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绝密★考试结束前
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．设U =R,A=x|x>0,B=x|x>1, 则A ð B= （ ）
I U
A．x|0„ x<1 B．x|0< x„ 1 C．x|x<0 D．x|x>1
【】是
【测量目标】集合的基本运算（交集与补集）.
【考查方式】集合的表示（描述法），求集合的补集与交集.
【参考答案】B
【试题解析】对于ð B=x|x„ 1,因此A ð B=x|0< x„ 1．
U I U
2．“x>0”是“x¹0”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【测量目标】命题的充分，必要条件.
【考查方式】主要考查命题的基本关系以及充分必要条件.
【参考答案】A
【试题解析】对于“x>0”Þ “x¹0”；反之不一定成立，因此“x>0”是“x¹0”的充分
而不必要条件．
2
3．设z =1+i（i是虚数单位），则 +z2 = （ ）
z
A．1+i B．-1+i C．1-i D．-1-i
【测量目标】复数的代数形式的四则运算.
【考查方式】给出复数的除法乘方形式，考查复数的代数四则运算.
【参考答案】D
2 2
【试题解析】对于 +z2 = +(1+i)2 =1-i+2i=1+i
z 1+i
4．设a,b是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是 （ ）
A．若l ^a,a^b,则l Ìb B．若l a,a b,则l Ìb
P P
C．若l ^a,a b,则l ^b D．若l a,a^b,则l ^b
P P
第1页 | 共10页【测量目标】直线与平面位置关系，平面与平面的位置关系.
【考查方式】给出线面，面面的部分关系，推导直线与平面的关系.
【参考答案】C
【试题解析】对于A,B,D均可能出现l b，而对于C是正确的．
P
5．已知向量a=(1,2),b=(2,-3)．若向量c满足(c+a) b,c ^(a+b)，则c =（ ）
P
7 7 7 7 7 7 7 7
A．( , ) B．(- ,- ) C．( , ) D．(- ,- )
9 3 3 9 3 9 9 3
【测量目标】平面向量的坐标运算.
【考查方式】给出平面向量满足的关系式，通过平面向量的平行和垂直关系运算求解.
【参考答案】D
【 试 题 解 析 】 不 妨 设 c =(m,n)， 则 a+c =1+m,2+n,a+b=(3,-1)， 对 于
c+a b，则有-3(1+m)=(2+n)；（步骤1）
P
7 7
又c ^a+b，则有3m-n=0，则有m=- ,n=- （步骤2）
9 3
x2 y2
6．已知椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF ^ x
a2 b2
uuur uuur
轴，直线AB交y轴于点P．若AP=2PB，则椭圆的离心率是 （ ）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3 2 1 1
A． B． C． D．
2 2 3 2
【测量目标】椭圆的简单几何性质，解析几何与平面向量结合.
【考查方式】考查解析几何与平面向量结合，数形结合求解离心率.
【参考答案】D
uuur uuur 1
【试题解析】对于椭圆，因为AP=2PB，则OA=2OF,\a=2c,\e=
2
7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k的值是
（ ）
A．4 B．5
C．6 D．7
【测量目标】循环结构的程序框图.
【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及
循环体的构成，特别是注意最后一次循环k的值.
【参考答案】A
第2页 | 共10页【 试 题 解 析 】 对 于 k =0,s =1,\k =1， 而 对 于 k =1,s =3,\k =2， 则
k =2,s =3+8,\k =3，后面是k =3,s =3+8+211,\k =4，不符合条件时输出的k =4．
a
8．若函数 f(x)= x2 + (aÎR)，则下列结论正确的是 （ ）
x
A．"aÎR， f(x)在(0,+¥)上是增函数
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B．"aÎR， f(x)在(0,+¥)上是减函数
C．$aÎR， f(x)是偶函数
D．$aÎR， f(x)是奇函数
【测量目标】全称量词、存在量词、函数奇偶性与单调性的判断.
【考查方式】给出函数式，通过对量词的考查结合函数的性质进行考查.
【参考答案】C
【试题解析】对于a=0时有 f x= x2是一个偶函数
9．已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【测量目标】直线与圆的位置关系.
【考查方式】通过三角形边与圆相切来考虑公共点.
【参考答案】B
【试题解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，
对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但4以上的交点不能实现．
10．已知a是实数，则函数 f(x)=1+asinax的图象不可能是 （ ）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A B C D
【测量目标】三角函数的图象.
【考查方式】函数式中设定函数，考查三角函数的图象.
【参考答案】D
2π
【试题解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为T = , a >1,\T <2π（步骤1）
Q
a
而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．（步骤2）
第3页 | 共10页非选择题部分（共 100 分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
1 S
11．设等比数列{a }的公比q= ，前n项和为S ，则 4 = ．
n 2 n a w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4
【测量目标】等比数列的通项，等比数列的前n和.
【考查方式】给出等比数列的公比，考查等比数列前n和每项的关系.
【参考答案】15
a (1-q4) S 1-q4
【试题解析】对于S = 1 ,a =aq3,\ 4 = =15
4 1-q 4 1 a q3(1-q) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4
12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积
是 cm3．
【测量目标】三视图求几何体的体积.
【考查方式】给出三视图，求几何体的体积.
【参考答案】18
【试题解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1´3´3=9，
上面的长方体体积为3´3´1=9，因此其几何体的体积为18
ì x+ y… 2,
ï
13．若实数 x,y满足不等式组 í2x- y„ 4,则 2x+3y的最小值
ï
x- y… 0,
î
是 ．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.
【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的
平面区域，求出线性目标函数的最小值.
【参考答案】4
2
【 试 题 解 析 】 通 过 画 出 其 线 性 规 划 ， 可 知 直 线 y =- x+z过 点 2,0时 ，
3
2x+3y =4
min
14．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间
[4,5)上的数据的频数为 ．
第4页 | 共10页【测量目标】频率分布直方图.
【考查方式】给出频率分布直方图，通过图表解决问题.
【参考答案】30
【试题解析】对于在区间4,5的频率/组距的数值为0.3，而总数为100，因此频数为30
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
15．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价
表如下：
高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表
高峰月用电量 高峰电价 低谷月用电量 低谷电价
（单位：千瓦时） （单位：元/千瓦 （单位：千瓦时） （单位：元/千瓦
时） 时）
50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288
超过50至200的部 0.598 超过50至200的部分 0.318
分
超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦
时，
则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）．
【测量目标】分段函数模型.
【考查方式】考查识图能力及数据处理能力，求解.
【参考答案】148.4
【试题解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为50´0.568+150´0.598；对于
低峰部分为50´0.288+50´0.318，二部分之和为148.4
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
16．设等差数列{a }的前n项和为S ，则 S ，S -S ，S -S ，S -S 成等差数
n n 4 8 4 12 8 16 12
T
列．类比以上结论有：设等比数列{b }的前n项积为T ，则T ， ， ， 16 成
n n 4 T
12
等比数列．
【测量目标】等比数列的性质，等差数列的性质.
【考查方式】通过已知条件进行类比推理求解.
T T
【参考答案】 8，12
T T
4 8
【试题解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列{b }的前n项积为T ，则T ，
n n 4
第5页 | 共10页T T T
8 , 12 ， 16 成等比数列．
T T T w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4 8 12
17．有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k,k+1，其中k =0,1,2, ,19．
L
从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到
标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10）不小于14,A，
则P(A)= ．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【测量目标】排列组合及其应用.
【考查方式】给出排列组合的方式，求在一定条件下出现A事件概率.
1
【参考答案】
4
【 试 题 解 析 】 对 于 大 于 14 的 点 数 的 情 况 通 过 列 举 可 得 有 5 种 情 况 ， 即
1
7,8;8,9;16,17;17,18;18,19，而基本事件有20种，因此P(A)=
4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分 14 分）在 △ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且满足
A 2 5
cos = ，
2 5
uuur uuur
AB AC =3． （I）求△ABC的面积； （II）若c=1，求a的值．
g
【测量目标】平面向量的线性运算，正弦定理余弦定理，二倍角，同角三角函数的基本关系.
【考查方式】给出关于向量的等式，根据数量积的公式将其转化为边与角的关系式，进而求
△ABC的面积;给出边c，根据余弦定理求a值.
A 2 5 3
【试题解析】（Ⅰ）cosA= 2cos2 -1= 2´( )2 -1= （步骤1）
2 5 5
4
又AÎ(0,π)，sin A= 1-cos2 A = ，（步骤2）
5
uuur uuur uuur uuur 3
而AB AC = AB AC cosA= bc=3，所以bc =5，
g g g
5
1 1 4
所以△ABC的面积为： bcsin A= ´5´ = 2（步骤3）
2 2 5
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bc =5，而c =1，所以b =52
0
所以a = b2 +c2 -2bccosA = 25+1-2´3 = 2 5（步骤4）
0
9
19 ．（本题满分14 分）如图，DC ^平面ABC0，EB DC，
P
4
2
3
第6页 | 共10页
2
0
0
9
0
4
2
3AC = BC = EB=2DC =2，ÐACB=120o，P,Q分别为AE,AB的中点．（I）证明：PQ
P
平面ACD；（II）求AD与平面ABE所成角的正弦值．
【测量目标】线面平行的判定，线面角的求法.
【考查方式】线线平行推出线面平行;由几何体中的位置关系，进行求解.
【试题解析】（Ⅰ）证明：连接DP,CQ，在△ABE中，P,Q分别是AE,AB的中点，所以
1
PQ BE， （步骤1）
P
2
1
又DC BE，所以PQ DC，又PQ 平面ACD ，DC Ì平面ACD， 所以PQ
P P P
2
平面ACD（步骤2）
（Ⅱ）在△ABC中，AC = BC = 2,AQ = BQ，所以CQ ^ AB（步骤3）
而DC ^平面ABC，EB//DC，所以EB ^平面ABC
而EB Ì平面ABE， 所以平面ABE ^平面ABC， 所以CQ ^平面ABE（步骤4）
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以DP//CQ
所以DP ^平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，（步骤5）
所以直线AD与平面ABE所成角是ÐDAP（步骤6）
在 Rt△APD中 ， AD = AC2 +DC2 = 22 +12 = 5 ，
DP =CQ = 2sinÐCAQ =1
DP 1 5
所以sinÐDAP = = = （步骤7）
AD 5 5
20．（本题满分14分）设S 为数列{a }的前n项和，S =kn2 +n，nÎN*，其中k是常
n n n
数．
（I） 求a 及a ；
1 n
（II）若对于任意的mÎN*，a ，a ，a 成等比数列，求k的值．
m 2m 4m
【测量目标】等差数列的通项和等比数列的性质，等差数列前n项和.
【考查方式】给出S 的表达式，求a ；a 中部分项呈等比，求解未知数k.
n n n
【试题解析】（Ⅰ）当n =1,a = S = k +1，
1 1
n… 2,a =S -S =kn2 +n-[k(n-1)2 +(n-1)]=2kn-k+1（ ○ 1 ）（步骤1）
n n n-1
检验，n =1,（ ○ 1 ）式成立， \a = 2kn-k +1（步骤2）
n
（Ⅱ） a ,a ,a 成等比数列，\a 2 =a a ，
Q m 2m 4m 2m mg 4m
即(4km-k +1)2 =(2km-k +1)(8km-k +1)，（步骤3）
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2
0
0
9
0
4
2
3整理得：mk(k -1) =0，对任意的mÎN*成立，
\k =0或k =1（步骤4）
21．（本题满分15分）已知函数 f(x)= x3+(1-a)x2 -a(a+2)x+b (a,bÎR)．
（I）若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a,b的值；
（II）若函数 f(x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围．
【测量目标】利用导数判断或求函数的单调区间，函数零点的应用.
【考查方式】限定函数的图象过定点处的斜率，解出方程中的未知数;给出函数在区间上的
单调性，求未知数的取值范围.
【试题解析】
（Ⅰ）由题意得 f (x) =3x2 +2(1-a)x-a(a+2)（步骤1）
ì f(0) =b =0
又í ，（步骤2）
îf (0) = -a(a+2) = -3
解得b =0，a = -3或a =1（步骤3）
a+2
（Ⅱ）由 f(x)=0,得x =a,x =- （步骤4）
1 2 3
ì a+2
ì a+2 -1<- <1
ïa¹- ï ï 3
又 f(x)在(-1,1)上不单调,即í 3 或í 2 （步骤5）
a+2
ï î -10)上一点A(m,4)到其焦点的距离为
17
．
4
（I）求 p与m的值；
（II）设抛物线C上一点P的横坐标为t (t >0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴
于点M ，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N ．若MN 是C的切线，求t的最小
值．
【测量目标】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆
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2
0
0
9
0
4
2
3锥曲线中的定点定值问题.
【考查方式】给出抛物线上一点到焦点的距离，根据准线方程求方程中未知数;根据直线与
抛物线直线与直线的关系，求t的最小值
p
【试题解析】（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：y = - ，（步骤1）
2
p 17
根据抛物线定义点 A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4+ = ，解得
2 4
1
p = （步骤2）
2
\抛物线方程为：x2 = y，（步骤3）
将A(m,4)代入抛物线方程，解得m = 2（步骤4）
（Ⅱ）由题意知，过点P(t,t2)的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k.（步骤5）
-t2 +kt -t2 +kt
则l : y-t2 = k(x-t)，当y =0,x = ,则M( ,0).（步骤6）
PQ k k
ìy-t2 = k(x-t)
联立方程í ，整理得：x2 -kx+t(k -t) =0
î x2 = y
即：(x-t)[x-(k -t)]=0，解得x =t,或x = k -t（步骤7）
1
\Q(k -t,(k -t)2)，而QN ^QP，\直线NQ斜率为- （步骤8）
k
ì 1
1 ïy-(k -t)2 = - [x-(k -t)]
\l : y-(k -t)2 = - [x-(k -t)]，联立方程í k
NQ k
ï î x2 = y
1 1
整 理 得 ： x2 + x- (k -t)-(k -t)2 =0， 即 ：
k k
kx2 + x-(k -t)[k(k -t)+1]=0
k(k -t)+1
[kx+k(k -t)+1][x-(k -t)]=0，解得：x = - 或x = k -t（步骤9）
k
k(k -t)+1 [k(k -t)+1]2
\N(- , )，
k k2
[k(k -t)+1]2
k2 (k2 -kt+1)2
\K = = （步骤10）
NM k(k -t)+1 -t2 +kt k(t2 -k2 -1)
- -
k k
-2k(k -t)-2
而抛物线在点N处切线斜率：k = y = （步骤11）
切 x=- k(k-t)+1 k
k
第9页 | 共10页(k2 -kt+1)2 -2k(k -t)-2
MN 是 抛 物 线 的 切 线 ， \ = ， 整 理 得
Q
k(t2 -k2 -1) k
k2 +tk +1-2t2 =0
2 2 2
D=t2 -4(1-2t2)… 0，解得t„ - （舍去），或t… ，\t = （步骤12）
Q 3 3 min 3
第10页 | 共10页
