中考冲刺：代数综合问题--知识讲解（基础）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_62中考冲刺：代数综合问题（基础）

让更多的孩子得到更好的教育 中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【中考展望】 初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二 次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关 键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法 找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数 学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力． 【方法点拨】 (1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础； (2)认识综合题的结构是解综合题的前提； (3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键； (4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心． * 审题(读题、断句、找关键)； * 先宏观(题型、知识块、方法)； 后微观(具体条件，具体定理、公式) * 由已知，想可知(联想知识)； 由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合； * 观察——挖掘题目结构特征； 联想——联系相关知识网络； 突破——抓往关键实现突破； 寻求——学会寻求解题思路． (5)准确计算，严密推理是解综合题的保证． 【典型例题】 类型一、方程与不等式综合 2x3y 23a, x0, 1．已知方程组 的解满足 求a的取值范围． 3x4y 2a1. y0. 【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题． 【答案与解析】 2x3y 23a ① 解：  3x4y 2a1 ② ①×3－②×2得：y＝13a－4 ①×4－②×3得：x＝18a－5 18a50, 由题意令x＞0，y＞0得：  13a40. 5 4 ∴ a . 18 13 【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 x2 2(m2)xm2 2m1 2．m为何值时， 是完全平方式？ 【思路点拨】 本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以完 全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义．因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平方 式不同角度的理解． 【答案与解析】 解：解法1：待定系数法 设原式＝[x-(m-2)]2＝x2-2(m-2)x+m2-4m+4 1 所以m2+2m+l＝m2-4m+4，m ； 2 解法2：配方法 原式＝ ． x2 2(m2)x(m2)2 (m2)2 m2 2m1 1 ＝[x-(m-2)]2+6m-3，6m-3＝0，m ； 2 解法3：判别式法 因为是完全平方式，所以方程 有两等根， x2 2(m2)xm2 2m10 1 △＝[-2(m-2)]2－4(m2+2m+1)＝0，m ； 2 解法4：因为是完全平方式， 所以令 ， y  x2 2(m2)xm2 2m1 所以抛物线顶点在x轴上，4acb2 ， 0 4a 4(m2 2m1)4(m2)2 ， ， 1． 0 6m30 m 4 2 【总结升华】 对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程，从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不定， 从函数的角度解决问题．解决问题的角度不同，但结果是相同的． 类型二、方程与函数综合 3．请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题： 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 (1)分别写出 ， 中变量y随x变化而变化的情况； l l 1 2 (2)写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件． 【思路点拨】 本题是一次函数与二元一次方程组的综合题．本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象的交 点与方程组的解的关系． 【答案与解析】 解：(1) 的值随x的增大而增大； l : y 1 的值随x的增大而减小． l : y 2 (2)设直线 ， 的函数表达式分别为 ， ， l l y a xb y a xb 1 2 1 1 2 2 a b 1 a b 1 由题意得 1 1 ， 2 2 ．   b 1 3a b 0   1 2 2  1 a  解得： a 1 2 ，   2 2 ．   b 1 3  1  b   2 2 1 3 ∴直线l ，l 的函数表达式分别为y 2x1，y  x ． 1 2 2 2 y 2x1 ∴所求的方程组为 ．  1 3 y  x   2 2 【总结升华】 利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了数形结合的思想． 举一反三： 【高清课堂:代数综合问题 例2】 1 【变式】已知：如图，平行于x轴的直线y＝a(a≠0)与函数y＝x和函数y  的图象分别交于点A和点 x 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 B，又有定点P(2，0)． 1 (1)若a＞0，且tanPOB  ，求线段AB的长； 9 8 (2)在过A，B两点且顶点在直线y＝x上的抛物线中，已知线段AB  ，且在它的对称轴左边时，y随着 3 x的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式； 9 (3)已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到y  x2的图象，求点P到直线AB的距离． 5 【答案】 n 1 1 解：（1）设第一象限内的点B（m,n），则tanPOB  ，得m=9n，又点B在函数y  的图象上，得 m 9 x 1 1 n ，所以m=3（－3舍去），点B为(3, )， m 3 1 1 1 8 而AB∥x轴，所以点A ( , )，所以AB3  ． 3 3 3 3 （2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A（a ,a）， 1 1 8 B（ ,a），则AB a , a a 3 1 所以3a2 8a30，解得 a 3或a  . 3 1 5 5 当a =－3时，点A（―3，―3），B( ,3)，因为顶点在y = x上，所以顶点为( , )，所 3 3 3 5 5 3 以可设二次函数为y k(x )2  ，点A代入，解得k  , 3 3 4 3 5 5 所以所求函数解析式为y  (x )2  . 4 3 3 1 3 5 5 同理，当a 时，所求函数解析式为y  (x )2  ； 3 4 3 3 1 a 1 （3）设A（a , a），B（ ,a），由条件可知抛物线的对称轴为x  . a 2 2a 设所求二次函数解析式为： 9  1  . y  (x2) x(a )2   5  a  地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 点A(a,a)代入，解得 ， 6 ，所以点P到直线AB的距离为3或 6 a 3 a  1 2 13 13 [ 【高清课堂:代数综合问题 例1】 mx2(3m1)x30 4． 已知关于x的方程 . （1）求证: 不论m为任何实数, 此方程总有实数根； （2）若抛物线 与 轴交于两个不同的整数点，且 为正整数，试确定此抛物线的 ymx2 3m1x3 x m 解析式； （3）若点 P(x , y )与 Q(x n, y )在（2）中抛物线上 (点 P、Q 不重合), 且 y=y, 求代数式 1 1 1 2 1 2 的值. 4x212xn5n216n8 1 1 【思路点拨】 （1）分别讨论当m=0和m≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断； （2）令y=0，则 mx2+（3m+1）x+3=0，求出两根，再根据抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整 数点，且m为正整数，求出m的值； （3）点P（x，y）与Q（x+n，y）在抛物线上，求出y 和y，y 和y 相等，求出 n（2x+n+4）=0，然后整体代 1 1 1 2 1 2 1 2 1 入求出代数式的值． 【答案与解析】 解：（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=-3． 当m≠0时，原方程为一元二次方程． ∵△=（3m+1）2-12m=9m2-6m+1=（3m-1）2≥0． ∴此时方程有两个实数根． 综上，不论m为任何实数时，方程 mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根． （2）∵令y=0，则 mx2+（3m+1）x+3=0． 1 解得 x=-3，x= ． 1 2 m ∵抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数， ∴m=1． ∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3． （3）∵点P（x，y）与Q（x+n，y）在抛物线上， 1 1 1 2 ∴y=x2+4x+3，y=(x+n)2+4(x+n)+3． 1 1 1 2 1 1 ∵y=y， 1 2 ∴x2+4x+3=(x+n)2+4(x+n)+3． 1 1 1 1 可得 2xn+n2+4n=0． 1 即 n（2x+n+4）=0． 1 ∵点P，Q不重合， ∴n≠0． ∴2x=-n-4． 1 ∴4 +12xn+5n2+16n+8=(2x)2+2x•6n+5n2+16n+8=（n+4）2+6n（-n-4）+5n2+16n+8=24． x2 1 1 1 1 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 【总结升华】 本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难 度不大，第三问需要整体代入． 举一反三： 【变式】已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若x、x 是原方程的两根，且|x－x|＝2 ，求m的值和此时方程的两根． 1 2 1 2 2 【答案】 解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得 △=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4， ∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根. （2）∵x，x 是原方程的两根，∴x+x=－（m+3），x•x=m+1. 1 2 1 2 1 2 ∵|x－x|＝2 ， ∴（x－x）2=8，即（x＋x）2－4xx=8. 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0. 解得：m=－3，m=1. 1 2 当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x= ，x=－ . 1 2 2 2 当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x=－2+ ，x=－2－ . 1 2 2 2 类型三、以代数为主的综合题 5．如图所示，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1，0)，直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B 两点，其中A点的坐标为(3，4)，B点在y轴上． (1)求m的值及这个二次函数的解析式； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A，B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题是一道函数综合题，考查二次函数、一次函数解析式的求法，函数关系式的建立． 【答案与解析】 解：(1)∵点A(3，4)在直线y＝x+m上， ∴4＝3+m． ∴m＝1． 设所求二次函数的关系式为 ． y a(x1)2 ∵点A(3，4)在二次函数 的图象上， y a(x1)2 ∴4＝a(3-1)2． ∴a＝1． ∴所求二次函数的关系式为 ．即 ． y (x1)2 y  x2 2x1 (2)设P，E两点的纵坐标分别为 和 ． y y p E ∴ PE h| y  y |(y  y ) P E P E ＝(x+1)－(x2－2x+1) ＝－x2+3x． 即 ． hx2 3x(0 x3) (3)存在． 要使四边形DCEP是平行四边形，必有PE＝DC． ∵点D在直线y＝x+1上， ∴点D的坐标为(1，2)， ∴ ． x2 3x2 即 ． x2 3x20 解之，得 ， ( 不合题意，舍去)． x 2 x 1 x 1 2 2 ∴当P点的坐标为(2，3)时，四边形DCEP是平行四边形． 【总结升华】 若两点在平行于x轴或平行于y轴的直线上，则这两点间的距离可用它们的横坐标或纵坐标的差的 绝对值来表示． 举一反三： 【变式】如图，已知二次函数yax24xc的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）． （1）求该二次函数的解析式； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 【答案】 解：（1）根据题意，得 0a(1)24(1)c,  5a0240c. a1, 解得  c5. ∴二次函数的表达式为 ． y x24x5 （2）令y=0，得二次函数 的图象与x轴的另一个交点坐标C（5, 0）. y x24x5 由于P是对称轴x2上一点， 连结AB，由于 ， AB OA2OB2  26 要使△ABP的周长最小，只要PAPB最小. 由于点A与点C关于对称轴x2对称，连结BC交对称轴于点P， 则PAPB= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得PAPB的最小值为BC. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 因而BC与对称轴x2的交点P就是所求的点. b5, k 1, 设直线BC的解析式为ykxb，根据题意，可得 解得 05kb. b5. 所以直线BC的解析式为yx5 x2, x2, 因此直线BC与对称轴x2的交点坐标是方程组 的解，解得 yx5 y3. 所求的点P的坐标为（2，-3）. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共9页