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2019年广西桂林市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要
求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（3分） 的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
2．（3分）若海平面以上1045米，记做+1045米，则海平面以下155米，记做（ ）
A．﹣1200米 B．﹣155米 C．155米 D．1200米
3．（3分）将数47300000用科学记数法表示为（ ）
A．473×105 B．47.3×106 C．4.73×107 D．4.73×105
4．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． 圆 B． 等边三角形
C． 直角三角形 D． 正五边形
5．（3分）9的平方根是（ ）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．9
6．（3分）如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘1次，则当转盘
停止转动时，指针指向阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．两个锐角的和是钝角
1C．直角三角形都相似
D．正六边形的内角和为360°
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a8÷a2＝a4
C．a2+a2＝2a2 D．（a+3）2＝a2+9
9．（3分）如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．a+c＞b B．a+c＞b﹣c
C．ac﹣1＞bc﹣1 D．a（c﹣1）＜b（c﹣1）
10．（3分）一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图
是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A．π B．2π C．3π D．（ +1）π
11．（3分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O
处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），
当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式
为（ ）
2A．y＝ x+ B．y＝ x+ C．y＝x+1 D．y＝ x+
二、填空题（共6小题．每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上）
13．（3分）计算：|﹣2019|＝ ．
14．（3分）某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，王老师每周对各小组合作
学习的情况进行综合评分．下表是各小组其中一周的得分情况：
组别 一 二 三 四 五 六 七 八
得分 90 95 90 88 90 92 85 90
这组数据的众数是 ．
15．（3分）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是 ．
16．（3分）若x2+ax+4＝（x﹣2）2，则a＝ ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例y＝ （k＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，
AB＝AC＝ ，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．若将△ABC向下平移m个单位长度，
A，C两点同时落在反比例函数图象上，则m的值为 ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝ ，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A
关于直线BP的对称点A，连接AC，设AC的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到
1 1 1
点D时停止运动，点Q的运动路径长为 ．
三.解答题（本大题共8题，共66分，请将解答过程写在答题卡上）
19．（6分）计算：（﹣1）2019﹣ +tan60°+（π﹣3.14）0．
20．（6分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点
叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△ABC，画出平
1 1 1
3移后的△ABC；
1 1 1
（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐为（﹣4，3）；
（3）在（2）的条件下，直接写出点A的坐标．
1
21．（8分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ﹣ ，其中x＝2+ ，y＝2．
22．（8分）某校在以“青春心向觉，建功新时代”为主题的校园文化艺术节期间，举办了A合
唱，B群舞，C书法，D演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项，小红
随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中信
息解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数是多少？扇形统计图中“D”部分的圆心角度数是多少？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有1800名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？
23．（8分）如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）求证：BE＝DE．
424．（8分）为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个A类足球和25个B类足球
共花费7500元，已知购买一个B类足球比购买一个A类足球多花30元．
（1）求购买一个A类足球和一个B类足球各需多少元？
（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划用不超过
4800元的经费再次购买A类足球和B类足球共50个，若单价不变，则本次至少可以购买
多少个A类足球？
25．（10分）如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点
E，DE＝OE．
（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；
（2）求证：OA2＝OE•DC：
（3）求tan∠ACD的值．
26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B（l，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D，在射线AD上是否
存在一点H，使△CHB的周长最小．若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点Q为抛物线的顶点，点P为射线AD上的一个动点，且点P的横坐标
为t，过点P作x轴的垂线l，垂足为E，点P从点A出发沿AD方向运动，直线l随之运动，
当﹣2＜t＜1时，直线l将四边形ABCQ分割成左右两部分，设在直线l左侧部分的面积为
S，求S关于t的函数表达式．
562019年广西桂林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要
求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．【解答】解： 的倒数是： ．
故选：A．
2．【解答】解：若海平面以上1045米，记做+1045米，则海平面以下155米，记做﹣155米．
故选：B．
3．【解答】解：将47300000用科学记数法表示为4.73×107，
故选：C．
4．【解答】解：A、是中心对称图形，本选项正确；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：A．
5．【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根为：±3．
故选：B．
6．【解答】解：当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是 ，
故选：D．
7．【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，正确，是真命题；
B、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；
C、所有的直角三角形不一定相似，故错误，是假命题；
D、正六边形的内角和为720°，故错误，是假命题；
故选：A．
8．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；
B、a8÷a2＝a6，故此选项错误；
C、a2+a2＝2a2，正确；
D、（a+3）2＝a2+6a+9，故此选项错误；
故选：C．
79．【解答】解：∵c＜0，
∴c﹣1＜﹣1，
∵a＞b，
∴a（c﹣1）＜b（c﹣1），
故选：D．
10．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 的正三角形．
∴正三角形的边长＝ ＝2．
∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，
∴底面周长为2π
∴侧面积为 2π×2＝2π，∵底面积为πr2＝π，
∴全面积是3π．
故选：C．
11．【解答】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，
∴E，G分别为AD，CD的中点，
设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，
∵∠C＝90°，
∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，
即a2+（2b）2＝（3a）2，
∴b2＝2a2，
即b＝ a，
∴ ，
∴ 的值为 ，
故选：B．
12．【解答】解：由A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），
∴AC＝7，DO＝3，
∴四边形ABCD分成面积＝ AC×（|y|+3）＝ ＝14，
B
可求CD的直线解析式为y＝﹣x+3，
设过B的直线l为y＝kx+b，
8将点B代入解析式得y＝kx+2k﹣1，
∴直线CD与该直线的交点为（ ， ），
直线y＝kx+2k﹣1与x轴的交点为（ ，0），
∴7＝ ×（3﹣ ）×（ +1），
∴k＝ 或k＝0，
∴k＝ ，
∴直线解析式为y＝ x+ ；
故选：D．
二、填空题（共6小题．每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上）
13．【解答】解：|﹣2019|＝2019，
故答案为：2019．
14．【解答】解：90出现了4次，出现的次数最多，则众数是90；
故答案为：90
15．【解答】解：x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x＝3，x＝2．
1 2
故答案为x＝3，x＝2．
1 2
16．【解答】解：∵x2+ax+4＝（x﹣2）2，
∴a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
17．【解答】解：∵AB＝AC＝ ，BC＝4，点A（3，5）．
∴B（1， ），C（5， ），
将△ABC向下平移m个单位长度，
∴A（3，5﹣m），C（5， ﹣m），
∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，
∴3（5﹣m）＝5（ ﹣m），
9∴m＝ ；
故答案为 ；
18．【解答】解：如图，连接BA，取BC使得中点O，连接OQ，BD．
1
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴tan∠ABD＝ ＝ ，
∴∠ABD＝60°，
∵AQ＝QC，BO＝OC，
1
∴OQ＝ BA＝ AB＝ ，
1
∴点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120°，
∴点Q的运动路径长＝ ＝ π．
故答案为 π．
三.解答题（本大题共8题，共66分，请将解答过程写在答题卡上）
19．【解答】解：原式＝﹣1﹣2 + +1
＝﹣ ．
20．【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；
1 1 1
10（2）如图，
（3）点A的坐标为（2，6）．
1
21．【解答】解：原式＝ • +
＝ +
＝ ，
当x＝2+ ，y＝2时，
原式 ＝ ．
22．【解答】解：（1）本次调查的学生总人数是120÷60%＝200（人），
扇形统计图中“D”部分的圆心角度数是360°× ＝14.4°；
（2）C项目人数为200﹣（120+52+8）＝20（人），
补全图形如下：
11（3）估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有1800× ＝252（人）．
23．【解答】解：（1）在△ABC与△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BAC＝∠DAC
即AC平分∠BAD；
（2）由（1）∠BAE＝∠DAE
在△BAE与△DAE中，得
∴△BAE≌△DAE（SAS）
∴BE＝DE
24．【解答】解：（1）设购买一个A类足球需要x元，购买一个B类足球需要y元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：购买一个A类足球需要90元，购买一个B类足球需要120元．
（2）设购买m个A类足球，则购买（50﹣m）个B类足球，
依题意，得：90m+120（50﹣m）≤4800，
解得：m≥40．
答：本次至少可以购买40个A类足球．
25．【解答】证明：（1）∵BM是以AB为直径的⊙O的切线，
∴∠ABM＝90°，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC＝ ∠ABM＝45°
∵AB是直径
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∴AC＝BC
12∴△ACB是等腰直角三角形；
（2）如图，连接OD，OC
∵DE＝EO，DO＝CO
∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD
∴∠EDO＝∠EDO，∠EOD＝∠OCD
∴△EDO∽△ODC
∴
∴OD2＝DE•DC
∴OA2＝DE•DC＝EO•DC
（2）如图，连接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于点F，
∵DO＝BO
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO，
∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB，
∴∠ODB＝15°＝∠OBD
∵∠BAF＝∠DBA＝15°
∴AF＝BF，∠AFD＝30°
∵AB是直径
∴∠ADB＝90°
∴AF＝2AD，DF＝ AD
∴BD＝DF+BF＝ AD+2AD
13∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝ ＝ ＝2﹣
26．【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和B（l，0）
∴交点式为y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣（x2+x﹣2）
∴抛物线的表示式为y＝﹣x2﹣x+2
（2）在射线AD上存在一点H，使△CHB的周长最小．
如图1，延长CA到C'，使AC'＝AC，连接BC'，BC'与AD交点即为满足条件的点H
∵x＝0时，y＝﹣x2﹣x+2＝2
∴C（0，2）
∴OA＝OC＝2
∴∠CAO＝45°，直线AC解析式为y＝x+2
∵射线AC绕点A顺时针旋转90°得射线AD
∴∠CAD＝90°
∴∠OAD＝∠CAD﹣∠CAO＝45°
∴直线AD解析式为y＝﹣x﹣2
∵AC'＝AC，AD⊥CC'
∴C'（﹣4，﹣2），AD垂直平分CC'
∴CH＝C'H
∴当C'、H、B在同一直线上时，C ＝CH+BH+BC＝C'H+BH+BC＝BC'+BC最小
△CHB
设直线BC'解析式为y＝kx+a
∴ 解得：
∴直线BC'：y＝ x﹣
∵ 解得：
∴点H坐标为（﹣ ，﹣ ）
14（3）∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+ ）2+
∴抛物线顶点Q（﹣ ， ）
①当﹣2＜t≤﹣ 时，如图2，直线l与线段AQ相交于点F
设直线AQ解析式为y＝mx+n
∴ 解得：
∴直线AQ：y＝ x+3
∵点P横坐标为t，PF⊥x轴于点E
∴F（t， t+3）
∴AE＝t﹣（﹣2）＝t+2，FE＝ t+3
∴S＝S ＝ AE•EF＝ （t+2）（ t+3）＝ t2+3t+3
△AEF
②当﹣ ＜t≤0时，如图3，直线l与线段QC相交于点G，过点Q作QM⊥x轴于M
∴AM＝﹣ ﹣（﹣2）＝ ，QM＝
∴S ＝ AM•QM＝
△AQM
设直线CQ解析式为y＝qx+2
把点Q代入：﹣ q+2＝ ，解得：q＝﹣
∴直线CQ：y＝﹣ x+2
∴G（t，﹣ t+2）
∴EM＝t﹣（﹣ ）＝t+ ，GE＝﹣ t+2
∴S ＝ （QM+GE）•ME＝ （ ﹣ t+2）（t+ ）＝﹣ t2+2t+
梯形MEGQ
15∴S＝S +S ＝ +（﹣ t2+2t+ ）＝﹣ t2+2t+
△AQM 梯形MEGQ
③当0＜t＜1时，如图4，直线l与线段BC相交于点N
设直线BC解析式为y＝rx+2
把点B代入：r+2＝0，解得：r＝﹣2
∴直线BC：y＝﹣2x+2
∴N（t，﹣2t+2）
∴BE＝1﹣t，NE＝﹣2t+2
∴S ＝ BE•NE＝ （1﹣t）（﹣2t+2）＝t2﹣2t+1
△BEN
∵S ＝ （QM+CO）•OM＝ ×（ +2）× ＝ ，S ＝ BO•CO＝ ×1×2＝1
梯形MOCQ △BOC
∴S＝S +S +S ﹣S ＝ + +1﹣（t2﹣2t+1）＝t2﹣2t+
△AQM 梯形MOCQ △BOC △BEN
综上所述，S＝
1617
