文档内容
2009年北京市普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页
，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，
用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框
内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。
一、本大题每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在复平面内，复数z =i(1+2i)对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量a,b不共线，c=ka+b(kÎR),d =a-b如果c//d ，那么
A．k =1且c与d 同向 B．k =1且c与d 反向
C．k =-1且c与d 同向 D．k =-1且c与d 反向
x+3
3．为了得到函数y =lg 的图像，只需把函数y =lgx的图像上所有的点
10
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
4．若正四棱柱ABCD-ABC D 的底面边长为1，AB 与底面ABCD成60°角，则AC
1 1 1 1 1 1 1
到底面ABCD的距离为
3
A． B．1 C． 2 D． 3
3
p 1
5．“a= +2kp(kÎZ)”是“cos2a= ”的
6 2
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若(1+ 2)5 +a+b 2(a,b为有理数），则a+b=
第1页 | 共22页A．45 B．55 C．70 D．80
7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为
A．324 B．328 C．360 D．648
8．点P在直线l: y = x-1上，若存在过P的直线交抛物线y = x2于A,B两点，且
|PA=| AB|，则称点P为“ 点”，那么下列结论中正确的是
A．直线l上的所有点都是“ 点”
B．直线l上仅有有限个点是“ 点”
C．直线l上的所有点都不是“ 点”
D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点”
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
x x -x
9．lim =___________。
x®1 x-1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
ìx+ y-2³0
ï
10．若实数x,y满足íx£4 则s = y-x的最小值为__________。
ï
y£5
î
11．设 f(x)是偶函数，若曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点
(-1, f(-1))处的切线的斜率为______________。
x2 y2
12．椭圆 + =1的焦点为F,F ，点P在椭圆上，若|PF |=4，则|PF |=________
9 2 1 2 1 2
_；ÐFPF 的小大为____________。
1 2
ì1
, x<0
ï
ïx 1
13．若函数 f(x)=í 则不等式| f(x)|³ 的解集为____________。
1 3
ï ( )x, x³0
ïî 3
14．已知数列{a }满足：a =1,a =0,a =a ,nÎN*,则a =________；a =
n 4n-3 4n-1 2n n 2009 2014
____________。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）
第2页 | 共22页p 4
在DABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B= ，cosA= ,b= 3。
3 5
（I）求sinC的值；
（Ⅱ）求DABC的面积。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
16．（本小题共14分）
如图，在三棱锥P-ABC 中，PA^底面ABC,PA= AB,ÐABC =60°,ÐBCA=90°，
点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC
（I）求证：BC ^平面PAC ；
（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC 所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说
明理由。
17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红
1
灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min。
3
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间x的分布列及期望。
第3页 | 共22页18．（本小题共13分）
设函数 f(x)= xekx(k ¹0)
（I）求曲线y = f(x)在点(0, f(0))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f(x)的单调区间；
（Ⅲ）若函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增，求k的取值范围。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
19．（本小题共14分）
x2 y2 3
已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为 3，右准线方程为x=
a2 b2 3
（I）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O:x2 + y2 =2上动点P(x ,y )(x y ¹0)处的切线，l与双曲线C交
0 0 0 0
于不同的两点A,B，证明ÐAOB的大小为定值。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
20．（本小题共13分）
已知数集A={a ,a , a }(1£a 0，则当xÎ ç -¥,- ÷时， f 'x<0，函数 f x单调递减，
è k ø
æ 1 ö
当xÎ ç - ,+¥, ÷时， f 'x>0，函数 f x单调递增，
è k ø
æ 1ö
若k <0，则当xÎ ç -¥,- ÷时， f 'x>0，函数 f x单调递增，
è k ø
æ 1 ö
当xÎ ç - ,+¥, ÷时， f 'x<0，函数 f x单调递减，
è k ø
1
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k >0，则当且仅当- £-1，即k £1时，函数 f x在
k
-1,1内单调递增；
1
若k <0，则当且仅当- ³1，即k ³-1时，函数 f x在-1,1内单调递增，
k
综上可知，函数 f x在区间-1,1内单调递增时，k的取值范围是
-1,0 0,1
.
U
ìa2 3
ï =
ï c 3
19．（Ⅰ）由题意，得í ，解得a=1,c= 3，∴b2 =c2 -a2 =2，
c
ï
= 3
ïîa
y2
∴所求双曲线C的方程为x2 - =1.
2
（Ⅱ）点Px ,y x y ¹0在圆x2 + y2 =2上，
0 0 0 0
x
圆在点Px ,y 处的切线方程为y- y =- 0 x-x ，化简得x x+ y y =2
0 0 0 y 0 0 0
0
ì y2
ïx2 - =1
由í 2 及x2 + y2 =2得 3x2 -4 x2 -4x x+8-2x2 =0，
0 0 0 0 0
ï
x x+ y y =2
î
0 0
∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0< x2 <2，
0
第7页 | 共22页∴3x2 -4¹0，且D=16x2 -4 3x2 -4 8-2x2 >0，
0 0 0 0
设A、B两点的坐标分别为x ,y ,x ,y ，
1 1 2 2
uuur uuur
4x 8-2x2 OA×OB
则x +x = 0 ,x x = 0 ，∵cosÐAOB= ，
1 2 3x2 -4 1 2 3x2 -4 O uu A ur × O uu B ur
0 0
uuur uuur 1
且OA×OB= x x + y y = x x + 2-x x 2-x x ，
1 2 1 2 1 2 y2 0 1 0 2
0
1
= x x + é4-2x x +x +x2x x ù
1 2 2-x2 ë 0 1 2 0 1 2û
0
8-2x2 1 é 8x2 x2 8-2x2ù
= 0 + ê4- 0 + 0 0 ú
3x2 -4 2-x2 ê 3x2 -4 3x2 -4 ú
0 0 ë 0 0 û
8-2x2 2x2 -8
= 0 + 0 =0.
3x2 -4 3x2 -4
0 0
∴ ÐAOB的大小为90°.
.w.k.s.5.u.c.o.m
4
20．（Ⅰ）由于3´4与 均不属于数集1,3,4，∴该数集不具有性质P.
3
6 6 1 2 3 6
由于1´2,1´3,1´6,2´3, , , , , , 都属于数集1,2,3,6，
2 3 1 2 3 6
∴该数集具有性质P.
a
（Ⅱ）∵A=a
1
,a
2
,
L
a
n
具有性质P，∴a
n
a
n
与
a
n 中至少有一个属于A，
n
由于1£a
1
a
n
，故a
n
a
n
ÏA.
a
从而1= n ÎA，∴a =1
a 1
n
∵1=a
1
a
n
，故a
k
a
n
ÏAk =2,3,
L
,n.
a
由A具有性质P可知 n ÎAk =1,2,3, ,n.
L
a
k
a a a a a a a a
又∵ a n < a n < L < a n < a n ， ∴ a n =a 1 , a n =a 2 , L a n =a n-1 , a n =a n ，
n n-1 2 1 n n-1 2 1
第8页 | 共22页a a a a a +a + +a
从而
a
n +
a
n +
L
+
a
n +
a
n =a
1
+a
2
+
L
+a
n-1
+a
n
，∴
a-1
1
+a-
2
1+
L
+a
n
-1
=a
n
.
n n-1 2 1 1 2 L n
a a
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，有 5 =a , 5 =a ，即a =a a =a2，
a 2 a 3 5 2 4 3
4 3
a
∵1=a
1
a
2
a
4
=a
5
，∴a
3
a
4
ÏA，由A具有性质P可知
a
4 ÎA.
3
a a a a a
由a a =a2，得 3 = 4 ÎA，且1< 3 0恒成立，
∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.
2009年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
第12页 | 共22页第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
三
题号 二 总分
15 16 17 18 19 20
分数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
x x -x
9．lim =_________.
x®1 x-1
1
【答案】
W 2
【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”.
属于基础知识、基本运算的考查.
x x -1
x x -x x x -x x 1 1
lim =lim =lim =lim = ，故应填 .
x®1 x-1 x®1 x 2 -1 x®1 x -1 x +1 x®1 x +1 2 2
ìx+ y-2³0
ï
10．若实数x,y满足íx£4 则
ï
y£5
î
s = y-x的最小值为__________.
【答案】-6
【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知
. 属于基础知识、基本运算的考查.
如图，当x=4,y =-2时，
s = y-x-2-4=-6为最小值.
故应填-6.
11．设 f(x)是偶函数，若曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在
(-1, f(-1))处的切线的斜率为_________.
【答案】-1
【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的
斜率的概念. 属于基础知识、基本运算
的考查.
第13页 | 共22页取 f x= x2，如图，采用数形结合法，
易得该曲线在(-1, f(-1))处的切线的斜率为-1.
故应填-1.
x2 y2
12．椭圆 + =1的焦点为F,F ，点P在椭圆上，若|PF |=4，则|PF |=________
9 2 1 2 1 2
_；ÐFPF 的小大为__________.
1 2
【答案】2, 120°
【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.
属
于基础知识、基本运算的考查.
∵a2 =9,b2 =3，
∴c= a2 -b2 = 9-2 = 7，
∴ FF =2 7 ，
1 2
又 PF =4, PF + PF =2a =6，
1 1 2
∴ PF =2，
2
2
22 +42 - 2 7
1
又由余弦定理，得cosÐFPF = =- ，
1 2 2´2´4 2
∴ÐFPF =120°，故应填2, 120°.
1 2
ì1
, x<0
ï
ïx 1
13．若函数 f(x)=í 则不等式| f(x)|³ 的解集为____________.
1 3
ï ( )x, x³0
ïî 3
【答案】-3,1
【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.
属于基础知识、基本运算的考查.
ìx<0
1 ï
（1）由| f(x)|³ Þí 1 1Þ-3£ x<0.
3 ³
ï
î x 3
第14页 | 共22页ìx³0 ìx³0
1 ï ï
（2）由| f(x)|³ Þíæ1ö x 1Þíæ1ö x 1 Þ0£ x£1.
3 ïç ÷ ³ ïç ÷ ³
î
è3ø 3 îè3ø 3
1
∴不等式| f(x)|³ 的解集为x|-3£ x£1，∴应填-3,1.
3
14．已知数列{a }满足：a =1,a =0,a =a ,nÎN*,则a =________；
n 4n-3 4n-1 2n n 2009
a =_________.
2014
【答案】1，0
【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.
依题意，得a =a =1，a =a =a =a =0.
2009 4´503-3 2014 2´1007 1007 4´252-1
∴应填1，0.
三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）
p 4
在DABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B= ，cosA= ,b= 3.
3 5
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求DABC的面积.
【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等
基础知识，主要考查基本运算能力．
p 4
（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且B= ,cosA= ，
3 5
2p 3
∴C = -A,sinA= ，
3 5
æ2p ö 3 1 3+4 3
∴sinC =sin ç -A ÷ = cosA+ sin A= .
è 3 ø 2 2 10
3 3+4 3
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA= ,sinC = ，
5 10
p
又∵B= ,b= 3，
3
∴在△ABC中，由正弦定理，得
bsinA 6
∴a= = .
sinB 5
1 1 6 3+4 3 36+9 3
∴△ABC的面积S = absinC = ´ ´ 3´ = .
2 2 5 10 50
16．（本小题共14分）
如图，在三棱锥P-ABC 中，PA^底面ABC,PA= AB,ÐABC =60°,ÐBCA=90°，
第15页 | 共22页点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC
（Ⅰ）求证：BC ^平面PAC ；
（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC 所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查
空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又ÐBCA=90°，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
1
∴DE = BC ，
2
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
1
∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD= AB，
2
1
∴在Rt△ABC中，ÐABC =60°，∴BC = AB.
2
DE BC 2
∴在Rt△ADE中，sinÐDAE = = = ，
AD 2AD 4
2
∴AD与平面PAC 所成的角的大小为arcsin .
4
（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AEÌ平面PAC，PEÌ平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴ÐPAC =90°.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时ÐAEP=90°，
故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角.
【解法2】如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，
设PA=a，由已知可得
æ 1 3 ö æ 3 ö
A0,0,0,Bç- a, a,0÷,Cç0, a,0÷,P0,0,a.
ç ÷ ç ÷
2 2 2
è ø è ø
第16页 | 共22页uuur uuur æ1 ö
（Ⅰ）∵AP=0,0,a,BC = ç a,0,0 ÷，
è2 ø
uuur uuur
∴BC×AP=0，∴BC⊥AP.
又∵ÐBCA=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，
æ 1 3 1 ö æ 3 1 ö
∴Dç- a, a, a÷,Eç0, a, a÷，
ç ÷ ç ÷
4 4 2 4 2
è ø è ø
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
uuur æ 1 3 1 ö uuur æ 3 1 ö
∵AD=ç- a, a, a÷,AE =ç0, a, a÷，
ç ÷ ç ÷
4 4 2 4 2
è ø è ø
uuur uuur
AD×AE 14
∴cosÐDAE = = .
uuur uuur
AD × AE 4
14
∴AD与平面PAC 所成的角的大小为arccos .
4
（Ⅲ）同解法1.
17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红
1
灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min.
3
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间x的分布列及期望.
【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型
随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.
（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价
于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件
æ 1ö æ 1ö 1 4
A的概率为PA= ç 1- ÷ ´ ç 1- ÷ ´ = .
è 3ø è 3ø 3 27
（Ⅱ）由题意可得，x可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.
事件“x=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k =0，1，2，3，4）
，
k 4-k
æ1ö æ2ö
∴Px=2k=Ck
ç ÷ ç ÷
k =0,1,2,3,4，
4 è3ø è3ø
第17页 | 共22页∴即x的分布列是
0 2 4 6 8
x
P 16 32 8 8 1
81 81 27 81 81
16 32 8 8 1 8
∴x的期望是Ex=0´ +2´ +4´ +6´ +8´ = .
81 81 27 81 81 3
18．（本小题共13分）
设函数 f(x)= xekx(k ¹0)
（Ⅰ）求曲线y = f(x)在点(0, f(0))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f(x)的单调区间；
（Ⅲ）若函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增，求k的取值范围.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综
合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ） f 'x=1+kxekx, f '0=1, f 0=0,
曲线y = f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y = x
1
（Ⅱ）由 f 'x=1+kxekx =0，得x=- k ¹0，
k
æ 1ö
若k >0，则当xÎ ç -¥,- ÷时， f 'x<0，函数 f x单调递减，
è k ø
æ 1 ö
当xÎ ç - ,+¥, ÷时， f 'x>0，函数 f x单调递增，
è k ø
æ 1ö
若k <0，则当xÎ ç -¥,- ÷时， f 'x>0，函数 f x单调递增，
è k ø
æ 1 ö
当xÎ ç - ,+¥, ÷时， f 'x<0，函数 f x单调递减，
è k ø
1
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k >0，则当且仅当- £-1，即k £1时，函数 f x在
k
-1,1内单调递增；
第18页 | 共22页1
若k <0，则当且仅当- ³1，即k ³-1时，函数 f x在-1,1内单调递增，
k
综上可知，函数 f x在区间-1,1内单调递增时，k的取值范围是
-1,0 0,1
.
U
19．（本小题共14分）
x2 y2 3
已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为 3，右准线方程为x=
a2 b2 3
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O:x2 + y2 =2上动点P(x ,y )(x y ¹0)处的切线，l与双曲线
0 0 0 0
C交于不同的两点A,B，证明ÐAOB的大小为定值.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方
程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
ìa2 3
ï =
ï c 3
（Ⅰ）由题意，得í ，
c
ï
= 3
ïîa
解得a=1,c= 3，
∴b2 =c2 -a2 =2，
y2
∴所求双曲线C的方程为x2 - =1.
2
（Ⅱ）点Px ,y x y ¹0在圆x2 + y2 =2上，
0 0 0 0
x
圆在点Px ,y 处的切线方程为y- y =- 0 x-x ，
0 0 0 y 0
0
化简得x x+ y y =2
0 0
ì y2
ïx2 - =1
由í 2 及x2 + y2 =2得 3x2 -4 x2 -4x x+8-2x2 =0，
0 0 0 0 0
ï
x x+ y y =2
î
0 0
∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0< x2 <2，
0
∴3x2 -4¹0，且D=16x2 -4 3x2 -4 8-2x2 >0，
0 0 0 0
第19页 | 共22页设A、B两点的坐标分别为x ,y ,x ,y ，
1 1 2 2
4x 8-2x2
则x +x = 0 ,x x = 0 ，
1 2 3x2 -4 1 2 3x2 -4
0 0
uuur uuur
OA×OB
∵cosÐAOB= ，
uuur uuur
OA × OB
uuur uuur 1
且OA×OB= x x + y y = x x + 2-x x 2-x x ，
1 2 1 2 1 2 y2 0 1 0 2
0
1
= x x + é4-2x x +x +x2x x ù
1 2 2-x2 ë 0 1 2 0 1 2û
0
8-2x2 1 é 8x2 x2 8-2x2ù
= 0 + ê4- 0 + 0 0 ú
3x2 -4 2-x2 ê 3x2 -4 3x2 -4 ú
0 0 ë 0 0 û
8-2x2 2x2 -8
= 0 + 0 =0.
3x2 -4 3x2 -4
0 0
∴ ÐAOB的大小为90°.
.w.k.s.5.u.c.o.m
【解法2】
（Ⅰ）同解法1
（Ⅱ）点Px ,y x y ¹0在圆x2 + y2 =2上，
0 0 0 0
x
圆在点Px ,y 处的切线方程为y- y =- 0 x-x ，
0 0 0 y 0
0
化简得x x+ y y =2.
0 0
ì y2
ïx2 - =1
由í 2 及x2 + y2 =2得
0 0
ï
x x+ y y =2
î
0 0
3x2 -4 x2 -4x x+8-2x2 =0 ①
0 0 0
3x2 -4 y2 -8y x-8+2x2 =0 ②
0 0 0
∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，∴3x2 -4¹0，
0
设A、B两点的坐标分别为x ,y ,x ,y ，
1 1 2 2
第20页 | 共22页8-2x2 2x2 -8
则x x = 0 ,y y = 0 ，
1 2 3x2 -4 1 2 3x2 -4
0 0
uuur uuur
∴OA×OB= x x + y y =0，
1 2 1 2
∴ ÐAOB的大小为90°.
（∵x2 + y2 =2且x y ¹0，∴0< x2 <2,0< y2 <2，从而当3x2 -4¹0时，
0 0 0 0 0 0 0
方程①和方程②的判别式均大于零）.
20．（本小题共13分）
已知数集A=a ,a , a 1£a a
n
，故a
n
a
n
ÏA.
a
从而1= n ÎA，∴a =1
a 1
n
∵1=a
1
a
n
，故a
k
a
n
ÏAk =2,3,
L
,n.
a
由A具有性质P可知 n ÎAk =1,2,3, ,n.
L
a
k
第21页 | 共22页a a a a
又∵ n < n <
L
< n < n ，
a a a a
n n-1 2 1
a a a a
∴ a n =a 1 , a n =a 2 , L a n =a n-1 , a n =a n ，
n n-1 2 1
a a a a
从而 n + n + + n + n =a +a + +a +a ，
a a L a a 1 2 L n-1 n
n n-1 2 1
a +a + +a
∴ 1 2 L n =a .
a-1+a-1+ +a-1 n
1 2 L n
a a
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，有 5 =a , 5 =a ，即a =a a =a2，
a 2 a 3 5 2 4 3
4 3
∵1=a
1
a a =a ，∴a a ÏA，
3 4 2 4 5 3 4
a
由A具有性质P可知 4 ÎA.
a
3
a a a a a
由a a =a2，得 3 = 4 ÎA，且1< 3
