2009年高考数学试卷（文）（北京）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2009·高考数学真题

2009年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页， 共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共40分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅 笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为 准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1 A={x|- < x<2},B={x x2 £1} 1．设集合 2 ，则 A U B= （ ） 1 {x|- < x£1} {x -1£ x<2} 2 A． B． {x|x<2} {x|1£ x<2} C． D． 【答案】A 【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查. 1 A={x|- < x<2}, B={x x2 £1}=x|-1£ x£1 2 ∵ ， A B={x -1£ x<2} U ∴ ，故选A. a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(kÎR),d =a-b c//d 2．已知向量 ，如果 ，那么 k =1 c d k =1 c d A． 且 与 同向 B． 且 与 反向 k =-1 c d k =-1 c d C． 且 与 同向 D． 且 与 反向 【答案】D .w【解析】.k.s.5.u.c本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. =1,0 =0,1 =1,1 =1,-1 ∵a ，b ，若 k =1 ，则c = a + b ，d = a - b ， 第1页 | 共11页显然，a与b不平行，排除A、B. =-1,1 =--1,1 若 k =-1 ，则c = - a + b ，d = - a + b ， // 即c d且c与d反向，排除C，故选D (1+ 2)4 =a+b 2(a,b a+b= 3．若 为有理数），则 （ ） A．33 B． 29 C．23 D．19 【答案】B .w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.  4  0  1  2  3  4 1+ 2 =C0 2 +C1 2 +C2 2 +C3 2 +C4 2 ∵ 4 4 4 4 4 =1+4 2+12+8 2+4=17+12 2 ， 17+12 2 =a+b 2 a+b=17+12=29 由已知，得 ，∴ .故选B. x+3 y =lg 10 y =lgx .k.s.5.u.c 4．为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点（ ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C .w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. y =lgx+3+1=lg10x+3 A． ， y =lgx-3+1=lg10x-3 B． ， x+3 y =lgx+3-1=lg 10 C． ， x-3 y =lgx-3-1=lg 10 D． . 故应选C. 5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C .w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. A1 =2 2和4排在末位时，共有 2 种排法， 第2页 | 共11页A3 =4´3´2=24 其余三位数从余下的四个数中任取三个有 4 种排法， 2´24=48 于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有 （个）.故选C. p 1 a= cos2a= 6 2 6．“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A .w【解析】本题主要考查.k本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判 断. 属于基础知识、基本运算的考查. p p 1 a= cos2a=cos = 6 3 2 当 时， ， 1 p p cos2a= 2a=2kp+ Þa=kp+ kÎZ 2 3 6 反之，当 时，有 ， p p 2a=2kp- Þa=kp- kÎZ 3 6 或 ，故应选A. ABCD-ABC D AB AC 7．若正四棱柱 1 1 1 1的底面边长为1， 1与底面ABCD成60°角，则 1 1到 底面ABCD的距离为 ( ) 3 3 2 3 A． B． 1 C． D． 【答案】D .w【解析】.k本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离 等概念. 属于基础知识、基本运算的考查. ÐB AB=60° 依题意， 1 ，如图， BB =1´tan60° = 3 1 ，故选D. DPPP P DPPP 8．设D是正 1 2 3及其内部的点构成的集合，点 0是 1 2 3的中心，若集合 S ={P|PÎD,|PP |£|PP |,i =1,2,3} 0 i ，则集合S表示的平面区域是 ( ) A．三角形区域 B．四边形区域 C． 五边形区域 D．六边形区域 【答案】D 【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识..5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的 第3页 | 共11页能力. 属于创新题型. 大光明 如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是 集合S为六边形ABCDEF，其中， P A= P A£ PAi =1,3 0 2 i 即点P可以是点A. 第Ⅱ卷（110分） 注意事项： 1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 三 题号 二 总分 15 16 17 18 19 20 分数 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。 4 sinq=- ,tanq>0 5 cosq= 9．若 ，则 . 3 - 5 【答案】 【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算。 属于基础知识、基本运算的考查。 2 æ 4ö 3 3 cosq=- 1-sin2q=- 1- ç - ÷ =- - q è 5ø 5 5 由已知， 在第三象限，∴ ，∴应填 . {a } a =1,a =2a (nÎN*) a = S = 10．若数列 n 满足： 1 n+1 n ，则 5 ；前8项的和 8 .（用数字作答） 【答案】16 255 .w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本运算的考查. a =1,a =2a =2,a =2a 4,a =2a =8,a =2a =16 1 2 1 3 2 4 3 5 4 ， 28 -1 S = =255 易知 8 2-1 ，∴应填255. 第4页 | 共11页ìx+ y-2³0, ï íx£4, ï x,y î x£5, s = x+ y 11．若实数 满足 则 的最大值为 . 【答案】9 【解析】.s.5.u本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. x=4,y =5 如图，当 时， s = x+ y =4+5=9 为最大值. 故应填9. ì3x, x£1, f(x)=í î-x, x>1, f(x)=2 12．已知函数 若 ，则 x= . log 2 .w.w.k.s.5【答案】 3 x .w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 的值. 属于基础知识、基本运算的考查. ìx£1 ìx>1 í Þ x=log 2 í î3x =2 3 î-x=2Þ x=-2 log 2 由 ， 无解，故应填 3 . x2 y2 + =1 F,F |PF |=4 |PF |= 9 2 13．椭圆 的焦点为 1 2，点P在椭圆上，若 1 ，则 2 ； ÐFPF 1 2的大小为 . 2, 120° 【答案】 .w【解析】u.c本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定 理. 属于基础知识、基本运算的考查. a2 =9,b2 =3 ∵ ， c= a2 -b2 = 9-2 = 7 ∴ ， FF =2 7 ∴ 1 2 ， PF =4, PF + PF =2a =6 PF =2 又 1 1 2 ，∴ 2 ，  2 22 +42 - 2 7 1 cosÐFPF = =- 又由余弦定理，得 1 2 2´2´4 2 ， 第5页 | 共11页ÐFPF =120° 2, 120° ∴ 1 2 ，故应填 . kÎA k-1ÏA k+1ÏA k 14．设A是整数集的一个非空子集，对于 ，如果 且 ，那么称 是 S ={1,2,3,4,5,6,7,8,} A的一个“孤立元”，给定 ，由S的3个元素构成的所有集合中，不 含“孤立元”的集合共有 个. 【答案】6 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解 决问题的能力. 属于创新题型. k 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在 k 集合中有与 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类： 1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8 因此，符合题意的集合是： 共6个. 故应填6. 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共12分） f(x)=2sin(p-x)cosx 已知函数 . f(x) （Ⅰ）求 的最小正周期； é p pù - , ê ú f(x) ë 6 2û （Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值. 【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间 上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力． f x=2sinp-xcosx=2sinxcosx=sin2x （Ⅰ）∵ ， f(x) p ∴函数 的最小正周期为 . p p p 3 - £ x£ Þ- £2x£p - £sin2x£1 6 2 3 2 （Ⅱ）由 ，∴ ， é p pù 3 ê - , ú - f(x) ë 6 2û 2 ∴ 在区间 上的最大值为1，最小值为 . 16．（本小题共14分） P-ABCD 如图，四棱锥 的底面是正方形， PD^底面ABCD ，点E在棱PB上. 第6页 | 共11页AEC ^平面PDB （Ⅰ）求证：平面 ； PD= 2AB （Ⅱ）当 且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小. 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知 识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． （Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， PD^底面ABCD ∵ ， ∴PD⊥AC， ∴AC⊥平面PDB， AEC ^平面PDB ∴平面 . （Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∴O，E分别为DB、PB的中点， 1 OE = PD 2 ∴OE//PD， ， PD^底面ABCD 又∵ ， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO， 1 2 OE = PD= AB= AO 2 2 在Rt△AOE中， ， ÐAEO=45° 45° ∴ ，即AE与平面PDB所成的角的大小为 . D-xyz 【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系 ， AB=a,PD=h, Aa,0,0,Ba,a,0,C0,a,0,D0,0,0,P0,0,h 设 则 ， uuur uuur uuur AC =-a,a,0,DP=0,0,h,DB=a,a,0 （Ⅰ）∵ ， uuur uuur uuur uuur AC×DP=0,AC×DB=0 ∴ ， ∴AC⊥DP，AC⊥BD， ∴AC⊥平面PDB， AEC ^平面PDB ∴平面 . PD= 2AB （Ⅱ）当 且E为PB的中点时， 第7页 | 共11页  æ1 1 2 ö P 0,0, 2a ,Eç a, a, a÷ ç ÷ 2 2 2 è ø ， 1 1 O( a, a,0) ACÇBD=O 2 2 设 ，则 ，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角， uuur æ1 1 2 ö uuur æ 2 ö EA=ç a,- a,- a÷,EO=ç0,0,- a÷ ç ÷ ç ÷ 2 2 2 2 è ø è ø ∵ ， uuur uuur EA×EO 2 cosÐAEO= = uuur uuur EA × EO 2 ∴ ， ÐAEO=45° 45° ∴ ，即AE与平面PDB所成的角的大小为 . 17．（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的 1 3 概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用 概率知识解决实际问题的能力. （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件 “这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的 æ 1ö æ 1ö 1 4 PA= 1- ´ 1- ´ = ç ÷ ç ÷ è 3ø è 3ø 3 27 概率为 . （Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在 B k =0,1,2 k 上学路上遇到 次红灯的事件 k . 4 æ2ö 16 PB = = ç ÷ 0 è3ø 81 则由题意，得 ， 1 3 2 2 æ1ö æ2ö 32 æ1ö æ2ö 24 PB =C1 = ,PB =C2 = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 4 è3ø è3ø 81 2 4 è3ø è3ø 81 . 由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， 8 PB= PB +PB +PB = 0 1 2 9 ∴事件B的概率为 . 18．（本小题共14分） 第8页 | 共11页f(x)= x3-3ax+b(a ¹0) 设函数 . y = f(x) (2, f(2)) y =8 a,b （Ⅰ）若曲线 在点 处与直线 相切，求 的值； f(x) （Ⅱ）求函数 的单调区间与极值点. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综 合分析和解决问题的能力． f 'x=3x2 -3a （Ⅰ） , y = f(x) (2, f(2)) y =8 ∵曲线 在点 处与直线 相切， ì ïf '2=0 ìï34-a=0 ìa=4, í Þí Þí ïî f 2=8 ïî8-6a+b=8 îb=24. ∴ f 'x=3  x2 -a a¹0 （Ⅱ）∵ , a<0 f 'x>0 f(x) -¥,+¥ f(x) 当 时， ，函数 在 上单调递增，此时函数 没有极值点. f 'x=0Þ x=± a a>0 当 时，由 ，   xÎ -¥,- a f 'x>0 f(x) 当 时， ，函数 单调递增，   xÎ - a, a f 'x<0 f(x) 当 时， ，函数 单调递减，   xÎ a,+¥ f 'x>0 f(x) 当 时， ，函数 单调递增， x=- a f(x) x= a f(x) ∴此时 是 的极大值点， 是 的极小值点. 19．（本小题共14分） x2 y2 3 C: - =1(a>0,b>0) x= a2 b2 3 3 已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为 。 （Ⅰ）求双曲线C的方程； x- y+m=0 （Ⅱ）已知直线 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆 x2 + y2 =5 上，求m的值 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的 关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． 第9页 | 共11页ìa2 3 ï = ï c 3 í c ï = 3 ïîa a=1,c= 3 （Ⅰ）由题意，得 ，解得 ， y2 x2 - =1 b2 =c2 -a2 =2 C 2 ∴ ，∴所求双曲线 的方程为 . x ,y ,x ,y  M x ,y  （Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为 1 1 2 2 ，线段AB的中点为 0 0 ， ìx- y+m=0 ï í y2 x2 - =1 ï î 2 x2 -2mx-m2 -2=0 D>0 由 得 （判别式 ）, x +x x = 1 2 =m,y = x +m=2m 0 2 0 0 ∴ , M x ,y  x2 + y2 =5 ∵点 0 0 在圆 上， m2 +2m2 =5 m=±1 ∴ ，∴ . 20．（本小题共13分） {a } a = pn+q(nÎN*,P>0) {b } 设数列 n 的通项公式为 n . 数列 n 定义如下：对于正整数m b a ³m ， m是使得不等式 n 成立的所有n中的最小值. 1 1 p= ,q=- b 2 3 （Ⅰ）若 ，求 3； p=2,q=-1 {b } （Ⅱ）若 ，求数列 m 的前2m项和公式； b =3m+2(mÎN*) （Ⅲ）是否存在p和q，使得 m ？如果存在，求p和q的取值范围；如果 不存在，请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分 类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题. 1 1 a = n- n 2 3 （Ⅰ）由题意，得 ， 1 1 20 n- ³3 n³ 2 3 3 解 ，得 . 1 1 n- ³3 b =7 2 3 ∴ 成立的所有n中的最小正整数为7，即 3 . 第10页 | 共11页a =2n-1 （Ⅱ）由题意，得 n ， m+1 n³ a ³m 2 对于正整数m，由 n ，得 . b 根据 m的定义可知 b =k  kÎN* 当 m=2k-1 时， m ； b =k+1  kÎN* 当 m=2k 时， m . b +b + +b =b +b + +b +b +b + +b  ∴ 1 2 L 2m 1 3 L 2m-1 2 4 L 2m =1+2+3+ +m+é2+3+4+ +m+1ù L ë L û mm+1 mm+3 = + =m2 +2m 2 2 . m-q n³ pn+q³m p>0 p （Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式 及 得 . b =3m+2(mÎN*) b ∵ m ,根据 m的定义可知，对于任意的正整数m 都有 m-q 3m+1< £3m+2 p ， -2p-q£3p-1m<-p-q 即 对任意的正整数m都成立. p+q 2p+q m<- m£- 3p-1>0 3p-1<0 3p-1 3p-1 当 （或 ）时，得 （或 ），这与上述结论矛 盾！ 1 2 1 p= - -q£0<- -q 3p-1=0 3 3 3 当 ，即 时，得 ， 2 1 - £q<- 3 3 解得 .（经检验符合题意） 1 2 1 p= - £q<- b =3m+2(mÎN*) 3 3 3 ∴ 存在p和q，使得 m ；p和q的取值范围分别是 ， . 第11页 | 共11页