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2019年湖北省荆门市中考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符
合题目要求的
1．﹣ 的倒数的平方是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
【分析】根据倒数，平方的定义以及二次根式的性质化简即可．
【解答】解：﹣ 的倒数的平方为： ．
故选：B．
【点评】本题考查了倒数的定义、平方的定义以及二次根式的性质，是基础题，熟记概念是
解题的关键
2．已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000
正确的是（ ）
A．3.1536×106 B．3.1536×107
C．31.536×106 D．0.31536×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将31536000用科学记数法表示为3.1536×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．已知实数x，y满足方程组 则x2﹣2y2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【分析】首先解方程组，求出x、y的值，然后代入所求代数式即可．
【解答】解： ，
①+②×2，得5x＝5，解得x＝1，
1把x＝1代入②得，1+y＝2，解得y＝1，
∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．
正确解关于x、y的方程组是关键．
4．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝∠2＝45°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个
内角的和是解题的关键．
5．抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程﹣x2+4x
﹣4＝0得抛物线与x轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4），
2当y＝0时，﹣x2+4x﹣4＝0，解得x＝x＝2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），
1 2
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
6．不等式组 的解集为（ ）
A．﹣ ＜x＜0 B．﹣ ＜x≤0 C．﹣ ≤x＜0 D．﹣ ≤x≤0
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解： ，
解①得：x≥﹣ ，
解②得x＜0，
则不等式组的解集为﹣ ≤x＜0．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取
中间，比大的大比小的小无解的原则，
7．投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解
的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的结果
数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
3共有36种等可能的结果数，其中使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的有19种，
∴方程x2+ax+b＝0有解的概率是 ，
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求
出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
8．欣欣服装店某天用相同的价格a（a＞0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损
20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（ ）
A．盈利 B．亏损
C．不盈不亏 D．与售价a有关
【分析】设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x（1+20%）＝a，设第二件衣服的进价为y
元，依题意得：y（1﹣20%）＝a，得出x（1+20%）＝y（1﹣20%），整理得：3x＝2y，则两件衣服
总的盈亏就可求出．
【解答】解：设第一件衣服的进价为x元，
依题意得：x（1+20%）＝a，
设第二件衣服的进价为y元，
依题意得：y（1﹣20%）＝a，
∴x（1+20%）＝y（1﹣20%），
整理得：3x＝2y，
该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：0.2x﹣0.2y＝0.2x﹣0.3x＝﹣0.1x，
即赔了0.1x元，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意，列方程求出两件
衣服的进价故选，进而求出总盈亏．
9．如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（ ）
A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0
【分析】结合题意，分k＝0和k＞0两种情况讨论，即可求解；
【解答】解：∵y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，
当k＝0，b＜0时成立；
当k＞0，b≤0时成立；
综上所述，k≥0，b≤0；
故选：A．
4【点评】本题考查函数图象及性质；正确理解题意中给的函数确定k＝0和k≠0有两种情
况是解题的关键．
10．如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝ ，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第
二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，则B点的对应点B′的坐
标是
（ ）
A．（ ，﹣1） B．（1，﹣ ） C．（2，0） D．（ ，0）
【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝1，再利用旋转的性质得到
OC′＝OC＝ ，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，然后利用第四象限点的坐标
特征写出点B′的坐标．
【解答】解：如图，
在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，
∴BC＝ OC＝ × ＝1，
∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，
∴OC′＝OC＝ ，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，
∴点B′的坐标为（ ，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形
的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，
90°，180°．
11．下列运算不正确的是（ ）
5A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1）
B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝ （x+y+z）2
C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3
D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3
【分析】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．
【解答】解：xy+x﹣y﹣1＝x（y+1）﹣（y+1）＝（x﹣1）（y+1），A正确，不符合题意；
x2+y2+z2+xy+yz+zx＝ [（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B错误，符合题意；
（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3，C正确，不符合题意；
（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，D正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题
的关键．
12．如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（
）
A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定
【分析】连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角定理
得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI
＝DB．
【解答】解：连接BI，如图，
∵△ABC内心为I，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2，
∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，
即∠4＝∠DBI，
6∴DI＝DB．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三
角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13．计算 +|sin30°﹣π0|+ ＝ 1 ﹣ ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣ +1﹣ ﹣
＝1﹣ ．
故答案为：1﹣ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
14．已知x，x是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x﹣1）
1 2 1
（x﹣1）＝8k2，则k的值为 1 ．
2
【分析】根据根与系数的关系结合（x﹣1）（x﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，
1 2
解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次
不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
【解答】解：∵x，x是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，
1 2
∴x+x＝﹣（3k+1），xx＝2k2+1．
1 2 1 2
∵（x﹣1）（x﹣1）＝8k2，即xx﹣（x+x）+1＝8k2，
1 2 1 2 1 2
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k＝﹣ ，k＝1．
1 2
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
7解得：k＜﹣3﹣2 或k＞﹣3+2 ，
∴k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x﹣1）
1
（x﹣1）＝8k2，求出k值是解题的关键．
2
15．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，
AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为 ．
【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过做垂线，利用解直角三角形，
求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；点N在双曲线上，而它的纵横坐标都不
知道，因此可以用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值，再进
行取舍即可．
【解答】解：过点A、M分别作AC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°
∵又OM＝2MA，
∴OM＝2，MA＝1，
在Rt△MOD中，
OD＝ OM＝1，MD＝ ，
∴M（1， ）；
∴反比例函数的关系式为：y＝
在Rt△MOD中，
OC＝ OA＝ ，AC＝ ，
8∴A（ ， ），
设直线AB的关系式为y＝kx+b，把A（ ， ），B（3，0）代入得：
解得：k＝﹣ ，b＝ ，
∴y＝ x+ ；
由题意得： 解得：x＝ ，
∵x＞ ，
∴x＝ ，
故点N的横坐标为：
【点评】考查等边三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、以及将两个函数的关系式
组成方程组，通过解方程组求出交点坐标，在此仅求交点的横坐标即可，也就是求出方程
组中的x的值．
16．如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再
以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为
+ ﹣ ．
9【分析】过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质得到AM＝ BC＝ ×2
＝ ，求得EN＝ AM＝ ，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，
∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AM＝ BC＝ ×2＝ ，
∵AD＝AE＝1，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴EN＝ AM＝ ，
∴图中阴影部分的面积＝S ﹣S ﹣S ﹣（S ﹣S ）＝ ×2× ﹣
△ABC 扇形ADE △CEF △BCD 扇形DCF
﹣ × ﹣（ × ﹣ ）＝ + ﹣ ，
故答案为： + ﹣ ．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的
关键．
17．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（﹣1，0），B（m，0），C
（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：
①abc＞0，
10②3a+c＜0，
③a（m﹣1）+2b＞0，
④a＝﹣1时，存在点P使△PAB为直角三角形．
其中正确结论的序号为 ②③ ．
【分析】由已知可以确定a＜0，b＞0，c＝b﹣a＞0；
①abc＜0；
②当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0；
③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0；
④a＝﹣1时，P（ ，b+1+ ），则△PAB为等腰直角三角形，b+1+ ＝ +1，求出k＝﹣2
不合题意；
【解答】解：将A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）代入解析式y＝ax2+bx+c，
∴对称轴x＝ ，
∴﹣ ＝m﹣1，
∵1＜m＜3，
∴ab＜0，
∵n＜0，
∴a＜0，
∴b＞0，
∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＞0
①abc＜0；错误；
②当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0，②正确；
③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0，③正确；
④a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c，
∴P（ ，b+1+ ），
若△PAB为直角三角形，则△PAB为等腰直角三角形，
∴AP的直线解析式的k＝1，
11∴b+1+ ＝ +1，
∴b＝﹣2，
∵b＞0，
∴不存在点P使△PAB为直角三角形．
④错误；
故答案为②③；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的图象，根据给出的点
判断函数系数a，b，c的取值情况是解题的关键．
三、解答题：共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（8分）先化简，再求值：（ ）2• ﹣ ÷ ，其中a＝ ，b＝ ．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝ ，
当a＝ ，b＝ 时，
原式＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．在
化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注
意运算的结果要化成最简分式或整式．
19．（9分）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2 ．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求证：BD⊥BC．
12【分析】（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，设BE＝x，由勾股定理列出关于x的方程，解
方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出AF＝BE＝ ，BF＝5﹣ ＝ ，DF＝CE＝ ，从而
求出BD的长，在△BCD中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直．
【解答】解：（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：
设BE＝x，CE＝h
在Rt△CEB中：x2+h2＝9①
在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②
联立①②解得：x＝ ，h＝
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•h＝12；
（2）作DF⊥AB，垂足为F
∴∠DFA＝∠CEB＝90°
∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠DAF＝∠CBE
又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC
∴△ADF≌△BCE（AAS）
∴AF＝BE＝ ，BF＝5﹣ ＝ ，DF＝CE＝
在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（ ）2+（ ）2＝16
∴BD＝4
∵BC＝3，DC＝5
13∴CD2＝DB2+BC2
∴BD⊥BC．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定
与性质，综合性较强．
20．（10分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活
等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情
况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据．
（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；
（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；
（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，
将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？
【分析】（1）设阅读5册书的人数为x，由统计中的信息列式计算即可；
（2）该校1200名学生数×课外阅读5册书的学生人数占抽查了学生的百分比即可得到结
论；
（3）设补查了y人，根据题意列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设阅读5册书的人数为x，由统计图可知： ＝30%，
∴x＝14，
∴条形图中丢失的数据是14，阅读书册数的众数是5，中位数是5；
（2）该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数为1200× ＝420（人），
答：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数是420人；
（3）设补查了y人，
根据题意得，12+6+y＜8+14，
∴y＜4，
∴最多补查了3人．
14【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于
中考常考题型．
21．（10分）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．
（1）求证： ＝2R；
（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝ ，求BC的长及sinC的值．
【分析】（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，于是得到∠CD＝90°，∠ABC＝
∠ADC，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）由 ＝2R，同理可得： ＝2R，于是得到2R＝ ＝2，即
可得到BC＝2R•sinA＝2sin45°＝ ，如图2，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得
到结论．
【解答】解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，
则∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，
∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝ ，
∴ ＝2R；
（2）∵ ＝2R，
同理可得： ＝2R，
∴2R＝ ＝2，
∴BC＝2R•sinA＝2sin45°＝ ，
如图2，过C作CE⊥AB于E，
15∴BE＝BC•cosB＝ cos60°＝ ，AE＝AC•cos45°＝ ，
∴AB＝AE+BE＝ ，
∵AB＝AR•sinC，
∴sinC＝ ＝ ．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的
关键．
22．（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退
到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在
镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明
眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．
【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并
延长交OE于点H，根据GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的对应边的比相等列
式计算即可．
16【解答】
解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，
连接GF并延长交OE于点H，
∵GF∥AC，
∴△MAC∽△MFG，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∴OE＝32，
答：楼的高度OE为32米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运
用相似三角形对应边成比例即可解答．
23．（10分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．
根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝
（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图
所示：
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．
（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；
（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销
售利润＝日销售额﹣日维护费）
17（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量n与第x天之间的函数关系式，
（2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润y与第x天之间的
函数关系式，
（3）再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：
（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图知可知
，解得
∴n＝2x+10
同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44
∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝
（2）∵y＝mn﹣80
∴y＝
整理得，y＝
（3）当1≤x≤10时，
∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝ ＝ ＝﹣5
∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大
∴x＝10时，y取最大值，则y＝1270
10
18当10＜x＜15时
∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是x＝﹣ ＝ ＝ ≈13.2＜13.5
∴x在x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2
当15≤x≤30时
∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为x＝ ＝ ＞30
∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小
∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y＝1300
15
综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数
的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最
优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函
数的最值不一定在x＝ 时取得．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，
B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S ＝S ＝S ＝S，求S的值；
△QAB △MAB △NAB
（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；
若不存在，请说明理由．
（坐标平面内两点M（x，y），N（x，y）之间的距离MN＝ ）
1 1 2 2
【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，故可设其顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1，再把点C（0，3）代
入即求得a的值，进而得到抛物线解析式．
（2）把抛物线解析式与直线y＝x﹣1联立方程组，解方程组求得点A、B坐标，画出抛物线
和直线草图．由图可知，△QAB、△MAB、△NAB以AB为公共底时，高相等才有面积相等．假
设M、N在直线AB上方的抛物线上，只要MN∥AB，根据平行线间距离处处相等，则一定有
S ＝S ＝S；当点Q在直线AB下方且只有唯一的点Q满足S ＝S，则Q到AB距离取
△MAB △NAB △QAB
最大值．过点Q分别作y轴平行线QC，作直线AB垂线QD，易证△CDQ为等腰直角三角形，
故CQ取得最大值时，DQ也最大．设点Q横坐标为t，用t表示CQ的长并配方求得最大值，
19进而求得DQ最大值，再用S＝S ＝ AB•DQ求得S的值．
△QAB
（3）由∠APB＝90°，根据勾股定理有AP2+BP2＝AB2，设点P横坐标为p，根据两点间距离公
式用p表示AP2、BP2，列得关于p的一元四次方程．化简并对式子进行因式分解，由1＜p＜
4可进行两次约公因式达到降次效果，最终得到关于p的一元二次方程，求得的解有一个
满足p的范围，即存在满足的点P．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1）
∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1
∵抛物线经过点C（0，3）
∴4a﹣1＝3
解得：a＝1
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3
（2） 解得： ，
∴A（1，0），B（4，3）
∴AB＝
设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1）
∴OA＝OE＝1
∴∠AEO＝45°
∵S ＝S ＝S ＝S
△QAB △MAB △NAB
∴点Q、M、N到直线AB的距离相等
如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方
∴MN∥AB时，总有S ＝S ＝S
△MAB △NAB
要使只有一个点Q在直线AB下方满足S ＝S，则Q到AB距离必须最大
△QAB
过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D
∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45°
∴△CDQ是等腰直角三角形
∴DQ＝ CQ
设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1）
20∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣ ）2+
∴t＝ 时，CQ最大值为
∴DQ最大值为
∴S＝S ＝ AB•DQ＝
△QAB
（3）存在点P满足∠APB＝90°．
∵∠APB＝90°，AB＝3
∴AP2+BP2＝AB2
设P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4）
∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）2＝p4
﹣8p3+17p2﹣8p+16
∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3 ）2
整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0
p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0
p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0
（p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0
∵p＜4
∴p﹣4≠0
∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0
展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0
（p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0
（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0
（p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0
∵p＞1
∴p﹣1≠0
∴p2+p+1﹣4p＝0
解得：p＝ ，p＝ （舍去）
1 2
∴点P横坐标为 时，满足∠APB＝90°．
21【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最值，一元二次方程的解法，平行
线间距离处处相等，勾股定理，因式分解．第（2）题的解题关键是理解题意并转化为求线
段最值问题；第（3）题的解题关键是列得关于p的一元四次方程后要有技巧地进行因式分
解，通过约去公因式达到降次的效果再解方程．
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