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让更多的孩子得到更好的教育
中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（提高）
撰稿：张晓新 审稿：杜少波
【中考展望】
初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二
次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关
键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法
找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数
学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．
【方法点拨】
(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；
(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；
(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；
(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．
* 审题(读题、断句、找关键)；
* 先宏观(题型、知识块、方法)；
后微观(具体条件，具体定理、公式)
* 由已知，想可知(联想知识)；
由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；
* 观察——挖掘题目结构特征；
联想——联系相关知识网络；
突破——抓往关键实现突破；
寻求——学会寻求解题思路．
(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．
【典型例题】
类型一、函数综合
1．已知函数 和y＝kx+1(k≠0)．
(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；
(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?
【思路点拨】
本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象
交点个数．
【答案与解析】
解：(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，
∴ 解得
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(2)将 代入y＝kx+1，消去y，得 ．
∵k≠0，
∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．
∵△＝1+8k．
∴1+8k≥0，解得k≥ ．
∴k≥ 且k≠0时这两个函数的图象总有公共点．
【总结升华】
两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△
＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图象没有公共点．
举一反三：
【变式】如图，一元二次方程 的两根 ， （ ＜ ）是抛物线 与
轴的两个交点 ， 的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；
(3)在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．
【答案】
解：(1)解方程 ，得 =-3， =1.
抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）.
将 A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，得
解这个方程组，得
抛物线解析式为 .
(2)由 ，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.
设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A（3，6），C（-3，0）代入,得
解这个方程组，得
直线AC的函数关系式为y=x+3.
由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点，
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故解方程组 得 点Q坐标为（-1，2）.
(3)作A点关于x轴的对称点 ，连接 ， 与 轴交点 即为所求的点.
设直线 的函数关系式为y=kx+b.
∴ 解这个方程组，得 直线 的函数关系式为y=-2x.
令x=0，则y=0.
点M的坐标为（0，0）.
类型二、函数与方程综合
2．已知关于x的二次函数 与 ，这两个二次函数的图象
中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．
(1)试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点；
(2)若A点坐标为(-1，0)，试求B点坐标；
(3)在(2)的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?
【思路点拨】
本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数
图象，与x轴的交点个数及二次函数的性质．
【答案与解析】
解：(1)对于关于x的二次函数 ，
由于△＝(-m)2－4×1× ，
所以此函数的图象与x轴没有交点．
对于关于x的二次函数 ，
由于△＝ ，
所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点．
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故图象经过A，B两点的二次函数为 ．
(2)将A(-1，0)代入 ，得 ．
整理，得 ．
解之，得m＝0，或m＝2．
①当m＝0时， ．令y＝0，得 ．
解这个方程，得 ， ．
此时，B点的坐标是B(1，0)．
②当m＝2时， ．令y＝0，得 ．
解这个方程，得x＝-1，x＝3．
3 4
此时，B点的坐标是B(3，0)．
(3)当m＝0时，二次函数为 ，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝0，所以当x＜0时，函
数值y随x的增大而减小．
当m＝2时，二次函数为 ，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以
当x＜1时，函数值y随x的增大而减小．
【总结升华】
从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常
量来求解．
举一反三：
【高清课堂:代数综合问题 例3】
【变式】已知：关于x的一元二次方程：x2 2mxm2 40.
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线 与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线
yx2 2mxm2 4
的解析式；
（3）将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C,将图形C 向右平移
1 1
一个单位,得到图形C，当直线y=xb(b＜0)与图形C 恰有两个公共点时，写出b的取值范围.
2 2
【答案】
（1）证明∵ ．
∴该方程总有两个不相等的实数根．
（2）由题意可知y轴是抛物线的对称轴， ∴ ，解得 ．
∴此抛物线的解析式为 ．
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（3）-3＜b＜0．
类型三、以代数为主的综合题
3．如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线
段OB．
(1)求点B的坐标；
(2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不
存在，请说明理由．
(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出
此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
【思路点拨】
(1)由∠AOB＝120°可得OB与x轴正半轴的夹角为60°，利用OB＝2及三角函数可求得点B的坐标；
(2)利用待定系数法可求出解析式；
(3)OB为定值，即求BC+CO最小．利用二次函数的对称性可知点C为直线AB与对称轴的交点；
(4)利用转化的方法列出 关于点P的横坐标x的函数关系式求解．
【答案与解析】
解：(1)B(1， )．
(2)设抛物线的解析式为 ，代入点B(1， )，得 ．所以 ．
(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x＝-1，因为A，O关于抛物线的对称轴对称，所以当点C位于对
称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小．
设直线AB的解析式为 ，则
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解得
因此直线AB的解析式为 ．
当 时， ．
因此点C的坐标为 ．
(4)如图所示，过P作y轴的平行线交AB于D，设其交x轴于E，交过点B与x轴平行的直线于F．
设点P的横坐标为x．
则
．
当 时，△PAB的面积的最大值为 ，此时 ．
【总结升华】
本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法．因为线段
的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点
的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD的长为 就是利用了这一规
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律．
4．如图所示，已知抛物线C 与坐标轴的交点依次是A(-4，0)，B(-2，0)，E(0，8)．
1
(1)求抛物线C 关于原点对称的抛物线C 的解析式；
1 2
(2)设抛物线C 的顶点为M，抛物线C 与x轴分别交于C，D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边
1 2
形MDNA的面积为S．若点A，D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；此时，点M，N
同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA
的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
【思路点拨】
此题一题多问，分别考查对抛物线性质、直角坐标系中点的坐标与线段之间的关系、代数式或者函数
最值的求解方法的理解，并考查应用方程思想解决问题的意识和能力．
【答案与解析】
解：(1)点A(-4，0)，点B(-2，0)，点E(0，8)．
关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，F(0，-8)．
设抛物线C 的解析式是 ，
2
则 解得
∴所求抛物线的解析式是 .
(2)由(1)可计算得点M(-3，-1)，N(3，1)．
过点N作NH⊥AD，垂足为H．
当运动到时刻t时，AD＝2OD＝8-2t，NH＝1+2t．
根据中心对称的性质OA＝OD，OM＝ON，
∴四边形MDNA是平行四边形．
∴
∴四边形MDNA的面积 ．
∵运动至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t＜4，
∴所求关系式是 （0≤t＜4）．
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(3) (0≤t＜4)
∴ 时，S有最大值 .
(4)在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．
由(1)知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD、MN，
∴当AD＝MN时四边形MDNA是矩形．
∴OD＝ON．
∴OD2＝ON2＝OH2+NH2．
∴ ．
解得 ， (不合题意，舍去)．
∴在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时 ．
【总结升华】
直角坐标系中，坐标与线段长的关系；用等量关系列方程．以形为背景给出的题干信息中有等腰梯形，
等腰三角形，等边三角形，某线段是某线段的几倍，或者隐含着这些条件存在，都是利用方程思想解决问
题的有效信息．
举一反三：
【变式】如图所示，抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点， ，
．
(1)求点B的坐标；
(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(3)若E点在x轴上，F点在抛物线上，如果A，C，E，F构成平行四边形，直接写出点E的坐标．
【答案】
解：(1)∵ ，∴C(0，3)．
又∵ ，∴A(1，0)．
又∵ ，
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∴ ，
∴AB＝4。
∴B(-3，0)．
(2)把A(1，0)，B(-3，0)代入 得：
∴a＝-1，b＝-2，
∴ ．
∵ ．
∴顶点坐标(-1，4)．
(3)如图1和图2．
当AC为平行四边形的一边时，
(-1，0)，E( ，0)，E( ，0)．
2 3
当AC为平行四边形的对角线时，E(3，0)．
4
5．已知函数y＝x，y＝x2+bx+c，α，β为方程 的两个根，点M(t，T)在函数y 的图象上．
1 2 2
(1)若 ， ，求函数y 的解析式；
2
(2)在(1)的条件下，若函数y 与y 的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为 时，求t的值；
1 2
(3)若0＜α＜β＜1，当0＜t＜l时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．
【思路点拨】
第(1)问由 得 的两根为α，β，利用根的定义代入得到b，c的方程组
可求出b，c值；
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第(2)问分别求出A，B两点坐标，利用直线y＝x与x轴夹角为45°得到关于t的方程；
第(3)问利用求差法比较T，α，β的大小，注意对t的范围进行分类讨论来的确定相应T，α，β的
大小关系．
【答案与解析】
解 (1)∵y＝x，y＝x2+bx+c，y－y＝0，
1 2 1 2
∴ ．
将 ， 分别代入 ，得
．
解得 ， ．
∴函数y 的解析式为 ．
2
(2)由已知，y 与y 的图象的两个交点的坐标分别为 ， ．得 ，
1 2
设ABM中AB边上的高为h，
则 ，即 ．
由直线y1＝x与x轴的夹角为45°可得 ．
由 ，得 ．
当 时，解得 ；
当 时，解得 ，
∴t的值为 ， ， ．
(3)由已知，得 ， ， ．
∴ ，
，
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，
化简得 ．
∵ ，得 ，
∴ ．
有a+b＝1－β＞0，β+b＝1－α＞0．
又0＜t＜1时，∴t+α+b＞0，t+β+b＞0．
∴当0＜t≤α时，T＜α≤β；
当α＜t≤β时，α＜T≤β；
当β＜1时，α＜β＜T．
【总结升华】
本题是关于函数、方程、不等式的综合题，涉及知识面较广．
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