文档内容
2019年中考数学真题分类训练——专题十三：图形的变换
一、选择题
1．（2019江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添 2根与前面完全相同的小棒，拼接后
的图形恰好有3个菱形的方法共有
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】D
2．（2019金华）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后
得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则 的值是
A． B． 1 C． D．
【答案】A
3．（2019北京）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是
A． B． C． D．【答案】C
4．（2019舟山）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关
于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″
的坐标是
A．（2，–1） B．（1，–2） C．（–2，1） D．（–2，–1）
【答案】A
5．（2019海南）如图，在 ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若
∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
6．（2019绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y=（x+5）（x–3）经变换后得到抛物线y=（x+3）（x–
5），则这个变换可以是
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
【答案】B
7．（2019河北）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为
A．10 B．6 C．3 D．2
【答案】C
8．（2019贵阳）如图，在3×3的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色
的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的
概率是
A． B． C． D．
【答案】D
9．（2019福建）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．直角三角形
C．平行四边形 D．正方形
【答案】D
10．（2019广东）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】C
11．（2019黑龙江）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是A． B． C． D．
【答案】C
12．（2019吉林）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少
为
A．30° B．90° C．120° D．180°
【答案】C
13．（2019黄冈）已知点A的坐标为（2，1），将点A向下平移4个单位长度，得到的点A′的坐标是
A．（6，1） B．（–2，1） C．（2，5） D．（2，–3）
【答案】D
14．（2019海南）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，–1），平移线段AB，使点
A落在点A（–2，2）处，则点B的对应点B的坐标为
1 1
A．（–1，–1） B．（1，0） C．（–1，0） D．（3，0）
【答案】C
15．（2019湘西州）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是A．（0，5） B．（5，1） C．（2，4） D．（4，2）
【答案】B
16．（2019云南）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】B
17．（2019乐山）下列四个图形中，可以由下图通过平移得到的是
A． B． C． D．
【答案】D
二、填空题
18．（2019新疆）如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交
BC的延长线于点E，则DE的长为__________．
【答案】2 –2
19．（2019海南）如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<90°）得到AE，直角边AC
绕点 A逆时针旋转 β（0°<β<90°）得到 AF，连接 EF．若 AB=3，AC=2，且 α+β=∠B，则EF=__________．
【答案】
20．（2019山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，
AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE
交AC于点F，则CF的长为__________cm．
【答案】10–2
21．（2019杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），
使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为 点，D点的对称点为 点，若 ，
的面积为4， 的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__________.
【答案】
22．（2019温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图 2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角∠COD=60°，晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4
分米．当∠AOC=90°时，点A离地面的距离AM为__________分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延
长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'–BE为__________分米．
【答案】5+5 ，4．
三、解答题
23．（2019宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有 5个小等边三
角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【答案】（1）如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；
（2）如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．24．（2019安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网
格线的交点）为端点的线段AB．
（1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段C D．
（2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可）
【答案】（1）如图所示：线段CD即为所求；
（2）如图：菱形CDEF即为所求，答案不唯一．25．（2019黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中
△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．
（1）画出△OAB关于y轴对称的△OAB，并写出点A的坐标；
1 1 1
（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OAB，并写出点A的坐标；
2 2 2
（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
解：（1）如下图所示，点A的坐标是（–4，1）；
1
（2）如下图所示，点A的坐标是（1，–4）；
2
（3）∵点A（4，1），∴OA= ，
∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是： = ．26．（2019绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三
角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10．
（1）在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D转到其内的点D处，连结DD，如图2，
1 2 1 2
此时∠ADC=135°，CD=60，求BD的长．
2 2 2
解：（1）①AM=AD+DM=40，或AM=AD–DM=20．
②显然∠MAD不能为直角．
当∠AMD为直角时，AM2=AD2–DM2=302–102=800，
∴AM=20 或（–20 舍弃）．
当∠ADM为直角时，AM2=AD2+DM2=302+102=1000，
∴AM=10 或（–10 舍弃）．综上所述，满足条件的AM的值为20 或10 ．
（2）如图2中，连接CD．
1
由题意得∠DAD=90°，AD=AD=30，
1 2 1 2
∴∠ADD=45°，DD=30 ，
2 1 1 2
又∵∠ADC=135°，∴∠CDD=90°，
2 2 1
∴CD 30 ，
1
∵∠BAC=∠DAD=90°，
2 1
∴∠BAC–∠CAD=∠DAD–∠CAD，
2 2 1 2
∴∠BAD=∠CAD，
2 1
∵AB=AC，AD=AD，
2 1
∴△ABD≌△ACD，
2 1
∴BD=CD=30 ．
2 1
27．（2019金华）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=14 ，点D，E分别在边AB，BC上，将线
段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．
（1）如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O．求证：BD=2DO．
（2）已知点G为AF的中点．
①如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长．
②若AD=6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．解：（1）证明：由旋转性质得：CD=CF，∠DCF=90°．
∵△ABC是等腰直角三角形，AD=BD．
∴∠ADO=90°，CD=BD=AD，
∴∠DCF=∠ADC．
在△ADO和△FCO中，
，
∴△ADO≌△FCO．
∴DO=CO．
∴BD=CD=2DO．
（2）①如图1，分别过点D，F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，连结BF.
∴∠DNE=∠EMF=90°.
又∵∠NDE=∠MEF，DE=EF，
∴△DNE≌△EMF，∴DN=EM.
又∵BD=7 ，∠ABC=45°，∴DN=EM=7，
∴BM=BC–ME–EC=5，∴MF=NE=NC–EC=5.
∴BF=5 .∵点D，G分别是AB，AF的中点，
∴DG= BF= ．
②过点D作DH⊥BC于点H.
∵AD=6BD，AB=14 ，∴BD=2 .
i）当∠DEG=90°时，有如图2，3两种情况，设CE=t.
∵∠DEF=90°，∠DEG=90°，点E在线段AF上.
∴BH=DH=2，BE=14–t，HE=BE–BH=12–t.
∵△DHE∽△ECA,
∴ ，即 ，解得t=6±2 .
∴CE=6+2 或CE=6–2 .ii）当DG∥BC时，如图4.
过点F作FK⊥BC于点K，延长DG交AC于点N，延长AC并截取MN=NA.连结FM.
则NC=DH=2，MC=10.
设GN=t，则FM=2t，BK=14–2t.
∵△DHE∽△EKF，∴KE=DH=2，∴KF=HE=14–2t，
∵MC=FK，∴14–2t=10，解得t=2.
∵GN=EC=2，GN∥EC，
∴四边形GECN是平行四边形，
而∠ACB=90°，
∴四边形GECN是矩形，∴∠EGN=90°.∴当EC=2时，有∠DGE=90°.
iii）当∠EDG=90°时，如图5.
过点G，F分别作AC的垂线，交射线AC于点N，M，过点E作EK⊥FM于点K，过点D作GN的垂线，交NG的
延长线于点P，则PN=HC=BC–HB=12，
设GN=t，则FM=2t，∴PG=PN–GN=12–t.
由△DHE∽△EKF可得：FK=2，
∴CE=KM=2t–2，
∴HE=HC–CE=12–（2t–2）=14–2t，
∴EK=HE=14–2t，
AM=AC+CM=AC+EK=14+14–2t=28–2t，
∴MN= AM=14–t，NC=MN–CM=t，
∴PD=t–2，
由△GPD∽△DHE可得 ，
即 ，解得t=10– ，4=10+ （舍去）。
1
.CE=2t–2=18–2 .
所以，CE的长为：6–2 ，6+2 ，2或18–2 .
28．（2019福建）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得
到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α=60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．
解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，
∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA= （180°–30°）=75°，
∴∠ADE=90°–75°=15°；
（2）证明：如图2，
∵点F是边AC中点，∴BF= AC，
∵∠ACB=30°，∴AB= AC，∴BF=AB，
∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，∴DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形，
∴BE=CB，
∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，
易证得△CFD≌△ABC，
∴DF=BC，∴DF=BE，
而BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
29．（2019台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD
于点F，AP=FD．
（1）求 的值；
（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证：MF=PF；
（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ，BN．将△AQB绕点A旋
转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上．请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理
由．
解：（1）设AP=FD=a，∴AF=2–a，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，
∴△AFP∽△DFC，∴ ，即 ，
∴a 1，∴AP=FD 1，
∴AF=AD–DF=3 ，∴ ．
（2）证明：如图，在CD上截取DH=AF，
∵AF=DH，∠PAF=∠D=90°，AP=FD，
∴△PAF≌△FDH（SAS），∴PF=FH，
∵AD=CD，AF=DH，∴FD=CH=AP 1，
∵点E是AB中点，∴BE=AE=1=EM，∴PE=PA+AE ，
∵EC2=BE2+BC2=1+4=5，∴EC ，
∴EC=PE，CM 1，∴∠P=∠ECP，
∵AP∥CD，∴∠P=∠PCD，
∴∠ECP=∠PCD，且CM=CH 1，CF=CF，
∴△FCM≌△FCH（SAS），∴FM=FH，∴FM=PF．
（3）若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，∵EN⊥AB，AE=BE，∴AQ=BQ=AP 1，
由旋转的性质可得AQ=AQ' 1，AB=AB'=2，Q'B'=QB 1，
∵点B（0，–2），点N（2，–1），∴直线BN解析式为：y x–2，
设点B'（x， x–2），
∴AB' 2，
∴x ，∴点B'（ ， ），
∵点Q'（ 1，0），
∴B'Q' 1，
∴点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上．
