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2019年中考数学真题分类训练——专题十九：二次函数综合题
1．（2019广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= 与x轴交于点A、B
（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C
顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（3）如图2，过顶点D作DD⊥x轴于点D，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂
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足，使得△PAM与△DDA相似（不含全等）．
1
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；
②直接回答这样的点P共有几个？
解：（1）令 =0，
解得x=1，x=–7．∴A（1，0），B（–7，0）．
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由y= = 得，D（–3，–2 ）；
（2）∵DD⊥x轴于点D，∴∠COF=∠DDF=90°，
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∵∠DFD=∠CFO，∴△DDF∽△COF，∴ ，
1 1
∵D（–3，–2 ），
∴DD=2 ，OD=3，
1∵AC=CF，CO⊥AF，∴OF=OA=1，
∴DF=DO–OF=3–1=2，∴ ，
1 1
∴OC= ，∴CA=CF=FA=2，
∴△ACF是等边三角形，∴∠AFC=∠ACF，
∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，
∴∠ECF=∠AFC=60°，∴EC∥BF，
∵EC=DC= =6，
∵BF=6，∴EC=BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（3）∵点P是抛物线上一动点，
∴设P点（x， ），
①当点P在B点的左侧时，
∵△PAM与△DDA相似，
1
∴ 或 ，
∴ 或 ，解得：x=1（不合题意舍去），x=–11或x=1（不合题意舍去）x=– ；
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当点P在A点的右侧时，
∵△PAM与△DDA相似，∴ 或 ，
1
∴ 或 ，
解得：x=1（不合题意舍去），x=–3（不合题意舍去）或x=1（不合题意舍去），x=– （不合题意
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舍去）；
当点P在AB之间时，
∵△PAM与△DDA相似，
1
∴ = 或 = ，
∴ 或 ，
解得：x=1（不合题意舍去），x=–3（不合题意舍去）或x=1（不合题意舍去），x=– ；
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综上所述，点P的横坐标为–11或– 或– ；
②由①得，这样的点P共有3个．
2．（2019深圳）如图，抛物线经y=ax2+bx+c过点A（-1，0），点C（0，3），且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最
小值．
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．
解：（1）∵OB=OC，
∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3，对称轴为x=1．
（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC 、DE=1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，
取点A′（-1，1），则A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，
四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE A′D+DC′ A′C′
．
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，
又∵S ∶S EB×（y-y）∶ AE×（y-y）=BE∶AE，
△PCB △PCA C P C P
则BE∶AE=3∶5或5∶3，
则AE 或 ，
即：点E的坐标为（ ，0）或（ ，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，
解得：k=-6或-2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3，
联立 并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．
3.（2019雅安） 已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点（2，-1），点P（P与O不重合）是图象上的
一点，直线l过点（0，1）且平行于x轴。PM⊥l于点M，点F（0，-1）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：点P在线段MF的中垂线上；
（3）设直线 PF交二次函数的图象于另一点Q，QN⊥l于点N，线段MF的中垂线交l于点R，求 的
值；
（4）试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系．
y
(0,1)
l
O x
F(0,-1)解：（1）∵y=ax2(a≠0)的图象过点（2，-1），∴-1=a×22，即a= ，∴ ；
（2）设 的图象上的点P（x ,y ）,则M(x ，1)， ，即x 2=-4y ，PM=｜1-y ｜，
1 1 1 1 1 1
又
PF= = = = =｜y -1｜=PM，即
1
PF=PM，∴点P在线段MF的中垂线上；
（3）连接 RF，∵R在线段 MF的中垂线上，∴MR=FR，又∵PM=PF，PR=PR，∴△PMR≌△PFR，
∴∠PFR=∠PMR=90°，∴RF⊥PF，连接RQ，又在Rt△RFQ和Rt△RNQ中，∵Q 在 的图象上，
由（2）结论知∴QF=QN，∵RQ=RQ，∴Rt△RFQ ≌Rt△RNQ，即 RN=FR，即 MR=FR=RN，∴
；
（4）在△PQR中，由（3）知PR平分∠MRF，QR平分∠FRN，∴∠PRQ= （∠MRF+∠FRN）=90°，
∴点R在以线段PQ为直径的圆上．4．（2019南宁）如果抛物线C的顶点在拋物线C上，抛物线C的顶点也在拋物线C上时，那么我们
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称抛物线C与C“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C：y= x2+x与C：y=ax+x+c是
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“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C，C的顶点，抛物线C经过点D（6，–1）．
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（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C的解析式；
2
（2）抛物线C上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，
2
请说明理由；
（3）如图2，点F（–6，3）在抛物线C上，点M，N分别是抛物线C，C上的动点，且点M，N的横
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坐标相同，记△AFM面积为S（当点M与点A，F重合时S=0），△ABN的面积为S（当点N与点A，
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B重合时，S=0），令S=S+S，观察图象，当y≤y时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最
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大值．
解：（1）C顶点在C上，C顶点也在C上，
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由抛物线C：y= x2+x可得A（–2，–1），
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将A（–2，–1），D（6，–1）代入y=ax+x+c
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得 ，解得 ，
∴y=– x2+x+2，∴B（2，3）；
2
（2）易得直线AB的解析式：y=x+1，
①若B为直角的顶点，BE⊥AB，k •k =–1，
BE AB
∴k =–1，则直线BE的解析式为y=–x+5．
BE联立 ，
解得 或 ，此时E（6，–1）；
②若A为直角顶点，AE⊥AB，k •k =–1，
AE AB
∴k =–1，则直线AE的解析式为y=–x–3，
AE
联立 ，
解得 或 ，
此时E（10，–13）；
③若E为直角顶点，设E（m，– m2+m+2）
由AE⊥BE得k •k =–1，
BE AE
即 ，
解得m=2或–2（不符合题意均舍去），
∴存在，∴E（6，–1）或E（10，–13）；
（3）∵y≤y，观察图形可得：x的取值范围为–2≤x≤2，
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设M（t， t2+t），N（t，− t2+t+2），且–2≤t≤2，
易求直线AF的解析式：y=–x–3，
过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，由y=y ，得Q（ t2−t−3， t2+t），
Q M
S= |QM|•|y–y|= t2+4t+6，
1 F A
设AB交MN于点P，易知P坐标为（t，t+1），
S= |PN|•|x–x|=2– t2，
2 A B
S=S+S=4t+8，
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当t=2时，S的最大值为16．
5．（2019广州）已知抛物线G：y=mx2-2mx-3有最低点．
（1）求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G顶点的纵
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坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值
范围．
解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，
∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3．
（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，
∴平移后的抛物线G：y=m（x-1-m）2-m-3，
1
∴抛物线G顶点坐标为（m+1，-m-3），
1
∴x=m+1，y=-m-3，
∴x+y=m+1-m-3=-2，
即x+y=-2，变形得y=-x-2，
∵m>0，m=x-1，∴x-1>0，
∴x>1，
∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x>1）．
（3）法一：如图，函数H：y=-x-2（x>1）图象为射线，
x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4，
∴函数H的图象恒过点B（2，-4），
∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，
x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3，
∴抛物线G恒过点A（2，-3），
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y1，且x=2时，方程为0=-1不成立，
∴x≠2，即x2-2x=x（x-2）≠0，
∴m 0，
∵x>1，
∴1-x<0，
∴x（x-2）<0，
∴x-2<0，
∴x<2，即1
