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2019年河北省中考数学试卷
一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形为正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（ ）
A．+3 B．﹣3 C．﹣ D．+
3．（3分）如图，从点C观测点D的仰角是（ ）
A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
4．（3分）语句“x的 与x的和不超过5”可以表示为（ ）
A． +x≤5 B． +x≥5 C． ≤5 D． +x＝5
5．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
6．（3分）小明总结了以下结论：
①a（b+c）＝ab+ac；
②a（b﹣c）＝ab﹣ac；
③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）；
④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）
其中一定成立的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1 / 197．（3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
则回答正确的是（ ）
A．◎代表∠FEC B．@代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
8．（3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ，把 用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣4 B．5×10﹣5 C．2×10﹣4 D．2×10﹣5
9．（3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有 6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小
正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则 n的最小值
为（ ）
A．10 B．6 C．3 D．2
10．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
2 / 19②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②一④→③D．
②→④→③→①
12．（2分）如图，函数y＝ 的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
13．（2分）如图，若x为正整数，则表示 ﹣ 的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
14．（2分）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S ＝x2+2x，S ＝x2+x，则S
主 左
＝（ ）
俯
A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x
15．（2分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出
其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况
是（ ）
3 / 19A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
16．（2分）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以
在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求
正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长
x，再取最小整数n．
甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．
乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．
丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去；结果取n＝13．
下列正确的是（ ）
A．甲的思路错，他的n值对
B．乙的思路和他的n值都对
C．甲和丙的n值都对
D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对
二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2
分，把答案写在题中横线上）
17．（3分）若7﹣2×7﹣1×70＝7p，则p的值为 ．
18．（4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例： 即4+3＝7
则（1）用含x的式子表示m＝ ；
（2）当y＝﹣2时，n的值为 ．
19．（4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数
4 / 19据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为 km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的
距离相等，则C，D间的距离为 km．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，
÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：1+2﹣6﹣9；
（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；
（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
21．（9分）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．
尝试 化简整式A．
发现 A＝B2，求整式B．
联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三
边长，如图．填写下表中B的值：
直角三角形三边 n2﹣1 2n B
勾股数组Ⅰ / 8
勾股数组Ⅱ 35 /
22．（9分）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随
机拿出一个球，已知P（一次拿到8元球）＝ ．
（1）求这4个球价格的众数；
（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．
5 / 19①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿
到8元球的概率．
又拿
先拿
23．（9分）如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边
BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE；
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
24．（10分）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图 1和图2，当队伍
排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往
返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行
进的时间为t（s），排头与O的距离为S （m）．
头
6 / 19（1）当v＝2时，解答：
①求S 与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
头
②当甲赶到排头位置时，求S的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离
为S （m），求S 与t的函数关系式（不写t的取值范围）
甲 甲
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范
围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
25．（10分）如图1和2， ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝ ．点P为AB延长线上
▱
一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x．
（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC
的位置关系；
（2）当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与
劣弧 长度的大小；
（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．
26．（12分）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴交
于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．
（1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x≠0，点（x，y），（x，y），（x，y）分别在l，a和L上，且y是y，y
0 0 1 0 2 0 3 3 1 2
的平均数，求点（x，0）与点D间的距离；
0
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，
分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．
7 / 198 / 192019年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，
故选：D．
2．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左
移动3记作﹣3．
故选：B．
3．【解答】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，
∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，
故选：B．
4．【解答】解：“x的 与x的和不超过5”用不等式表示为 x+x≤5．
故选：A．
5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，
∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠1＝15°；
故选：D．
6．【解答】解：①a（b+c）＝ab+ac，正确；
②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确；
③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确；
④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算．
故选：C．
7．【解答】证明：延长BE交CD于点F，
则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．
故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故选：C．
8．【解答】解： ＝0.00002＝2×10﹣5．
9 / 19故选：D．
9．【解答】解：如图所示，n的最小值为3，
故选：C．
10．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分
线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选：C．
11．【解答】解：由题意可得，
正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布
表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，
故选：D．
12．【解答】解：由已知可知函数y＝ 关于y轴对称，
所以点M是原点；
故选：A．
13．【解答】解∵ ﹣ ＝ ﹣ ＝1﹣ ＝
又∵x为正整数，
∴ ≤x＜1
故表示 ﹣ 的值的点落在②
故选：B．
14．【解答】解：∵S ＝x2+2x＝x（x+2），S ＝x2+x＝x（x+1），
主 左
∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，
则俯视图的面积S ＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，
俯
故选：A．
15．【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一
10 / 19个根是x＝﹣1，
∴（﹣1）2﹣4+c＝0，
解得：c＝3，
故原方程中c＝5，
则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
16．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为 n
＝14；
乙的思路与计算都正确；
乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；
故选：B．
二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写
在题中横线上）
17．【解答】解：∵7﹣2×7﹣1×70＝7p，
∴﹣2﹣1+0＝p，
解得：p＝﹣3．
故答案为：﹣3．
18．【解答】解：（1）根据约定的方法可得：
m＝x+2x＝3x；
故答案为：3x；
（2）根据约定的方法即可求出n
x+2x+2x+3＝m+n＝y．
当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．
解得x＝﹣1．
∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．
故答案为：1．
19．【解答】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，
∴AB＝12﹣（﹣8）20；
（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，
由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，
AE＝12，
设CD＝x，
11 / 19∴AD＝CD＝x，
由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，
∴解得：x＝13，
∴CD＝13，
故答案为：（1）20；（2）13；
三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9
＝3﹣6﹣9
＝﹣3﹣9
＝﹣12；
（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，
∴1× ×6□9＝﹣6，
∴3□9＝﹣6，
∴□内的符号是“﹣”；
（3）这个最小数是﹣20，
理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，
∴1□2□6的结果是负数即可，
∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，
∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，
∴这个最小数是﹣20．
21．【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．
故答案为：17；37
22．【解答】解：（1）∵P（一次拿到8元球）＝ ，
12 / 19∴8元球的个数为4× ＝2（个），按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，
∴这4个球价格的众数为8元；
（2）①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；理由如下：
原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，
∴原来4个球价格的中位数为 ＝8（元），
所剩的3个球价格为8，8，9，
∴所剩的3个球价格的中位数为8元，
∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；
②列表如图所示：共有9个等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，
∴乙组两次都拿到8元球的概率为 ．
23．【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠BAC＝∠DAE
即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE
∴∠BAD＝∠CAE．
（2）∵AD＝6，AP＝x，
∴PD＝6﹣x
当AD⊥BC时，AP＝ AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．
（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，
∵AB⊥AC
13 / 19∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，
∵I为△APC的内心
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝ ∠PAC，∠ICA＝ ∠PCA
∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣ （∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣ （90°﹣α+60°）
＝ α+105°
∵0＜α＜90°，
∴105°＜ α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m＝105，n＝150．
24．【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），
∴S ＝2t+300
头
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S ＝2t+300＝600 m
头
甲返回时间为：（t﹣150）s
∴S ＝S ﹣S ＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；
甲 头 甲回
因此，S 与t的函数关系式为S ＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返
头 头
回到排尾过程中，S 与t的函数关系式为S ＝﹣4t+1200．
甲 甲
14 / 19（2）T＝t +t ＝ + ＝ ，
追及 返回
在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×（T﹣150）＝v×（ ﹣﹣150）＝400﹣150v；
因此T与v的函数关系式为：T＝ ，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．
25．【解答】解：（1）如图1，AP经过圆心O，∵CP与⊙O相切于P，
∴∠APC＝90°，
∵ ABCD，
▱
∴AD∥BC，
∴∠PBC＝∠DAB
∴ ＝tan∠PBC＝tan∠DAB＝ ，设CP＝4k，BP＝3k，由CP2+BP2＝BC2，
得（4k）2+（3k）2＝152，解得k＝﹣3（舍去），k＝3，
1 2
∴x＝BP＝3×3＝9，
故当x＝9时，圆心O落在AP上；
∵AP是⊙O的直径，
∴∠AEP＝90°，
∴PE⊥AD，
∵ ABCD，
▱
∴BC∥AD
∴PE⊥BC
（2）如图2，过点C作CG⊥AP于G，
∵ ABCD，
▱
∴BC∥AD，
∴∠CBG＝∠DAB
∴ ＝tan∠CBG＝tan∠DAB＝ ，
设CG＝4m，BG＝3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2＝152，解得m＝3，
∴CG＝4×3＝12，BG＝3×3＝9，PG＝BG﹣BP＝9﹣4＝5，AP＝AB+BP＝3+4＝7，
∴AG＝AB+BG＝3+9＝12
15 / 19∴tan∠CAP＝ ＝ ＝1，
∴∠CAP＝45°；
连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ＝2∠CAP＝2×45°＝90°，PH＝ AP＝ ，
在Rt△CPG中， ＝ ＝13，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OPC＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠CPG＝90°，∠PCG+∠CPG＝90°
∴∠OPH＝∠PCG
∴△OPH∽△PCG
∴ ，即PH×CP＝CG×OP， ×13＝12OP，
∴OP＝
∴劣弧 长度＝ ＝ ，
∵ ＜2π＜7
∴弦AP的长度＞劣弧 长度．
（3）如图3，⊙O与线段AD只有一个公共点，即圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，
当∠OAD＝90°，∠CPM＝∠DAB时，此时BP取得最小值，过点C作CM⊥AB于M，
∵∠DAB＝∠CBP，
∴∠CPM＝∠CBP
∴CB＝CP，
∵CM⊥AB
∴BP＝2BM＝2×9＝18，
∴x≥18
16 / 1926．【解答】解：（1）当x＝0吋，y＝x﹣b＝﹣b，
∴B （0，﹣b），
∵AB＝8，而A（0，b），
∴b﹣（﹣b）＝8，
∴b＝4．
∴L：y＝﹣x2+4x，
∴L的对称轴x＝2，
当x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2，
∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2 ）；
（2）y＝﹣（x﹣ ）2+ ，
∴L的顶点C（ ）
∵点C在l下方，
∴C与l的距离b﹣ ＝﹣ （b﹣2）2+1≤1，
∴点C与1距离的最大值为1；
（3）由題意得 ，即y+y＝2y，
1 2 3
17 / 19得b+x﹣b＝2（﹣x2+bx）
0 0 0
解得x＝0或x＝b﹣ ．但x#0，取x＝b﹣ ，
0 0 0 0
对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），
解得x＝0，x＝b，
1 2
∵b＞0，
∴右交点D（b，0）．
∴点（x，0）与点D间的距离b﹣（b﹣ ）＝
0
（4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x
直线解析式a：y＝x﹣2019
联立上述两个解析式可得：x＝﹣1，x＝2019，
1 2
∴可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021
个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2021个整数点
∴总计4042个点，
∵这两段图象交点有2个点重复重复，
∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）；
②当b＝2019.5时，
抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，
直线解析式a：y＝x﹣2019.5，
联立上述两个解析式可得：x＝﹣1，x＝2019.5，
1 2
∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，
在二次函数y＝x+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，
可知﹣1到2019.5之 间有1009个偶数，并且在﹣1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合
条件，因此“美点”共有1010个．
故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．
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