图，直线l∥l∥l，A，B，C分别为直线l，l，l上的动点，连接AB，BC，AC，线
1 2 3 1 2 3
段AC交直线l于点 D．设直线 l，l 之间的距离为 m，直线 l，l 之间的距离为 n，若
2 1 2 2 3
∠ABC=90°，BD=4，且 ，则m+n的最大值为__________．【答案】
16．（2019南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD=2，BD=3，
则AC的长__________．
【答案】
17.(2019)烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别
为A（-2，-1），B（-2，-3），O（0，0），△ABO的顶点坐标分别为A（1，-1），B（1，-5），O
1 1 1 1 1 1
（5，1），△ABO与△ABO是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．
1 1 1【答案】（-5，-1）
18.(2019)本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，
相似比为 ，把△ABO缩小，得到△ABO，则点A的对应点A的坐标为__________．
1 1 1
【答案】（2，1）或（-2，-1）
19．（2019宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．
【答案】
20．（2019 河池）如图，以点 O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则
=__________．
【答案】
21．(2019淮安）如图，l∥l∥l，直线a、b与l、l、l分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若
1 2 3 1 2 3
AB=3，DE=2，BC=6，则EF=__________．【答案】4
三、解答题
22．（2019福建）已知△ABC和点A'，如图．
（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、
B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．
解：（1）作线段A'C'=2AC、A'B'=2AB、B'C'=2BC，得△A'B'C'即可所求．
∵A'C'=2AC、A'B'=2AB、B'C'=2BC，
∴△ABC∽△A′B′C′，∴ ．
（2）如图，∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，
∴ ，
∴△DEF∽△ABC
同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，
由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，
∴△DEF∽△D'E'F'．
23．（2019绍兴）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，
AD上，MN，EF交于点P，记k=MN：EF．
（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．
（2）若a：b的值为 ，求k的最大值和最小值．
（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a：b的值．
解：（1）如图1中，作FH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．
∵四边形ABCD是正方形，∴FH=AB，MQ=BC，
∵AB=CB，∴FH=MQ，
∵EF⊥MN，∴∠EON=90°，
∵∠ECN=90°，∴∠MNQ+∠CEO=180°，∠FEH+∠CEO=180°，
∴∠FEH=∠MNQ，∵∠EHF=∠MQN=90°，
∴△FHE≌△MQN（ASA），
∴MN=EF，∴k=MN：EF=1．
（2）∵a：b=1：2，∴b=2a，
由题意：2a≤MN a，a≤EF a，
∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大，最大值为 ，
当MN的长取最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为 ．
（3）连接FN，ME．
∵k=3，MP=EF=3PE，∴ 3，
∴ 2，
∴△PNF∽△PME，∴ 2，ME∥NF，
设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，NP=12m，
①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与点B重合．过点F作FH⊥BD于点H．
∵∠MPE=∠FPH=60°，
∴PH=2m，FH=2 m，DH=10m，
∴ ．
②如图3中，当点N与点C重合，过点E作EH⊥MN于点H．则PH=m，HE m，
∴HC=PH+PC=13m，∴tan∠HCE ，
∵ME∥FC，∴∠MEB=∠FCB=∠CFD，
∵∠B=∠D，∴△MEB∽△CFD，
∴ 2，∴ ，综上所述，a：b的值为 或 ．
24．（2019凉山）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于
N．
（1）求证：BD2=AD·CD；
（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．
解：（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴ ，
∴BD2=AD·CD．
（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC，
∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°，
∴BM=MD，∠MAB=∠MBA，
∴BM=MD=AM=4，
∵BD2=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD2=48，
∴BC2=BD2-CD2=12，
∴MC2=MB2+BC2=28，∴MC= ，
∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND，
∴ ，且MC= ，
∴MN= ．
25．（2019舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC
上，若BC=a，AD=h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）．
（2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？
如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任
取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使点Q'，M'在BC边上，点N'在△ABC内，然后连结BN'，并延长交AC于
点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．
（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．
（4）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE=NM，连结EQ，EM（如图3），当
∠QEM=90°时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
解：（1）证明：如图1，由正方形PQMN得PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴ ，即 ，
解得PN ．
（3）证明：由画法得，∠QMN=∠PNM=∠POM=90°，
∴四边形PQMN为矩形，
∵N'M'⊥BC，NM⊥BC，
∴NM'∥NM，
∴△BN'M'∽△BNM，
∴ ，同理可得 ，
∴ .
∵N′M′=P′N′，∴NM=PN，
∴四边形PQMN为正方形．
（4）如图2，过点N作NR⊥ME于点R．∵NE=NM，∴∠NEM=∠NME，
∴ER=RM= EM，
又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°，
∴∠EQM=∠EMN.
又∠QEM=∠NRM=90°，NM=QM，
∴△EQM≌△RMN（AAS），
∴EQ=RM，
∴EQ= EM，
∵∠QEM=90°，∴∠BEQ+∠NEM=90°，
∴∠BEQ=∠EMB，
又∵∠EBM=∠QBE，
∴△BEQ∽△BME，
∴ ．
设BQ=x，则BE=2x，BM=4x，
∴QM=BM–BQ=3x=MN=NE，
∴BN=BE+NE=5x，∴BN= NM= ．
26．（2019巴中）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△ABC，使其位似比为1∶2．且△ABC位于点C的异侧，并
1 1 1 1
表示出A的坐标．
1
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△ABC．
2 2
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
解：①如图，△ABC为所作，点A的坐标为（3，-3）．
1 1 1
②如图，△ABC为所作．
2 2
③OB= ，
点B经过的路径长= ．
27．（2019衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点
D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．
（2）若点M是线段AD的中点，求 的值．
（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°？
解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠DAC ∠BAC=30°，
在Rt△ADC中，DC=AC•tan30°=6 2 ．
（2）由题意易知：BC=6 ，BD=4 ，
∵DE∥AC，∴∠EDA=∠DAC，∠DFM=∠AGM，
∵AM=DM，∴△DFM≌△AGM（ASA），∴DF=AG，
由DE∥AC，得△BFE∽△BGA，
∴ ，
∴ ．（3）∵∠CPG=60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q，
∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形．
①当⊙Q与DE相切时，如图1，过点Q作QH⊥AC于H，并延长HQ与DE交于点P．连结QC，QG．
设⊙Q的半径QP=r．则QH r，r r=2 ，
解得r ，∴CG 4，AG=2，
易知△DFM∽△AGM，可得 ，
∴DM ，∴DM ．
②当⊙Q经过点E时，如图2，过点C作CK⊥AB，垂足为K，
设⊙Q的半径QC=QE=r．则QK=3 –r.在Rt△EQK中，12+（3 r）2=r2，解得r ，
∴CG ，
易知△DFM∽△AGM，可得DM ．
③当⊙Q经过点D时，如图3中，此时点M与点G重合，且恰好在点A处，可得DM=4 ．
∴综上所述，当DM 或 DM≤4 时，满足条件的点P只有一个．28．（2019荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处
恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E
（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC=2 m，BD=2.1 m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6
m，试确定楼的高度OE．
解：如图，设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于
点H，
∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，
∴ ，
即： ，
∴ ，∴OE=32，
答：楼的高度OE为32米．29．（2019安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA=2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h，h，h，求证h2=h·h．
1 2 3 1 2 3
证明：（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，
又∠APB=135°，∴∠PAB+∠PBA=45°，
∴∠PBC=∠PAB，
又∵∠APB=∠BPC=135°，
∴△PAB∽△PBC．
（2）∵△PAB∽△PBC，∴ ，
在Rt△ABC中，AB=AC，∴ ，
∴ ，
∴PA=2PC．
（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF=h，PD=h，PE=h，
1 2 3
∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，
∴∠APC=90°，
∴∠EAP+∠ACP=90°，
又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°，
∴∠EAP=∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴ ，即 ，∴h=2h，
3 2
∵△PAB∽△PBC，∴ ，
∴ ，
∴ ．即h2=h·h．
1 2 3
30．（2019长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相
似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写
“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题）③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形ABCD中，∠ABC=∠ABC，∠BCD=∠BCD， =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
．求证：四边形ABCD与四边形ABCD相似．
1 1 1 1
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．
记四边形ABFE的面积为S，四边形EFCD的面积为S，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求 的值．
1 2
解：（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为：假，假，真．
（2）证明：如图1中，连接BD，BD．
1 1
∵∠BCD=∠BCD，且 ，
1 1 1
∴△BCD∽△BCD，
1 1 1∴∠CDB=∠CDB，∠CBD=∠CBD，
1 1 1 1 1 1
∵ ，∴ ，
∵∠ABC=∠ABC，
1 1 1
∴∠ABD=∠ABD，
1 1 1
∴△ABD∽△ABD，
1 1 1
∴ ，∠A=∠A，∠ADB=∠ADB，
1 1 1 1
∴ ，∠ADC=∠ADC，∠A=∠A，∠ABC=∠ABC，∠BCD=∠BCD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴四边形ABCD与四边形ABCD相似．
1 1 1 1
（3）证明：∵四边形ABCD与四边形EFCD相似．
∴ ，
∵EF=OE+OF，∴ ，
∵EF∥AB∥CD，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵AD=DE+AE，
∴ ，
∴2AE=DE+AE，∴AE=DE，∴ =1．
