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2019年中考数学真题分类训练——专题十二：圆
一、选择题
1．（2019山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2 ，BC=2，以AB的中点O为圆心，OA的长为
半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为
A． B． C．2 -π D．4 -
【答案】A
2．（2019衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为 2的正六边形．则原来的纸带宽
为
A．1 B． C． D．2
【答案】C
3．（2019黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40 m，
点C是 的中点，且CD=10 m，则这段弯路所在圆的半径为A．25 m B．24 m C．30 m D．60 m
【答案】A
4．（2019湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是
A．60° B．70° C．72° D．144°
【答案】C
5．（2019金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积
为1，则下面圆锥的侧面积为
A．2 B． C． D．
【答案】D
6．（2019宁波）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，
分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【答案】B
7．（2019成都）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为 上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的
度数为
A．30° B．36° C．60° D．72°
【答案】B
8．（2019衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得
AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为
A．6dm B．5dm C．4dm D．3dm
【答案】B
9．（2019甘肃）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=
A．54° B．64° C．27° D．37°【答案】C
10．（2019湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是
A．60πcm2 B．65πcm2
C．120πcm2 D．130πcm2
【答案】B
11．（2019长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是
A．2π B．4π C．12π D．24π
【答案】C
12．（2019温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为
A． π B．2π C．3π D．6π
【答案】C
13．（2019重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C=40°，则∠B的度数为
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
14．（2019台州）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，
则⊙O的半径为A．2 B．3 C．4 D．4
【答案】A
15．（2019福建）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB=55°，则∠APB等
于
A．55° B．70° C．110° D．125°
【答案】B
16．（2019舟山）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，
则PA的长为
A．2 B． C． D．
【答案】B17．（2019绍兴）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°．若BC=2 ，则 的长为
A．π B． π C．2π D．2 π
【答案】A
18．（2019杭州）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=3，则PB=
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
二、填空题
19．（2019黄冈）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面
积为__________．
【答案】4π
20．（2019湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是__________．
【答案】30°
21．（2019安徽）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为
2，则CD的长为__________．【答案】
22．（2019台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接
AE．若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为__________．
【答案】52°
23．（2019杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为 12 cm，底面圆半径为3
cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于__________cm2（结果精确到个位）．
【答案】113
24．（2019 温州）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（ ）上，若
∠BAC=66°，则∠EPF等于__________度．【答案】57°
25．（2019福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA
的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留π）
【答案】π-1
26．（2019河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA= ，
则阴影部分的面积为__________．
【答案】
27．（2019重庆）如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD= ，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD
于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是__________．【答案】
28．（2019广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何
原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯
锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯
口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为__________寸．
【答案】26
三、证明题
29．（2019福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且
DF=DC，连接AF、CF．
（1）求证：∠BAC=2∠CAD；
（2）若AF=10，BC= ，求tan∠BAD的值．
证明：（1）∵AB=AC，∴ ，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ADB，∠ABC= （180°-∠BAC）=90°- ∠BAC，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°-∠CAD，
∴ ∠BAC=∠CAD，
∴∠BAC=2∠CAD．
（2）∵DF=DC，
∴∠DFC=∠DCF，
∴∠BDC=2∠DFC，
∴∠BFC= ∠BDC= ∠BAC=∠FBC，
∴CB=CF，
又BD⊥AC，
∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．
又BC= ，
设AE=x，CE=10-x，
由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，
解得x=6，
∴AE=6，BE=8，CE=4，
∴DE= =3，
∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，
∵ AB·DH= BD·AE，
∴DH= ，
∴BH= ，
∴AH=AB-BH=10- ，
∴tan∠BAD= ．
30．（2019杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．
（1）若∠BAC=60°，
①求证：OD OA．
②当OA=1时，求△ABC面积的最大值．
（2）点E在线段OA上，OE=OD，连接DE，设∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜
∠ACB，求证：m﹣n+2=0．证明：（1）①如图1，连接OB、OC，
则∠BOD ∠BOC=∠BAC=60°，
∴∠OBC=30°，∴OD OB OA；
②∵BC长度为定值，
∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，
当AD过点O时，AD最大，即：AD=AO+OD ，
△ABC面积的最大值 BC×AD 2OBsin60° ；
（2）如图2，连接OC，设：∠OED=x，
则∠ABC=mx，∠ACB=nx，
则∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣mx﹣nx ∠BOC=∠DOC，
∵∠AOC=2∠ABC=2mx，
∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°﹣mx﹣nx+2mx=180°+mx﹣nx，
∵OE=OD，∴∠AOD=180°﹣2x，
即：180°+mx﹣nx=180°﹣2x，
化简得：m﹣n+2=0．
31．（2019河南）如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是
上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG；
（2）填空：
①若AB=4，且点E是 的中点，则DF的长为__________；
②取 的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．证明：（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，
∴∠DAF=∠DBG，
∵∠ABD+∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠BAC=45°，
∴AD=BD，
∴△ADF≌△BDG．
（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，
∵点E是 的中点，
∴∠BAE=∠DAE，
∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，
∵ =sin∠ABD=sin45°= ，
∴ ，即BF= FD，
∵AB=4，
∴BD=4cos45°=2 ，即BF+FD=2 ，（ +1）FD=2 ，
∴FD= =4-2 ，
故答案为：4-2 ．
②连接OH，EH，
∵点H是 的中点，
∴OH⊥AE，
∵∠AEB=90°，
∴BE⊥AE，
∴BE∥OH，
∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH=OB= AB，
∴sin∠EAB= = ，
∴∠EAB=30°．
故答案为：30°．
32．（2019衢州）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂
足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若DE ，∠C=30°，求 的长．
证明：（1）如图，连接OD；
∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，
∴∠ODE=∠DEB；
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．（2）如图，连接AD，
∵AC是直径，∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，BD=CD，∴∠OAD=60°，
∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°，
∵DE ，∠B=30°，∠BED=90°，∴CD=BD=2DE=2 ，
∴OD=AD=tan30°•CD 2 2，
∴ 的长为： ．
33．（2019滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作
DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2=4CF·AC；
（3）若⊙O的半径为4，∠CDF=15°，求阴影部分的面积．
证明：（1）如图所示，连接OD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，而OB=OD，∴∠ODB=∠ABC=∠C，
∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C=90°，∴∠CDF+∠ODB=90°，
∴∠ODF=90°，∴直线DF是⊙O的切线．
（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB=AC，
则DB=DC= ，
∵∠CDF+∠C=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠CDF=∠DCA，
而∠DFC=∠ADC=90°，∴△CFD∽△CDA，
∴CD2=CF·AC，即BC2=4CF·AC．
（3）连接OE，
∵∠CDF=15°，∠C=75°，∴∠OAE=30°=∠OEA，
∴∠AOE=120°，
S = AE·OE·sin∠OEA= ×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA= ，
△OAE
S = -S = ×π×42- = - ．
阴影部分 S扇形OAE △OAE
34．（2019温州）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点E在BC边上，且CA=CE，过A，C，E三点的⊙O交
AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．
（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．
（2）当BE=4，CD AB时，求⊙O的直径长．证明：（1）如图，连接AE，
∵∠BAC=90°，∴CF是⊙O的直径，
∵AC=EC，∴CF⊥AE，
∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，
即GD⊥AE，∴CF∥DG，
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，
∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，
∴四边形DCFG是平行四边形；
（2）由CD AB，
设CD=3x，AB=8x，
∴CD=FG=3x，
∵∠AOF=∠COD，
∴AF=CD=3x，
∴BG=8x﹣3x﹣3x=2x，
∵GE∥CF，
∴ ，
∵BE=4，
∴AC=CE=6，
∴BC=6+4=10，∴AB 8=8x，
∴x=1，
在Rt△ACF中，AF=3，AC=6，
∴CF 3 ，
即⊙O的直径长为3 ．
35．（2019金华）如图，在 OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．
（1）求 的度数．
（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF=AB，求∠OCE的度数．
证明：（1）连接OB，
∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，∴OB⊥OA，
∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，
∴ 的度数为45°；
（2）如图，连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH=t，
∵OH⊥EC，
∴EF=2HE=2t，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=CO=EF=2t，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA t，
则HO t，
∵OC=2OH，
∴∠OCE=30°．
36．（2019绍兴）在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，
编制一道题目，并解答．
（1）在屏幕内容中添加条件∠D=30°，求AD的长．请你解答．
（2）以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是BD=1，就可以求出AD的长；小聪：你这样太简单了，我加的是∠A=30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．
参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．
证明：（1）连接OC，如图，
∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，∴OD=2OC=2，
∴AD=AO+OD=1+2=3；
（2）添加∠DCB=30°，求AC的长，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠OCB=90°，∠OCB+∠DCB=90°，
∴∠ACO=∠DCB，
∵∠ACO=∠A，∴∠A=∠DCB=30°，
在Rt△ACB中，BC AB=1，
∴AC BC ．
37．（2019湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，
1
3）．
（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l相切于点B，求⊙P的直径长；
1（2）如图2，已知直线l：y=3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l上的一个动点，以Q为
2 2
圆心，2 为半径画圆．
①当点Q与点C重合时，求证：直线l与⊙Q相切；
1
②设⊙Q与直线l相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角
1
形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
证明：（1）如图1，连接BC，
∵∠BOC=90°，∴点P在BC上，
∵⊙P与直线l相切于点B，
1
∴∠ABC=90°，而OA=OB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
则⊙P的直径长=BC=AB=3 ；
（2）①过点C作CE⊥AB于点E，如图2.将y=0代入y=3x–3，得x=1，
∴点C的坐标为（1，0）.∴AC=4，
∵∠CAE=45°，∴CE= AC=2 ，
∵点Q与点C重合，又⊙Q的半径为2 ，
直线l与⊙Q相切.
1
②假设存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，
∵直线l经过点A（–3，0），B（0，3），
1
∴l的函数解析式为y=x+3．
1
记直线l与l的交点为F，
2 1
情况一：
当点Q在线段CF上时，由题意，得∠MNQ=45°，
延长NQ交x轴于点G，如图3，∵∠BAO=45°，
∴∠NGA=180°–45°–45°=90°，
即NG⊥x轴，∴点Q与N有相同的横坐标，
设Q（m，3m–3），则N（m，m+3），
∴QN=m+3–（3m–3），
∵⊙Q的半径为2 ，
∴m+3–（3m–3）=2 ，解得m=3– ，
3m–3=6–3 ，
∴Q的坐标为（3– ，6–3 ）.
情况二：
当点Q在线段CF的延长线上时，如图4，
同理可得m=3+ ，
Q的坐标为（3+ ，6+3 ）.
∴存在这样的点Q（3– ，6–3 ）和Q（3+ ，6+3 ），使得△QMN是等腰直角三角形．
1 2
38．（2019宁波）如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F．
（1）求证：BD=BE．
（2）当AF：EF=3：2，AC=6时，求AE的长．
（3）设 x，tan∠DAE=y．
①求y关于x的函数表达式；
②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°．
∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°．
∴∠DEB=∠D．
∴BD=BE；
（2）如图1，过点A作AG⊥EC于点G．
∵△ABC是等边三角形，AC=6，
∴BG ．
∴在Rt△ABG中，AG BG=3 ．∵BF⊥EC，∴BF∥AG．∴ ．
∵AF：EF=3：2，
∴BE BG=2，
∴EG=BE+BG=3+2=5，
在Rt△AEG中，AE ；
（3）①如图1，过点E作EH⊥AD于点H．
∵∠EBD=∠ABC=60°，
∴在Rt△BEH中， ．
∴EH ，BH ．
∵ ，
∴BG=xBE．
∴AB=BC=2BG=2xBE．∴AH=AB+BH=2xBE BE=（2x ）BE．
∴在Rt△AHE中，tan∠EAD ，
∴y ；
②如图2，过点O作OM⊥BC于点M．
设BE=a，
∵ ，∴CG=BG=xBE=ax，
∴EC=CG+BG+BE=a+2ax，∴EM EC a+ax，
∴BM=EM﹣BE=ax a．
∵BF∥AG，∴△EBF∽△EGA，
∴ ．∵AG ，
∴BF ，
∴△OFB的面积 ，
∴△AEC的面积 ，
∵△AEC的面积是△OFB的面积的10倍，
∴ ，
∴2x2﹣7x+6=0，
解得 ，
∴ ．
