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2019年中考数学真题分类训练——专题十九：二次函数综合题
1．（2019广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= 与x轴交于点A、B
（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C
顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（3）如图2，过顶点D作DD⊥x轴于点D，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂
1 1
足，使得△PAM与△DDA相似（不含全等）．
1
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；
②直接回答这样的点P共有几个？
解：（1）令 =0，
解得x=1，x=–7．∴A（1，0），B（–7，0）．
1 2
由y= = 得，D（–3，–2 ）；
（2）∵DD⊥x轴于点D，∴∠COF=∠DDF=90°，
1 1 1
∵∠DFD=∠CFO，∴△DDF∽△COF，∴ ，
1 1
∵D（–3，–2 ），
∴DD=2 ，OD=3，
1∵AC=CF，CO⊥AF，∴OF=OA=1，
∴DF=DO–OF=3–1=2，∴ ，
1 1
∴OC= ，∴CA=CF=FA=2，
∴△ACF是等边三角形，∴∠AFC=∠ACF，
∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，
∴∠ECF=∠AFC=60°，∴EC∥BF，
∵EC=DC= =6，
∵BF=6，∴EC=BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（3）∵点P是抛物线上一动点，
∴设P点（x， ），
①当点P在B点的左侧时，
∵△PAM与△DDA相似，
1
∴ 或 ，
∴ 或 ，解得：x=1（不合题意舍去），x=–11或x=1（不合题意舍去）x=– ；
1 2 1 2
当点P在A点的右侧时，
∵△PAM与△DDA相似，∴ 或 ，
1
∴ 或 ，
解得：x=1（不合题意舍去），x=–3（不合题意舍去）或x=1（不合题意舍去），x=– （不合题意
1 2 1 2
舍去）；
当点P在AB之间时，
∵△PAM与△DDA相似，
1
∴ = 或 = ，
∴ 或 ，
解得：x=1（不合题意舍去），x=–3（不合题意舍去）或x=1（不合题意舍去），x=– ；
1 2 1 2
综上所述，点P的横坐标为–11或– 或– ；
②由①得，这样的点P共有3个．
2．（2019深圳）如图，抛物线经y=ax2+bx+c过点A（-1，0），点C（0，3），且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最
小值．
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．
解：（1）∵OB=OC，
∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3，对称轴为x=1．
（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC 、DE=1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，
取点A′（-1，1），则A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，
四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE A′D+DC′ A′C′
．
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，
又∵S ∶S EB×（y-y）∶ AE×（y-y）=BE∶AE，
△PCB △PCA C P C P
则BE∶AE=3∶5或5∶3，
则AE 或 ，
即：点E的坐标为（ ，0）或（ ，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，
解得：k=-6或-2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3，
联立 并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．
3.（2019雅安） 已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点（2，-1），点P（P与O不重合）是图象上的
一点，直线l过点（0，1）且平行于x轴。PM⊥l于点M，点F（0，-1）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：点P在线段MF的中垂线上；
（3）设直线 PF交二次函数的图象于另一点Q，QN⊥l于点N，线段MF的中垂线交l于点R，求 的
值；
（4）试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系．
y
(0,1)
l
O x
F(0,-1)解：（1）∵y=ax2(a≠0)的图象过点（2，-1），∴-1=a×22，即a= ，∴ ；
（2）设 的图象上的点P（x ,y ）,则M(x ，1)， ，即x 2=-4y ，PM=｜1-y ｜，
1 1 1 1 1 1
又
PF= = = = =｜y -1｜=PM，即
1
PF=PM，∴点P在线段MF的中垂线上；
（3）连接 RF，∵R在线段 MF的中垂线上，∴MR=FR，又∵PM=PF，PR=PR，∴△PMR≌△PFR，
∴∠PFR=∠PMR=90°，∴RF⊥PF，连接RQ，又在Rt△RFQ和Rt△RNQ中，∵Q 在 的图象上，
由（2）结论知∴QF=QN，∵RQ=RQ，∴Rt△RFQ ≌Rt△RNQ，即 RN=FR，即 MR=FR=RN，∴
；
（4）在△PQR中，由（3）知PR平分∠MRF，QR平分∠FRN，∴∠PRQ= （∠MRF+∠FRN）=90°，
∴点R在以线段PQ为直径的圆上．4．（2019南宁）如果抛物线C的顶点在拋物线C上，抛物线C的顶点也在拋物线C上时，那么我们
1 2 2 1
称抛物线C与C“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C：y= x2+x与C：y=ax+x+c是
1 2 1 1 2 2 2
“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C，C的顶点，抛物线C经过点D（6，–1）．
1 2 2
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C的解析式；
2
（2）抛物线C上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，
2
请说明理由；
（3）如图2，点F（–6，3）在抛物线C上，点M，N分别是抛物线C，C上的动点，且点M，N的横
1 1 2
坐标相同，记△AFM面积为S（当点M与点A，F重合时S=0），△ABN的面积为S（当点N与点A，
1 1 2
B重合时，S=0），令S=S+S，观察图象，当y≤y时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最
2 1 2 1 2
大值．
解：（1）C顶点在C上，C顶点也在C上，
1 2 2 1
由抛物线C：y= x2+x可得A（–2，–1），
1 1
将A（–2，–1），D（6，–1）代入y=ax+x+c
2 2
得 ，解得 ，
∴y=– x2+x+2，∴B（2，3）；
2
（2）易得直线AB的解析式：y=x+1，
①若B为直角的顶点，BE⊥AB，k •k =–1，
BE AB
∴k =–1，则直线BE的解析式为y=–x+5．
BE联立 ，
解得 或 ，此时E（6，–1）；
②若A为直角顶点，AE⊥AB，k •k =–1，
AE AB
∴k =–1，则直线AE的解析式为y=–x–3，
AE
联立 ，
解得 或 ，
此时E（10，–13）；
③若E为直角顶点，设E（m，– m2+m+2）
由AE⊥BE得k •k =–1，
BE AE
即 ，
解得m=2或–2（不符合题意均舍去），
∴存在，∴E（6，–1）或E（10，–13）；
（3）∵y≤y，观察图形可得：x的取值范围为–2≤x≤2，
1 2
设M（t， t2+t），N（t，− t2+t+2），且–2≤t≤2，
易求直线AF的解析式：y=–x–3，
过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，由y=y ，得Q（ t2−t−3， t2+t），
Q M
S= |QM|•|y–y|= t2+4t+6，
1 F A
设AB交MN于点P，易知P坐标为（t，t+1），
S= |PN|•|x–x|=2– t2，
2 A B
S=S+S=4t+8，
1 2
当t=2时，S的最大值为16．
5．（2019广州）已知抛物线G：y=mx2-2mx-3有最低点．
（1）求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G顶点的纵
1 1
坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值
范围．
解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，
∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3．
（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，
∴平移后的抛物线G：y=m（x-1-m）2-m-3，
1
∴抛物线G顶点坐标为（m+1，-m-3），
1
∴x=m+1，y=-m-3，
∴x+y=m+1-m-3=-2，
即x+y=-2，变形得y=-x-2，
∵m>0，m=x-1，∴x-1>0，
∴x>1，
∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x>1）．
（3）法一：如图，函数H：y=-x-2（x>1）图象为射线，
x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4，
∴函数H的图象恒过点B（2，-4），
∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，
x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3，
∴抛物线G恒过点A（2，-3），
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y<y<y，
B P A
∴点P纵坐标的取值范围为-4<y<-3．
P
法二： ，
整理的：m（x2-2x）=1-x，
∵x>1，且x=2时，方程为0=-1不成立，
∴x≠2，即x2-2x=x（x-2）≠0，
∴m 0，
∵x>1，
∴1-x<0，
∴x（x-2）<0，
∴x-2<0，
∴x<2，即1<x<2，
∵y=-x-2，
P∴-4<y<-3，
P
6．（2019海南）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（–5，0），B（–4，–3）两点，与x轴的另
一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5．
（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F.
在抛物线y=x2+6x+5中，
令y=0，则x2+6x+5=0，
解得x=–5，x=–1，
∴点C的坐标为（–1，0）.由点B（–4，–3）和C（–1，0），可得
直线BC的表达式为y=x+1.
设点P的坐标为（t，t2+6t+5），由题知–4<t<–1，
则点F（t，t+1），
∴FP=（t+1）–（t2+6t+5）=–t2–5t–4，
∴S△PBC=S△FPB+S△FPC= •FP•3
=
=
= .
∵–4<– <–1，
∴当t=– 时，△PBC的面积的最大值为 ．
②存在．
∵y=x2+6r+5=（x+3）2–4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（–3，–4）.
由点C（–l，0）和D（–3，–4），可得
直线CD的表达式为y=2x+2.
分两种情况讨论：
（i）当点P在直线BC上方时，有∠PBC=∠BCD，如图2.若∠PBC=∠BCD，
则PB∥CD，
∴设直线PB的表达式为y=2x+b.
把B（–4，–3）代入y=2x+b，得b=5，
∴直线PB的表达式为y=2x+5.
由x2+6x+5=2x+5，解得x=0，x=–4（舍去），
1 2
∴点P的坐标为（0，5）.
（ii）当点P在直线BC下方时，有∠PBC=∠BCD，如图3.
设直线BP与CD交于点M，则MB=MC.
过点B作BN⊥x轴于点N，则点N（–4，0），
∴NB=NC=3，
∴MN垂直平分线段BC.
设直线MN与BC交于点G，则线段BC的中点G的坐标为 ，
由点N（–4，0）和G ，得
直线NG的表达式为y=–x–4.∵直线CD:y=2x+2与直线NG:y=–x–4交于点M，
由2x+2=–x–4，解得x=–2，
∴点M的坐标为（–2，–2）.
由B（–4，–3）和M（–2.–2），得
直线BM的表达式为y= ．
由x2+6x+5= ，解得x=– ，x=–4（含去），
1 2
∴点P的坐标为（– ，– ）.
综上所述，存在满足条件的点P的坐标为（0，5）和（– ，– ）.
7. （2019镇江）如图，二次函数 图象的顶点为 ，对称轴是直线1，一次函数
的图象与 轴交于点 ，且与直线 关于 的对称直线交于点 ．
（1）点 的坐标是 ；
（2）直线 与直线 交于点 ， 是线段 上一点（不与点 、 重合），点 的纵坐标为 ．过点
作直线与线段 、 分别交于点 、 ，使得 与 相似．
①当 时，求 的长；
②若对于每一个确定的 的值，有且只有一个 与 相似，请直接写出 的取值范围 ．
解：（1）顶点为 ；故答案为 ；
（2）对称轴 ，，
由已知可求 ， ，
点 关于 对称点为 ， ，
则 关于 对称的直线为 ，
，
①当 时， ，
， ，
当 时， ，
，
，
；
当 与 不平行时， ，
，
，
；
综上所述， ；
②当 ， 时，
，
，
，
，有且只有一个 与 相似时， ；
故答案为 ；
8．（2019陕西）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y=ax2+（c–a）x+c经过点A（–3，0）和点B
（0，–6），L关于原点O对称的抛物线为L′．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB相似，求
符合条件的点P的坐标．
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得 ，∴L：y=–x2–5x–6．
（2）∵点A、B在L′上的对应点分别为A′（3，0）、B′（0，6），
∴设抛物线L′的表达式y=x2+bx+6，
将A′（–3，0）代入y=x2+bx+6，得b=–5，
∴抛物线L′的表达式为y=x2–5x+6，
A（–3，0），B（0，–6），
∴AO=3，OB=6，
设：P（m，m2–5m+6）（m＞0），
∵PD⊥y轴，∴点D的坐标为（0，m2–5m+6），∵PD=m，OD=m2–5m+6，
Rt△POD与Rt△AOB相似.
①△PDO∽△BOA时， = ，即m=2（m2–5m+6），解得：m= 或4；
②当△ODP∽△AOB时，
同理可得：m=1或6；
∵P、P、P、P均在第一象限，
1 2 3 4
∴符合条件的点P的坐标为（1，2）或（6，12）或（ ， ）或（4，2）．
9. （2019常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的
坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．
（1）b＝ ；
（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在
这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S ＝
△PQB
2S ，求点P的坐标．
△QRB
解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）
∴﹣1﹣b+3＝
解得：b＝2
故答案为：2．
（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．
∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3当x＝0时y＝3，
∴C（0，3）
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0
解得：x＝﹣1，x＝3
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3
∵点D为OC的中点，
∴D（0， ）
∴直线BD的解析式为y ，
设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t， t ），H（t，0）
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（ x ） t ，NH
t
∴MN＝NH
∵PM＝MN
∴﹣t2+3t t
解得：t ，t＝3（舍去）
1 2
∴P（ ， ）
∴P的坐标为（ ， ），使得PM＝MN＝NH．（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E
∵OB＝3，OD ，∠BOD＝90°
∴BD
∴cos∠OBD
∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F
∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°
∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°
∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD
在Rt△PQE中，cos∠EPQ
∴PQ PE
在Rt△PFR中，cos∠RPF
∴PR PF∵S ＝2S ，S BQ•PQ，S BQ•QR
△PQB △QRB △PQB △QRB
∴PQ＝2QR
设直线BD与抛物线交于点G
∵ x2+2x+3，解得：x＝3（即点B横坐标），x
1 2
∴点G横坐标为
设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t， t ）
∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（ t ）|＝|﹣t2 t |
①若 t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，
∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2 t
∵PQ＝2QR
∴PQ PR
∴ PE • PF，即6PE＝5PF∴6（﹣t2 t ）＝5（﹣t2+2t+3）
解得：t＝2，t＝3（舍去）
1 2
∴P（2，3）
②若﹣1＜t ，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，
此时，PQ＜QR，即S ＝2S 不成立．
△PQB △QRB
③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，
∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE t （﹣t2+2t+3）＝t2 t
∵PQ＝2QR
∴PQ＝2PR
∴ PE＝2• PF，即2PE＝5PF
∴2（t2 t ）＝5（t2﹣2t﹣3）解得：t ，t＝3（舍去）
1 2
∴P（ ， ）
综上所述，点P坐标为（2，3）或（ ， ）．
10．（2019河北）如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x–b与y轴交于点
B；抛物线L：y=–x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．
（1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x≠0，点（x，y），（x，y），（x，y）分别在l，a和L上，且y是y，y的平均数，求
0 0 1 0 2 0 3 3 1 2
点（x，0）与点D间的距离；
0
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出
b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．
解：（1）当x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B（0，﹣b），
∵AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4．
∴L：y=﹣x2+4x，∴L的对称轴x=2，
当x=2时，y=x﹣4=﹣2，
∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2）；
（2）∵y=﹣（x﹣ ）2+ ，∴L的顶点C（ ， ），∵点C在l下方，∴C与l的距离为b﹣ =﹣ （b﹣2）2+1≤1，
∴点C与l距离的最大值为1；
（3）由題意得 ，即y+y=2y，
1 2 3
得b+x﹣b=2（﹣x2+bx），
0 0 0
解得x=0或x=b﹣ ．但x≠0，取x=b﹣ ，
0 0 0 0
对于L，当y=0时，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得x=0，x=b，
1 2
∵b＞0，∴右交点D（b，0）．
∴点（x，0）与点D间的距离为b﹣（b﹣ ）= .
0
（4）①当b=2019时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019x，
直线解析式a：y=x﹣2019，
联立上述两个解析式可得：x=﹣1，x=2019，
1 2
∴可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019），共有
2021个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点，
∵这两段图象交点有2个点重复重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；
②当b=2019.5时，
抛物线解析式L：y=﹣x2+2019.5x，
直线解析式a：y=x﹣2019.5，
联立上述两个解析式可得：x=﹣1，x=2019.5，
1 2
∴当x取整数时，在一次函数y=x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，
在二次函数y=x+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，
可知﹣1到2019.5之间有1009个偶数，并且在﹣1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合，
条件，因此“美点”共有1010个．
故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．11. （2019邵阳）如图，二次函数 的图象过原点，与 轴的另一个交点为
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在 轴上方作 轴的平行线 ，交二次函数图象于 、 两点，过 、 两点分别作 轴的垂线，
垂足分别为点 、点 ．当矩形 为正方形时，求 的值；
（3）在（2）的条件下，动点 从点 出发沿射线 以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点 以相同
的速度从点 出发沿线段 匀速运动，到达点 时立即原速返回，当动点 返回到点 时， 、 两点
同时停止运动，设运动时间为 秒 ．过点 向 轴作垂线，交抛物线于点 ，交直线 于点 ，
问：以 、 、 、 四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出 的值；若不能，请说
明理由．
解：（1）将 ， 代入 ，得：
，解得： ，
该二次函数的解析式为 ．
（2）当 时， ，
解得： ， ，
点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ，
点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ．矩形 为正方形，
，
解得： （舍去）， ．
当矩形 为正方形时， 的值为4．
（3）以 、 、 、 四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，得：
，解得： ，
直线 的解析式为 ．
当 时， ， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
以 、 、 、 四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且 ，
，分三种情况考虑：
①当 时，如图1所示， ， ，
，
解得： （舍去）， ；②当 时，如图2所示， ， ，
，
解得： （舍去）， ；
③当 时， ， ，
，
解得： （舍去）， （舍去）．
综上所述：当以 、 、 、 四点为顶点构成的四边形为平行四边形时， 的值为4或6．
12．（2019河南）如图，抛物线y=ax2+ x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=– x–2
经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B′，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在
y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y=kx+b的解析式．（k，b可用含m的式
子表示）解：（1）∵直线y=– x–2交x轴于点A，交y轴于点C，
∴A（-4，0），C（0，-2）.
∵抛物线y=ax2+ x+c经过点A，C，
∴ ，∴
∴抛物线的解析式为y= x2+ x–2．
（2）①∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m， m2+ m–2）.
当△PCM是直角三角形时，有以下两种情况：
（i）当∠CPM=90°时，PC∥x轴， x2+ x–2=-2.
解得m=0（舍去），m=-2.
1 2
∵当m=-2时， m2+ m–2=-2.
∴点P的坐标为（-2，-2）.
（ii）当∠PCM=90°时，过点P作PN⊥y轴于点N，∴∠CNP=∠AOC=90°.
∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，
：∠NCP=∠OAC，∴△GNP∽△AOC，∴ ，
∵C（0，-2），N（0， m2+ m–2），
∴CN= ，PN=m.
即 ，解得a=0（含去），m=6.
3 4
∵当m=6时， m2+ m–2=10，
∴点P的坐标为（6，10）.
综上所述，点P的坐标为（-2，-2）或（6，10）.
②当y=0时， x2+ x–2=0，
解得x=–4，x=2，
1 2
∴点B的坐标为（2，0）．
∵点C的坐标为（0，–2），点B，B′关于点C对称，
∴点B′的坐标为（–2，–4）．
∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），
∴点M的坐标为（m，– m–2）．
利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y=– x+ ，
直线B′M的解析式为y= x– ，直线BB′的解析式为y=x–2．
分三种情况考虑，如图2所示：
当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y=– x–2；
当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y= x–2；
当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（ m，– m–2）时，直线l的解析式为y=x– m–2．
综上所述：直线l的解析式为y=– x–2，y= x–2或y=x– m–2．
13. （2019荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，
0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值
最小时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，
是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点
M的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）∵平行四边形OABC中，A（6，0），C（4，3）
∴BC＝OA＝6，BC∥x轴
∴x＝x+6＝10，y＝y＝3，即B（10，3）
B C B C
设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y x2 x
（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P
∵C（4，3）
∴OC
∵BC∥OA
∴∠OEC＝∠AOE
∵OE平分∠AOC
∴∠AOE＝∠COE∴∠OEC＝∠COE
∴CE＝OC＝5
∴x＝x+5＝9，即E（9，3）
E C
∴直线OE解析式为y x
∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x 7
∴F（7， ）
∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上
∴E'（9，﹣3），PE＝PE'
∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小
设直线E'F解析式为y＝kx+h
∴ 解得：
∴直线E'F：y x+21
当 x+21＝0时，解得：x
∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（ ，0）．
（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．
设AH与OE相交于点G（t， t），如图2，∵AH⊥OE于点G，A（6，0）
∴∠AGO＝90°
∴AG2+OG2＝OA2
∴（6﹣t）2+（ t）2+t2+（ t）2＝62
∴解得：t＝0（舍去），t
1 2
∴G（ ， ）
设直线AG解析式为y＝dx+e
∴ 解得：
∴直线AG：y＝﹣3x+18
当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5
∴H（5，3）
∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称
①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2
则HE∥MN，MN＝HE＝4
∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上
∴x ＝7+4或7﹣4，即x ＝11或3
M M
当x＝3时，y 9 9
M∴M（3， ）或（11， ）
②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3
则HE、MN互相平分
∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上
∴点M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点
∴y 49 7 4
M
∴M（7，4）
综上所述，点M坐标为（3， ）、（11， ）或（7，4）．
14. （2019梧州）如图，已知 的圆心为点 ，抛物线 过点 ，与 交于 、
两点，连接 、 ，且 ， 、 两点的纵坐标分别是2、1．
（1）请直接写出点 的坐标，并求 、 的值；
（2）直线 经过点 ，与 轴交于点 ．点 （与点 不重合）在该直线上，且 ，请判
断点 是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线 与 相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．解：（1）过点 、 分别作 轴的垂线交于点 、 ，
， ，
，又 ，
△ ，
， ，
故点 、 的坐标分别为 、 ，
将点 、 坐标代入抛物线 并解得：
， ，
故抛物线的表达式为： ；
（2）将点 坐标代入 并解得： ，则点 ，
点 、 、 、 的坐标分别为 、 、 、 ，
则 ， ，
点 在直线 上，则设 的坐标为 ，
，则 ，
解得： 或6（舍去 ，
故点 ，
把 代入 ，
故点 在抛物线上；（3）①当切点在 轴下方时，
设直线 与 相切于点 ，直线与 轴、 轴分别交于点 、 ，连接 ，
， ，
， ， ，
，即： ，
解得： 或 （舍去 ，
故点 ，
把点 、 坐标代入 并解得：
直线的表达式为： ；
②当切点在 轴上方时，
直线的表达式为： ；
故满足条件的直线解析式为： 或 ．
15.（2019本溪）抛物线 与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称
轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合），过点C作直线PB的垂
线交PB于点E，交x轴于点F.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标.
解：（1）函数的表达式为：y= (x+1)(x-5)=- x2+ x+ ；
（2）抛物线的对称轴为x=1，则点C（2，2），
设点P（2，m），
将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y=sx+t并解得：
函数PB的表达式为：y=- mx+ …①，
∵CE⊥PE，故直线CE表达式中的k值为 ，
将点C的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线CE的表达式为：y= x+(2− )…②，
联立①②并解得：x=2- ，
故点F（2- ，0），S = ×PC×DF= (2-m)(2- -2)=5，
△PCF
解得：m=5或-3（舍去5），
故点P（2，-3）；
（3）由（2）确定的点F的坐标得：
CP2=(2-m)2，CF2=( )2+4，PF2=( )2+m2，
①当CP=CF时，即：(2-m)2=( )2+4，解得：m=0或 （均舍去），
②当CP=PF时，(2-m)2=( )2+m2，解得：m= 或3（舍去3），
③当CF=PF时，同理可得：m=±2（舍去2），
故点P（2， ）或（2，-2）．
16. （2019湘西）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE
上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中
点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF
周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为 ？若存在，求出点P的
坐标；若不存在，请说明理由；
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL
平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2
∴A（2，0）
∵OA：AD＝1：3
∴AD＝3OA＝6
∵四边形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E
∴ 解得：
∴抛物线的解析式为y x2﹣4x
（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、
M'N'∵y x2﹣4x （x﹣4）2﹣8
∴抛物线对称轴为直线x＝4
∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）
∴y＝y＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称
C D
∴x＝4+（4﹣x）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）
C D
∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°
∴∠BAM＝45°
∴BM＝AB＝4
∴M（6，﹣4）
∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上
∴M'（6，4），FM＝FM'
∵N为CD中点
∴N（4，﹣6）
∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上
∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'
∴C ＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'
四边形MNGF
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小
∴C ＝MN+M'N' 2 10 12
四边形MNGF
∴四边形MNGF周长最小值为12 ．
（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为 ．
过点P作PE∥y轴交直线OD于点E
∵D（2，﹣6）
∴OD ，直线OD解析式为y＝﹣3x设点P坐标为（t， t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）
①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧
∴PE＝y﹣y＝﹣3t﹣（ t2﹣4t） t2+t
E P
∴S ＝S +S PE•x PE•（x﹣x） PE（x+x﹣x） PE•x＝PE t2+t
△ODP △OPE △DPE P D P P D P D
∵△ODP中OD边上的高h ，
∴S OD•h
△ODP
∴ t2+t 2
方程无解
②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧∴PE＝y﹣y t2﹣4t﹣（﹣3t） t2﹣t
P E
∴S ＝S ﹣S PE•x PE•（x﹣x） PE（x﹣x+x） PE•x＝PE t2﹣t
△ODP △OPE △DPE P P D P P D D
∴ t2﹣t 2
解得：t＝﹣4（舍去），t＝6
1 2
∴P（6，﹣6）
综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为 ．
（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L
∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4∴K（m，0），L（2+m，0）
连接AC，交KL于点H
∵S ＝S S
△ACD 四边形ADLK 矩形ABCD
∴S ＝S
△AHK △CHL
∵AK∥LC
∴△AHK∽△CHL
∴
∴AH＝CH，即点H为AC中点
∴H（4，﹣3）也是KL中点
∴
∴m＝3
∴抛物线平移的距离为3个单位长度．
17. （2019郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交
于点 C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）点F是线段AD上一个动点．
①如图1，设k ，当k为何值时，CF AD？
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，
∴AC2＝OA2+OC2＝18，
∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），
∴CD2＝12+12＝2
∴AD2＝22+42＝20
∴AC2+CD2＝AD2
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．
∵ ，
∴F为AD的中点，
∴ ，
∴ ．②在Rt△ACD中，tan ，
在Rt△OBC中，tan ，
∴∠ACD＝∠OCB，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠FAO＝∠ACB，
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：
当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，
∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，
∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
∴ ，解得： ，
∴直线AD的解析式为y＝2x+6，
∴ ，解得： ，
∴F（ ）．
当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，
∵∠CAB＝45°，
∴OF⊥AC，
∴直线OF的解析式为y＝﹣x，∴ ，解得： ，
∴F（﹣2，2）．
综合以上可得F点的坐标为（ ）或（﹣2，2）．
18.（2019孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、
B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，线段AC的长为 ，抛物线的解析式为 ．
（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．
①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．
②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE
＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4 m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f和f的
1 2
大小．
解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a ，
故抛物线的表达式为：y x2﹣x﹣4，
令y＝0，则x＝4或﹣2，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），则AC＝2 ，
故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2 、y x2﹣x﹣4；
（2）①当BC是平行四边形的一条边时，
如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B，
设：点P（n， n2﹣n﹣4），点Q（m，0），
则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q，
即：n+4＝m， n2﹣n﹣4+4＝0，
解得：m＝4或6（舍去4），
即点Q（6，0）；
②当BC是平行四边形的对角线时，
设点P（m，n）、点Q（s，0），其中n m2﹣m﹣4，
由中心公式可得：m+s＝﹣2，n+0＝4，
解得：s＝2或4（舍去4），
故点Q（2，0）；
故点Q的坐标为（2，0）或（6，0）；（3）如图2，过点P作PH∥x轴交BC于点H，
∵GP∥y轴，∴∠HEP＝∠ACB，
∵PH∥x轴，∴∠PHO＝∠AOC，
∴△EPH∽△CAO，∴ ，即： ，
则EP PH，
设点P（t，y），点H（x，y），
P H P
则 t2﹣t﹣4＝x﹣4，
H
则x t2﹣t，
H
f PH＝[t﹣（ t2﹣t）] （t2﹣4t），
当t＝m时，f （m2﹣4m），
1
当t＝4 m时，f （ m2﹣2m），
2则f﹣f m（m ），
1 2
则0＜m＜2，∴f﹣f＞0，
1 2
f＞f．
1 2
19. （2019咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛
物线y x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直
接写出所有符合条件的E点的坐标．
解：（1）在 中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2
∴A（4，0），B（0，2）
把A（4，0），B（0，2），代入 ，得
，解得
∴抛物线得解析式为（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F
∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE
∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE
即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE
∴∠DBE＝∠ABE
∴∠DBE＝∠BAC
设D点的坐标为（x， ），则BF＝x，DF
∵tan∠DBE ，tan∠BAC
∴ ，即
解得x＝0（舍去），x＝2
1 2
当x＝2时， 3
∴点D的坐标为（2，3）
（3）当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF
设E（m， ），F（m， ）
EF＝|（ ）﹣（ ）|＝2
解得m＝2， ，
1
当BO为对角线时，OB与EF互相平分
过 点 O 作 OF∥ AB， 直 线 OF 交 抛 物 线 于 点 F（ ） 和 （
）
求得直线EF解析式为 或直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为 或
∴ E 点 的 坐 标 为 （ 2 ， 1 ） 或 （ ， ） 或 （ ） 或 （
）或（ ）
20. （2019十堰）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0， ），与x轴交于另一点
B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等
腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，且 m，试确定满足条件的点P的个数．
解：（1）由题意： ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y （x﹣2）2+3，
∴顶点D坐标（2，3）．
（2）可能．如图1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），
∴AB＝8，AD＝BD＝5，
①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，
∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．
②当DE＝EF时，
又∵△BEF∽△AED，
∴△BEF≌△AED，
∴BE＝AD＝5
③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，
△FDE∽△DAB，
∴ ，
∴ ，
∵△AEF∽△BCE
∴ ，
∴EB AD ，
答：当BE的长为5或 时，△CFE为等腰三角形．
（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n， （n﹣2）2+3]，
则S ＝S +S ﹣S 4×[ （n﹣2）2+3] 3×（n﹣2） 4×3 （n﹣4）2
△PBD △PBH △PDH △BDH
，
∵ 0，
∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为 ，
∵ m，
∴当点P在BD的右侧时，m的最大值 ，
观察图象可知：当0＜m 时，满足条件的点P的个数有4个，
当m 时，满足条件的点P的个数有3个，
当m 时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．
21. （2019黔西南）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点
C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S ：S ＝1：2时，请求出点D的坐标；
△CPD △BPD
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG
＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，
顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵S ：S ＝1：2，
△CPD △BPD
∴BD BC 2 ，
y＝BDsin∠CBO＝2，
D
则点D（﹣1，2）；
（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝45°，∴OH＝OE＝1，
则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，
联立①②并解得：x （舍去正值），
故点P（ ， ）；
（4）不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），
则S ＝S +S 3×3 （﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，
四边形BOCP △OBC △PBC
整理得：3x2+9x+7＝0，
解得：△＜0，故方程无解，
则不存在满足条件的点P．
22. （2019贵港）如图，已知抛物线 的顶点为 ，与 轴相交于点 ，对称轴
为直线 ，点 是线段 的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点 的坐标并求直线 的表达式；
（3）设动点 ， 分别在抛物线和对称轴 上，当以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形时，
求 ， 两点的坐标．解：（1）函数表达式为： ，
将点 坐标代入上式并解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
（2） 、 ，则点 ，
设直线 的表达式为： ，
将点 坐标代入上式得： ，解得： ，
故直线 的表达式为： ；
（3）设点 、点 ，
①当 是平行四边形的一条边时，
点 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到 ，
同样点 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到 ，
即： ， ，
解得： ， ，
故点 、 的坐标分别为 、 ；
②当 是平行四边形的对角线时，
由中点定理得： ， ，
解得： ， ，
故点 、 的坐标分别为 、 ；
故点 、 的坐标分别为 或 、 或 ．
