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湖南省名校联盟联考2025-2026学年高三上学期11月质量检测数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2． ，若 ，则复数 为（ ）
A．2 B． C．2或 D．4
3．若 ，则 的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．10 D．
4．若 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．某校对全校1000名学生的物理成绩进行统计，分成 ， ， ， ， ，
，得到如图所示的频率分布直方图，若学校对成绩排名前15%的学生进行表彰，则被表彰的学生
的物理成绩最低分数为（ ）
A．86分 B．87.5分 C．88分 D．88.5分
6．已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
7．函数 （ ， ），若 在 上恒成立，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知数列 的前 项和为 ，且 .若 对任意的正整数 恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
二、多选题
9．已知随机变量 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．存在 ，使得
10．已知函数 ，则（ ）
A．函数 为偶函数
B．函数 的增区间为 ，减区间为
C．函数 的值域为
D．若 ，则实数 的取值范围为
11．已知函数 的定义域为 ，其导数 满足 ，则（ ）
A． B．C． D．
三、填空题
12．已知非零向量 ， 的夹角为 ，其中 ，且满足 ，则 .
13．已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，则 .
14．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过左焦点 的直线与双曲线C的左
支相交于P，Q两点， ，且 ，则双曲线C的离心率为 ．
四、解答题
15．已知函数 ，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差 ．
(1)求 的解析式，并求 的单调递减区间；
(2)求 在区间 上的值域．
16．已知 所对的边分别为 ， ， ，且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， ，求 .
17．数列 满足 ， .
(1)证明：数列 是等比数列；(2) ，求数列 的前 项和 .
18．如图，在四棱台 中， 底面 ，底面 是边长为2的正方形， ，
点 为线段 上的动点，棱台的体积为 .
(1)求 的长；
(2)若 平面 ，请确定点 的位置；
(3)求平面 与平面 的夹角的余弦值的最大值.
19．已知函数 .
(1)若 单调递增，求 的取值范围；
(2)已知 ，且 .
（i）若 ，证明： ；
（ii）证明： .参考答案
1．B
【详解】由集合 ，
因为 ，可得 ，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围 .
故选：B.
2．A
【详解】 ，
，
，
，
，
．
故选：A．
3．C
【详解】 ， ，对 进行变形可得 ，
根据基本不等式，得 ，
当且仅当 时即 等号成立，
当 时， 取得最小值为 .
故选： .
4．D
【详解】根据对数函数的单调性可知： ，， ，
根据指数函数的单调性可知： ，
所以有 ，
故选：D.
5．B
【详解】因为 的频率为 ， 的频率为 ，
设被表彰的学生的物理成绩最低分数为 ，
由题意可得 ，解得 .
故选：B
6．B
【详解】由题意得
，故B正确.
故选：B
7．C
【详解】令 ，则 ，
则当 时， ，当 ， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，当 时， ，当 时， ，
故 有两个零点 、 ；
由 在 上恒成立，
则 时，需 ， 时，需 ，又 在 上单调递减，在 上单调递增，
则当 、 为 与 的公共零点时，有 在 上恒成立，
则有 ，且有 ，
则 .
故选：C.
8．B
【详解】因为 ，
所以当 时， ；
当 时， ，
所以数列是以 为公比， 为首项的等比数列，
所以 ，若 对任意的正整数 恒成立，
则 对任意的 恒成立，所以 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ，
所以 ，所以对任意正整数 ， ，
又 ，所以 .所以实数 的最小值为 .
故选：B
9．ABC
【详解】对于A， ，故A正确；
对于B， ， ，
若 ，则 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ，解得 ，故B正确；
对于C，若 ，则 ，故C正确；
对于D， ，
当且仅当 时， 有最大值为 ，故D错误.
故选：ABC
10．ABD
【详解】对于A选项，函数 的定义域为 ，
由 ，有 ，
可得函数 为偶函数，故A选项正确；
对于B选项，当 时， ，
由函数 在 上单调递增， 在 上单调递增，
可得函数 在 上单调递增（复合函数的单调性），又由函数 为偶函数，可得函数 的增区间为 ，减区间为 ，
故B选项正确；
对于C选项，当 时，由 ，得 ，有 ，
可得 ，
又由函数 为偶函数，可得函数 的值域为 ，故C选项错误；
对于D选项，由 及函数 是偶函数，
且函数 的增区间为 ，减区间为 ，
，可得 ，故D选项正确．
故选：ABD.
11．AC
【详解】构造辅助函数 ，求导得 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增.
所以 ，所以 ，即 ，所以A正确；
根据单调性有 ，所以 ，即 ，所以B错误；
因为 ，所以 ，则有
，即 ，所以C正确；
根据单调性有 ， ，即 ，所以D错误.
故选：AC.
12．【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 为非零向量，所以 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：
13．
【详解】由等差数列性质，可得 ， ，
则 ， ，从而 .
又 ，则 .
故答案为：
14． /
【详解】
设 ，则有 ，
又由 ，有 ，在 中，由余弦定理有 ，可得 ，
在 中，由余弦定理有 ，可得 ．
故答案为： .
15．(1) ，
(2)
【详解】（1） 函数 的图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差 ，
，解得 ， ， ，
，
的单调递减区间为：，
，解得 ，
的单调递减区间为： ．
（2） ， ，
令 ，则 ，在 上，由正弦函数的性质可知：
当 时，函数单调递减，当 时，函数单调递增，当 时， 取得最小值，最小值为 ；
当 时， 取得最大值，最大值为 ．
在区间 上的值域为 ．
16．(1)
(2)
【详解】（1）根据正弦定理，由 可得 ，
， ，
故上式化为 ，
又 ， ， ，
故化为 ，即 ，
提公因式，得 ，
又 ， ， ， ，
.
（2） 的面积为 ， ，
由（1）可知 ， ，
再根据余弦定理 可得， ，
又 ， ，即 ，解得 .
17．(1)证明见解析；(2) .
【详解】（1）由 可得： ，
因为 ，所以数列 是等比数列，首项和公比均为 ；
（2）由（1）得 ，
因为 ，所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得： ，
所以 ，
则
.
18．(1)2；
(2)点 的位置为靠近 的4等分点；
(3)
【详解】（1）底面 是边长为2的正方形， ，
A B C D
1 1 1 1
故底面 是边长为1的正方形，A B C D
1 1 1 1
所以底面 的面积为 ，底面 的面积为 ，
底面 ，故 为棱台 的高，
故棱台的体积为 ，解得 ；
（2）因为 底面 ， 平面 ，
所以 ， ，
又 ，故 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
由（1）知，
则 ，
设 ， ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ， ，
所以 ，
因为 平面 ，所以 ，解得 ，此时 ，点 的位置为靠近 的4等分点；
（3） ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，故 ，
由（2）知，平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
令 ，
则 ，因为 ，故当 ，即 时， 取得最大值，
最大值为 .
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）由题意得定义域 ， ，
即 恒成立.
设 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时， 取得极小值，也是最小值， ，
所以 .
（2）（i）不妨设 ，则 ，
则由 ，知 ，所以 ，
设 ，
所以 单调递增， ，
所以 ，即 .
（ii）由（1）可知，当 时， ，
所以 ，即当 时， ，由 ，得 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 .
