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2019年中考数学真题分类训练——专题十：三角形
一、选择题
1．（2019滨州）如图，在 和 中，
，连接 交于点 ，连接 ．下列结论：
① ；② ；③ 平分 ；④ 平分 ．其中正确的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
2．（2019陕西）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂
足为E．若DE=1，则BC的长为
A．2+ B．
C． D．3
【答案】A
3．（2019衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，
C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是
A．60° B．65°
C．75° D．80°
【答案】D
4．（2019重庆A卷）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC′沿BD翻折，得到
，DC与AB交于点E，连接 ，若AD=AC′=2，BD=3则点D到BC的距离为
A． B． C． D．
【答案】B
5．（2019南通）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，
在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3（如图）．以O为圆心，OB的长为半
径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于
A．1和2之间 B．2和3之间C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
6．（2019宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图
1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2的方式放置在最大正
方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
7．（2019青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC=35°，∠C=50°，则
∠CDE的度数为
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C9．（2019天水）如图，等边 的边长为2，则点 的坐标为
A． B．
C． D．
【答案】B
10．（2019宁波）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC
与直线n交于点D．若∠1=25°，则∠2的度数为
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
11．（2019宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点 重合），边 与 交于点 ， ，则
等于A． B． C． D．
【答案】A
12．（2019临沂）如图， 是 上一点， 交 于点 ， ， ，若 ，
，则 的长是
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
13．（2019绍兴）如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a，b所在
直线所夹的锐角是
A．5° B．10° C．30° D．70°
【答案】B
14．（2019潍坊）如图，已知 ．按照以下步骤作图：①以点 为圆心，以适当的长为半径作弧，
分别交 的两边于 ， 两点，连接 ．②分别以点 ， 为圆心，以大于线段 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，连接 ， ．③连接 交 于点 ．下列结论中错误的是
A． B．
C． D．
【答案】C
15．（2019梧州）如图， 是 的边 的垂直平分线， 为垂足， 交 于点 ，且
，则 的周长是
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
16．（2019杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
【答案】D
17．（2019河南）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC
的中点，则CD的长为
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】A
18．（2019张家界）如图，在 中， ， ， ，BD平分 ，则
点D到AB的距离等于
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
19．（2019台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．3，4，8 B．5，6，10
C．5，5，11 D．5，6，11
【答案】B
20．（2019台湾）如图，△ABC中，AC=BC<AB．若∠1、∠2分别为∠ABC、∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确
A．∠1<∠2 B．∠1=∠2
C．∠A+∠2<180° D．∠A+∠1>180°
【答案】C
21．（2019长春）如图，在 中， 为钝角．用直尺和圆规在边 上确定一点 ．使
，则符合要求的作图痕迹是
A． B．
C． D．
【答案】B
22．（2019金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是
A．1 B．2 C．3 D．8
【答案】C
23．（2019广西）如图，在 中， ，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为
A． B． C． D．
【答案】C
24．（2019大庆）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相
交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
25．（2019荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则 的度
数是
A． B． C． D．
【答案】C26．（2019百色）三角形的内角和等于
A． B． C． D．
【答案】B
27．（2019徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A． ， ， B． ， ，12
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
二、填空题
28．（2019临沂）如图，在 中， ， ， 为 的中点， ，则
的面积是__________．
【答案】
29．（2019南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若
AD=2，BD=3，则AC的长为__________．【答案】
30．（2019威海）如图，在四边形 中， ，连接 ， ．若 ，
， ，则 __________ ．
【答案】105
31．（2019北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=__________°（点A，B，P是网格线
交点）．
【答案】45
32．（2019成都）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则
CE的长为__________．
【答案】9
33．（2019黄冈）如图， 在 的同侧， ，点 为 的中点，若 ，则 的最大值是__________．
【答案】14
34．（2019舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在一个平面上，边AC与EF重
合，AC=12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点
E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为__________cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为
__________cm2．
【答案】（24–12 ），（24 36 12 ）
35．（2019长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接
AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE=50 m，则AB的长是__________m．
【答案】10036．（2019南京）在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是__________．
【答案】4<BC≤
37．（2019枣庄）把两个同样大小含 角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶
点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 ，且另外三个锐角顶点 在同一直线上．若 ，
则 __________．
【答案】
38．（2019兰州）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠B=__________．
【答案】70°
39．（2019盐城）如图，在 中， ， ， ，则 的长为
__________．
【答案】
40．（2019伊春）一张直角三角形纸片 ， ， ， ，点 为 边上的任一点，沿过点 的直线折叠，使直角顶点 落在斜边 上的点 处，当 是直角三角形时，
则 的长为__________．
【答案】 或
41．（2019襄阳）如图，已知 ，添加下列条件中的一个：① ，② ，
③ ，其中不能确定 ≌△ 的是__________（只填序号）．
【答案】②
42．（2019南通）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且
AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．
【答案】70
43．（2019哈尔滨）在 中， ， ，点 在 边上，连接 ，若 为
直角三角形，则 的度数为__________．【答案】 或
44．（2019怀化）若等腰三角形的一个底角为 ，则这个等腰三角形的顶角为__________．
【答案】36°
45．（2019通辽）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．
【答案】6或 或
46．（2019大庆）如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若
DG=1，则AD=__________．
【答案】3
47．（2019江西）如图，在 中，点 是 上的点， ，将 沿着
翻折得到 ，则 __________°．
【答案】20
三、证明题48．（2019南京）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：
△ADF≌△CEF．
证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴BD=CE，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴AD=EC，
∵CE∥AD，
∴∠A=∠ECF，∠ADF=∠E，
∴△ADF≌△CEF．
49．（2019益阳）已知，如图，AB=AE，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证：△ABC≌△EAD．
证明：由∠ECB=70°得∠ACB=110°，
又∵∠D=110°，∴∠ACB=∠D，
∵AB∥DE，∴∠CAB=∠E，
∴在△ABC和△EAD中， ，
∴△ABC≌△EAD．
50．（2019山西）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠F．求证：BC=DF．
证明：∵AD=BE，
∴AD-BD=BE-BD，
∴AB=ED，
∵AC∥EF，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EDF中， ，
∴△ABC≌△EDF（AAS），
∴BC=DF．
51．（2019兰州）如图，AB=DE，BF=EC，∠B=∠E，求证：AC∥DF．证明：∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC∥DF．
52．（2019广州）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证：
．
证明：∵FC∥AB，
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，
所以在△ADE与△CFE中， ，
∴△ADE≌△CFE．
53．（2019泸州）如图， ， 和 相交于点 ， ．求证： ．证明：∵ ，∴ ， ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
54．（2019重庆A卷）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC
交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C=36°，求∠BAD的度数．
（2）若点E在边AB上，EF∥AC叫AD的延长线于点F．求证：FB=FE．
证明：（1）∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵D为BC的中点，∴ ，∴ ．
（2）∵BE平分 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
55．（2019桂林）如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）求证：BE=DE．
证明：（1）在△ABC与△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
即AC平分∠BAD．
（2）由（1）∠BAE=∠DAE，
在△BAE与△DAE中，得 ，∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE=DE．
56．（2019黄石）如图，在 中， ， 为边 上的点，且 ， 为线段
的中点，过点 作 ，过点 作 ，且 、 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
证明：（1）如图，
∵ ，∴ 是等腰三角形，
又∵ 为 的中点，∴ ，
在 和 中，
∵ 为公共角， ，∴ ．
（2）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
57．（2019重庆）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE=FE．
证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，
又∠C=42°，∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°．
（2）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD=∠F，
∴AE=FE．
58．（2019苏州）如图， 中，点 在 边上， ，将线段 绕点 旋转到 的位
置，使得 ，连接 ， 与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
证明：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
59．（2019无锡）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于
点O．
求证：（1） ；
（2） ．
证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ECB=∠DBC，
在 与 中， ，
∴ ≌ ．（2）由（1） ≌ ，
∴∠DCB=∠EBC，
∴OB=OC．
60．（2019枣庄）在 中， ， ， 于点 ．
（1）如图1，点 ， 分别在 ， 上，且 ，当 ， 时，求线段
AM的长；
（2）如图2，点 ， 分别在 ， 上，且 ，求证： ；
（3）如图3，点 在 的延长线上，点 在 上，且 ，求证： ．
证明：（1）∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，由勾股定理得， ，即 ，解得 ，
∴ ．
（2）∵ ， ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图，过点 作 交 的延长线于 ，
∴ ，
则 ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
61．（2019温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交
ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长．
证明：（1）∵ ，
∴ ，
∵ 是 边上的中线，∴ ，
∴△BDE≌△CDF．
（2）∵△BDE≌△CDF，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
62．（2019杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求∠B的
度数．
证明：（1）∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA=PB，
∴∠B=∠BAP，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠APC=2∠B；
（2）根据题意可知BA=BQ，
∴∠BAQ=∠BQA，
∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，
∴∠BQA=2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°．
四、解答题
63．（2019河北）已知：整式A=（n2-1）2+（2n）2，整式B>0．尝试化简整式A．
发现A=B2，求整式B．
联想由上可知，B2=（n2-1）2+（2n）2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写
下表中B的值：
直角三角形三边 n2-1 2n B
勾股数组Ⅰ / 8 __________
勾股数组Ⅱ 35 / __________
解：A=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2，
∵A=B2，B>0，
∴B=n2+1，
当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=15；
当n2-1=35时，n2+1=37．
64．（2019大庆）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向
航行10 km至C港．
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1 km，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向．解：（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，
∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，
∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，∴AC= = ≈14.1．
答：A、C两地之间的距离为14.1 km．
（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
65．（2019金华）如图，在 的方格中， 的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF（E，F
均为格点），各画出一条即可．
【答案】如图所示：
