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2025 年 12 月高三联考 强化卷
数 学
1 B 【深度解析】设复数z a b a b R 则z z a b a q
. = + i( , ∈ ), +2 = + i+2( - 1 a 1 1 1 1 1 1 1 q
b a b 所以
{a
=2, 则z .故选B.
a
3
=14, 2=
4
,∴ a
q 2
+a
2
+a
2
q=a
2
+a
2
+a
2
· q =14,∴ 2 +2+
i)=3 - i=6+i,
b
=2-i
=-1,
( H 2 提示:等式两边同时除以 即 q2 q 解得q 或
2.A 【深度解析】 函数关系式v2 4 的左右两边都出现了v, q =7( 2), 2 -5 +2=0, =2
= Hv2
1-
) H q 1 .当q 时 a 1 a 1 a 1 当q 1 时 a 1 a
因为要求H的最值,所以要用 v 表示 H 由 v2
=
4
Hv2
可知 v2
-
=
2
=2 , 1=
8
, 2=
4
, 3=
2
; =
2
, 1=
2
, 2=
1-
Hv4
=4
H
,
且v
>0,1-
Hv2
≠0,
故H
=v4
v2
=
1
≤
1
=
1
, 4
1
,
a
3=
8
1
,∴
S
3=
2
1
+
4
1
+
8
1
=
8
7 .故选A.
+4 v2 +v 4 2 2 v2 ·v 4 2 4 7.D 【深度解析】由题可得 , A (-1,1), B (3,3), 且线段AB为 ☉ M的
( )
直径 所以圆心M -1+3 1+3 即M 圆的半径r 1 AB
当且仅当v2 4 即v 时 等号成立 所以该类昆虫的最大跳跃 , , , (1,2), = | |=
=v2, = 2 , , 2 2 2
高度为 0 . 25 米.故选A. 1 (-1-3) 2 +(1-3) 2 = 5, 画图可知两条切线的斜率均存在 , 设
3.B 【深度解析】由 x2 x 解得 x 或 x . 设 A a 2
+3 -10>0, <-5 >2 =[ , 切线方程为 y k x 即 kx y k 由相切可得
B 则由p是q成立的充分不必要条 +1= ( -2), - -1-2 =0,
+∞), =(-∞,-5)∪(2,+∞), k
件 , 得A ⫋ B ( 关键:根据充分不必要条件的定义将不等式解集和区 |- -1- k2 2| = r = 5, 化简得 2 k2 -3 k -2=0, 由根与系数的关系可得
1+
间的关系转化为两集合间的关系 所以a 所以a的取值范围
), >2,
k k 3 .故选D.
是
(2,+∞)
.故选B. 1+ 2=
2
4.B 【深度解析】已知圆O 和圆O 的半径分别为r r 由
1 2 1=3, 2=1,
题意得 O O r r 则 O→A O→B O→O O→A
| 1 2|= 1- 2=3-1=2, 1 · 1 =( 1 2+ 2 )·
O→O O→B O→O O→A O→O O→A O→O 2 O→A 2
( 1 2+ 2 )=( 1 2+ 2 )·( 1 2- 2 )= | 1 2| -| 2 | =
.故选B.
3
5.B 【深度解析】由题意知 该
,
正四棱台的上 下底面分别是
、
边长为 的正方形且高为
1,4 2,
则上 下底面正方形的对角线
、
8.A 【深度解析】由a a -2 2 025 两边同时取自然对数 得 a a -2
长度分别为 该棱台的 e =e , , ln( e )=
2,4 2,
( ln e 2 025 , 即 ln a +ln e a -2 =ln e 2 025 ⇒ln a + a =2 027 .由b (ln b -2)=
体积V 1 提示:棱台的体积公式V
= ×(1+ 1×16+16)×2=14 = 2 029 两边同时取自然对数 得 b b 2 029 即 b
3 e , , ln[ (ln -2)]=ln e , ln +
b b b .令f x x
1 (S2 S S S2) h,其中 S ,S 分别为棱台的上、下底面面 ln(ln -2)=2029⇒(ln -2)+ln(ln -2)=2 027 ( )=ln +
3
× 1+ 1 2+ 2 × 1 2
x x 则f x 在 上单调递增 所以方程f x 有唯
, >0, ( ) (0,+∞) , ( )=2 027
积,h为棱台的高
)
. 又该棱台的侧棱长为 2
(
4 2- 2
)
2 一解 , 所以a =ln b -2, 则ab =(ln b -2) b =e 2 029.故选A.
2 + =
2 (
9.BC 【深度解析】对于 由题图可知 7π φ k k Z 易
34 所以斜高为 ( 34 ) 2 ( 4-1 ) 2 5 关键:根据正四棱台 A, 2× 6 + =2 π, ∈
, - = (
2 2 2 2 错:观察图象可知,x 7π是函数 f(x)图象的上升零点,因此
的结构特征可知,求表面积时需要结合棱台侧面的高来求,所以关 = 2×
6
)
键是解出斜高 所以该棱台的表面积S 1 7π φ k ,k Z不准确 所以φ 7π k k Z.又 φ
), =1+16+4× ×(1+4)× + = π ∈ , =- +2 π, ∈ | |<π,
2 6 3
V
5 所以 1 .故选B. 所以φ π 故A错误;
=42, S = =- ,
2 3 3
( )
6.A 【深度解析】设等比数列 a 的公比为q q 1 1 对于 由 选项的分析知f x x π 则由 x π k
{ n} ( ≠0),∵ a + a + B, A ( )=sin 2 - , 2 - = π+
1 2 3 3
D 1k 3 使得f′ a f′ c 提示:已知函数的二阶导数,利用该
π k Z 得x π 5π k Z 当k 时 x 5π 所以f x 图 e ), ( )= ( )= 0(
( ∈ ), = + ( ∈ ), =0 , = , ( )
2 2 12 12 信息判断一阶导数的取值情况,主要是判断其正负,但是由于导
象关于直线x 5π对称 故B正确; 函数形式较为复杂,所以可以利用卡根法确定其零点所在的区
= ,
12
间 故x a c 时 f′ x x a c 时
), ∈(0, )∪(1, ) , ( )<0, ∈( ,1)∪( ,+∞) ,
对于 将函数f x 图象上所有点的横坐标变为原来的 1 纵坐标
C, ( ) , f′ x 所以函数f x 在 a c 上单调递减 在 a
2 ( )>0, ( ) (0, ),(1, ) , ( ,1),
( ) ( c 上单调递增 故f x 有四个单调区间 且存在最小值 最
不变 得函数y x π 的图象 易错:在伸缩变换时,易错 ( ,+∞) , ( ) , ,
, =sin 4 -
3 小值为 f a f c 故A,B正确.
min{ ( ),( )},
( ) )
误得到y x π ,从而误认为 错误 故C正确; 对于 由 分析知 f x 存在三个极值点 a c 因为
=sin - C , C,D, A,B ( ) ,1, ,
3 ( ) (
( ) f′ 1 1 x x f′ x 关键:得到 f′(x)的性质,即
对于 因为函数g x x π 的最小正周期T 2π π 区 x = x - +4ln =- ( )
D, ( )=sin 4 - = = ,
3 4 2 ( ) )
间 的长度为 即 个周期 则由正弦型函数性 f′ 1 f′(x) 又f′ a f′ c 所以a 1 即ac
[2025π,2026π] π, 2 , x =- , ( )=- ( )= 0, = c , =1,
质知函数g x 在 上不单调 故D错误.故选BC.
( ) [2025π,2026π] , 所以a c成等比数列 故C错误 D正确.故选ABD.
,1, , ,
10.ACD 【深度解析】对于 若m 则a c b
A, =1, - =(-1,1), =(1,1), ( ) [( ) ]
12. 1 【深 度 解 析】 α π α π π
则 a c b 所以 a c b 故A正确. cos + = sin + + =
( - )· =-1×1+1×1=0, ( - )⊥ , 3 3 3 2
( )
对于 若a b 则 2 m 解得m 2 故B错误. α 5π 1 .
B, ∥ , m -4 =0, =± , sin + =
2 6 3
a c
对于 a 在 c 上的投影向量为 · c 2×3+4×3c c 故 C 13.7- 15 【深度解析】设两铁球半径为r 球心分别为O O .若
C, c 2· = 2 2 = , , 1, 2
| | 3 +3 4
正确. 要使半径最大 则两个铁球需与容器的表面相切 且两个铁球也
, ,
( ) 相切.
对于 因为b c m 1
D, - = -3,m -3 ,
解法一 将O O 分别看作一个新的长方体的体对角线的两个
: 1, 2
( )
所以 | b - c |= ( m -3) 2 + m 1 -3 2 顶点 , 新长方体的底面是边长为 2-2 r的正方形 , 高为 3-2 r ,
所以 r 2 r 2 r 2 r 2 得 r2 r 解得
(2 ) =(2-2 ) +(2-2 ) +(3-2 ) , 8 -28 +17=0,
( ) ( )
m 1 2 m 1 { r
= + m -6 + m +16, r 7± 15 又因为新长方体需要满足 2-2 >0,即 r 所以 r
= , r <1, =
4 3-2 >0,
令t m 1 m . 当 m 时 由基本不等式有 t m 1
= + m, ≠0 >0 , , = + m ≥
7- 15.所以铁球半径的最大值为7- 15.
4 4
m 1 当且仅当m 时取等号 当m 时 t m 1
2 ·m =2, =1 ; <0 , = + m = 解法二 如图 作出截面 DBB D B D BD
: , 1 1, 1 1,
( ) 分别为正四棱柱上 下底面互相平行的对角
m 1 m 1 当且仅当m 时取等号 则 、
- - + m ≤-2 - · m=-2, =-1 ,
- - 线 BB 为高 过O 作垂直于BD的直线 过
, 1 , 2 ,
b c t2 t t 2 t 或t 所以当t O 作平行于BD 的直线 两直线相交于 M
| - |= -6 +16= ( -3) +7( ≥2 ≤-2), =3 1 , ,
时 b c 有最小值 故D正确.故选ACD. 连接 O O 在 O MO 中 MO
,| - | 7, 1 2, Rt△ 1 2 , 1 =2 2-
11.ABD 【深度解析】对于 A,B, 由题可得 , 函数 f ( x ) 的定义域为 2 2 r , MO 2= 3-2 r , 由 MO2 1+ MO2 2 = O 1 O2 2, 可得 (2 2-2 2 r ) 2 +
x
f′ x x x 4 +1 x x 1 .令 g x x
(0,+∞), ( )= +4-4ln - x = -4ln - x ( )= - r 2 r 2 整理得 r2 r 解得r 7± 15 又因为
(3-2 ) =(2 ) , 8 -28 +17=0, = ,
4
x 1 x 则g′ x
x2
-4
x
+1 令g′ x 解得x { r
4ln - x ( >0), ( )= x2 , ( )=0, =2- 3 2 2-2 2 >0,即r 所以r 7- 15.所以铁球半径的最大值
<1, =
r 4
或x .当x 时 g′ x g x 单调递增 当x 3-2 >0,
=2+ 3 ∈(0,2- 3) , ( )>0, ( ) ; ∈
时 g′ x g x 单调递减 当x 为7- 15.
(2- 3,2+ 3) , ( )<0, ( ) ; ∈(2+ 3,+∞)
4
时 g′ x g x 单调递增 所以函数f′ x 在 ( ( )
, ( )>0, ( ) , ( ) (0,2- 3),(2+ 14. 【深度解析】 对于函数f(x) x3 x πx φ ,其单调性
( ) 1 = -3 +sin +
上单调递增 在 上单调递减.又f′ 1 2
3,+∞) , (2- 3,2+ 3) 3 < 以及最值通过求导很难直接解出,所以需要考虑将其分解为两个
e
( ) ( )
0, f′ (1)= 0, f′ (e 3 )>0, 所以存在 a ∈ 1 3,2- 3 , c ∈(2+ 3, 易分析的函数,分别为g(x) = x3 -3 x和y =sin πx + φ ,分别分析
e 2
D 2) 当n 时 a S a a .
其单调性及最值的取得情况,再综合看整体的单调性及最值 令 =1 ,3 2-6 1=3 2-6 1=1×2×3=6
a a 解得a
∵ 1=1,∴3 2-6=6, 2=4,
g
(
x
)=
x3
-3
x
(
x
∈[- 3, 3]),
则g′
(
x
)=3
x2
-3=3(
x
-1)(
x
+1), 此时 a 2 a 1 也满足 a n +1 a n 易错:利用S S a 将含
当x ∈[- 3,-1)∪(1, 3] 时 , g′ ( x )>0, 函数g ( x ) 单调递增 ; 当 2 - 1 =1, n +1 - n =1( n- n -1= n
a ,S 的关系式转化为含a ,a 的关系式求a 时,要注意检验
x 时 g′ x 函数g x 单调递减.又g n n n n n
∈(-1,1) , ( )<0, ( ) (-1)=-1+3= +1 +1
n 的情况 分
g 3 所以g x x3 x在x 上 =1 ),………………………………………………… 6
2, ( 3)=( 3) -3 3=0, ( )= -3 ∈[- 3, 3]
{a } a
( 数列 n 是以 1 为首项 为公差的等差数列
的最大值为 所以 φ R 当 x 时 使 π x ∴ n =1 ,1 ,
2, ∃ ∈ , ∈[- 3, 3] , sin + 1
2
φ ) 的最小值为 -1, 所以当x ∈[- 3, 3] 时 ,∃ φ ∈ R , 使得f ( x ) ∴ a n n =1+( n -1)·1= n , 即a n= n2. ………………………… 8 分
【证明】第一步:先将不等式放缩,再裂项
的最大值为 故a 因此a的最小值为 . (2)
1, ≥1, 1
当n 时 1 分
15. π 分 分 =1 ,a =1, …………………………………………… 9
(1) (6 ) (2)4+2 6(7 )
3 1
【解】 第一步:利用正弦定理边角互化得 A 当n 时 1 1 1 1 1 分
(1) tan = 3 ≥2 ,a
n
=n20, 所以 tan A = 3, ………………………………… 4 分 ∴ a 1 + a 2 + a 3 +…+ a n =1+ 2 2 + 3 2 +…+ n2 ≤1+ 1- 2 +
( ) ( )
第二步:求出角A 1 1 1 1 1 1 . 分
- +…+ n - n =1+1- n =2- n <2 ……… 15
2 3 -1
由于 A 则A π. 分
0< <π, = ……………………………………… 6
3 17. 证明见解析 分 3 231 分 4 分
(1) (4 ) (2)(i) (6 ) (ii) (5 )
77 5
(2) 第一步:由S △ ABC= S △ ABD+ S △ ADC 得 3 bc = 2 2(b + c) (1) 【证明】第一步:由线面垂直的性质证PA ⊥ BC
3
因为PA 平面ABCD BC 平面ABCD 所以PA BC. 分
因为S
△
ABC= S
△
ABD+ S
△
ADC, ⊥ , ⊂ , ⊥ …… 1
第二步:利用线面垂直的判定定理证BC 平面PAC
⊥
所以 1 bc BAC 1 c AD BAD 1 b AD CAD
sin∠ = · ·sin∠ + · ·sin∠ , 又BC AC AC PA 平面PAC AC PA A 分
2 2 2 ⊥ , , ⊂ , ∩ = , ……………… 2
所以BC 平面PAC. 分
即 bc 2 2 b c 分 ⊥ ………………………………………… 3
3 = ( + )①, ………………………………………… 8
3
第三步:利用面面垂直的判定定理证结论
第二步:利用余弦定理得到a2
=
(b
+
c)2
-3
bc
又BC 平面PBC 所以平面PBC 平面PAC. 分
⊂ , ⊥ …………… 4
由余弦定理得 a2 = b2 + c2 -2 bc cos∠ BAC = b2 + c2 - bc =( b + c ) 2 - 【解】 第一步:建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标与
(2) (i)
bc 分
3 =16②,…………………………………………………… 10 相关向量的坐标
第三步:两个式子联立求出b c的值
+ 在四边形 ABCD 中 因为 AB DC BC
, ∥ , ⊥
由 ①② 联立得 3( b + c ) 2 -2 6( b + c )-48=0, AC BC CD AB AD 所以
, =2, =3, =4, = 3,
AD AB.
解得b c 或b c 4 6 舍去 . 分 ⊥
+ =2 6 + =- ( ) ……………………… 12
3 以A为坐标原点 AB AD AP所在直线分
, , ,
第四步:求出 ABC的周长
△ 别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间
、 、
所以a b c 即 ABC的周长为 . 分
+ + =4+2 6, △ 4+2 6 ………… 13 直角坐标系 分
, ……………………… 5
16.
(1)
a
n=
n2
(8
分
) (2)
证明见解析
(7
分
) 因为BC 平面PAC PC 平面 PAC 所以 BC PC 所以 PBC
⊥ , ⊂ , ⊥ , △
【解】第一步:利用a 与S 的关系,得出a 与a 的关系式
(1) n n n n +1 与 PBA均为直角三角形 又 P A B C 在同一球面上 球心为
△ , , , , ,
na S n n n
∵3 n +1-6 n= ( +1)( +2),① O 所以O为PB的中点 提示:若棱锥的顶点可构成共斜边的直
, (
当n 时 n a S n n n
∴ ≥2 ,3( -1) n-6 n -1=( -1) ( +1),② 角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心
),
得na n a n n 分
①-②, n +1-( +1) n= ( +1),………………………… 2
易知B C P D O
a a (4,0,0), (3, 3,0), (0,0,4), (0, 3,0), (2,0,2),
两边同时除以n n 得 n +1 n n . 分 分
( +1), n - n =1( ≥2) …………… 4 …………………………………………………………… 6
+1
{a } 所以D→O P→B B→C .
第二步:判断 n 为等差数列,求{a }的通项公式 =(2,- 3,2), =(4,0,-4), =(-1, 3,0)
n n
分
…………………………………………………………… 7
D 3第二步:求平面PBC的法向量 【证明】解法一 第一步:由等腰三角形的性质求AD,DE
(2)(i) :
设平面PBC的法向量为n x y z 在等腰三角形ABD中 AB BD
=( , , ), , = =1,
{P→B n { x z 则AD BD α α.
· =0, 4 -4 =0, =2 ·cos =2cos
则 即 令x 得y 3 z 所以 n
B→C · n =0, - x + 3 y =0, =1, = 3 , =1, = 在等腰三角形 ADE 中 , AD = AE , 则 DE =2 AD ·cos( α + β )=
( ) α α β . 分
4cos cos( + ) ……………………………………………… 7
3 . 分
1, ,1 …………………………………………………… 8 第二步:结合( )证结论
3 1
第三步:由空间夹角公式求结果 由 知 CE BC BCD DC 2 BCD 2γ
(1) , =2 ·cos∠ =4 ·cos ∠ =4cos ,
设DO与平面PBC所成的角为θ 分
, ……………………………………………………………… 10
所以DE DC CE 2γ
n D→O 3 = - =1-4cos ,
则 sin θ = | cos〈 n , D→O 〉 | =
|
n
|
·
·|
D→O
|
= 7
· 11
= 所以 1-4cos 2γ =4cos α cos( α + β ) . ………………………… 11 分
3 解法二 第一步:由余弦定理求出DE表达式
:
3 231. 分 设AD AE x BC BE y
……………………………………………………… 10 = = , = = ,
77
第一步:求向量A→O,A→N 在 ABD中 由余弦定理可知 α
x2
+1-1
x
方法:已知三
(ii) △ , cos = x = (
2 2
( )
因为N为PC的中点 , 所以N 3 , 3 ,2 , 边求角时选用余弦定理 ) .
2 2 x2 DE2 x2 DE
( ) 在 ADE中 由余弦定理可知 α β + - 所以
△ , cos( + )= x DE = x,
又A 所以A→O A→N 3 3 . 2 · 2
(0,0,0), =(2,0,2), = , ,2
2 2 α α β DE. 分
4cos ·cos( + )= ……………………………………… 7
第二步:求向量A→H
第二步:由正弦定理求CE表达式
由 知P→D →AP 在 BCD中 有β γ
(i) =(0, 3,-4), =(0,0,4), △ , +2 =π,
所以A→H →AP λP→D λ λ λ . y β γ γ γ
= + =(0,0,4)+ (0, 3,-4)=(0, 3 ,4(1- )) 由正弦定理得 1 得 y sin sin2 2sin cos
, β= γ, = γ= γ = γ =
分 sin sin sin sin sin
…………………………………………………………… 11
γ 方法:已知两角及一角所对边求另一边时选用正弦定
第三步:根据四点共面建立等量关系求λ的值 2cos (
理 .
因为H A O N四点共面 所以存在实数a b使得A→H aA→O bA→N )
, , , , , = +
CE y y β
关键:根据四点共面建立向量间的关系 分 在 BCE 中 由正弦定理得 得 CE sin
( ), ……………… 12 △ , , β = γ, = γ =
( ) sin sin sin
即 λ λ a b 3 3 γ γ γ γ γ
(0, 3 , 4 (1 - )) = (2, 0, 2) +
2
,
2
,2 = 2cos ·
γ
sin2
=
2cos ·2s i
γ
n cos
=4cos
2γ.
…………… 10
分
sin sin
( )
a 3 b 3b a b 分
第三步:证结论
2 + , ,2 +2 , …………………………………… 13
2 2 由题可知 CE DE
1- = ,
ì
ï
ï0=2
a
+
3 b
,
所以
1-4cos
2γ
=4cos
α
cos(
α
+
β
)
成立.
…………………… 11
分
2
ï 【解】第一步:利用三角恒等变换公式求 ( α β)的值
所以í 解得λ 4 . 分 (ii) cos 2 +
ï λ 3b = ……………………… 15
3 = , 5 在等腰三角形BCD中 有 γ β
ï 2 , 2 + =π,
ï
î λ a b 所以 2γ γ γ β
4(1- )=2 +2 , 1-4cos =1-2(1+cos2 )=-1-2cos 2 =-1-2cos(π- )=
β
18. 分 证明见解析 分 2π 分 2cos -1,
(1) 3-1(4 ) (2)(i) (7 ) (ii) 3 (6 ) 所以 2cos β -1=4cos α cos( α + β ),
【解】第一步:由等腰三角形的性质求BC
所以 α β α α α β
(1) 2cos( + - )-1=4cos cos( + ),
在 △ BCD 中 , 因为 BD = CD = 1, 所以 BC = 2 DC ·cos∠ BCD = 即 2cos( α + β )cos α +2sin( α + β )sin α -1=4cos α cos( α + β ),
BCD 提示:等腰三角形三线合一性质的应用 . 分 即 α β α α β α
2cos∠ ( ) …… 1 2cos( + )cos -2sin( + )sin =-1,
第二步:由等腰三角形的性质及二倍角公式求CE
即 α β 1 . 分
在 BCE中 BE BC cos(2 + )=- ……………………………………… 15
△ , = , 2
则CE =2 BC ·cos∠ BCD =4cos 2 ∠ BCD =4cos 2 75 ° =2(1+cos 150 ° )= 第二步:结合三角形内角的范围求 2 α + β的值
提示:二倍角公式的应用 分 又在等腰三角形 ABD 和等腰三角形 ADE 中 α π α
2- 3( ), ………………………… 2 ,0< < ,0< +
第三步:求DE 2
β π
所以DE DC CE . 分 < ,
= - = 3-1 …………………………………… 4 2
D 4所以 α β 提醒:在根据三角函数值求角的大小时,一定注 在 上单调递减. 分
0<2 + <π( (-∞,0) ……………………………………… 9
( )
意要先求出角的范围 ), 所以 2 α + β = 2 3 π. ………………… 17 分 综上 , 当 a >0 时 , f ( x ) 在 0, -1+ a 1+4 a 上单调递减 , 在
2
19. 分
(1)2-ln2(4 ) ( a )
( ) -1+ 1+4 上单调递增 当a 时 f x 在 上单
a a ,+∞ ; <0 , ( ) (-∞,0)
当 a 时 f x 在 -1+ 1+4 上单调递减 在 2
(2) > 0 , ( ) 0, a ,
2 调递减. 分
( ) ……………………………………………………… 10
a
-1+ 1+4 上单调递增 当a 时 f x 在 上单 第一步:求解当a 时,a的取值范围
a ,+∞ ; <0 , ( ) (-∞,0) (3) <0
2
当a 时 定义域为 .
调递减 分 ① <0 , (-∞,0)
(6 )
( )
( ] [ )
(3) -1,- 1 ∪ 1 ,1 (7 分 ) 解法一:由f ( x )= ln( ax )+ 1 x + a ( x -1) 可知 , f 1 a =ln 1+ a +
2 2
【解】 第一步:代入a的值求导 ( )
(1) a 1
a -1 =1,
当a 时 f x x 1 x x
=1 ,( )=ln + x + -1( >0), 当a 时 由 可得 f x 在 上单调递减 若集合 x f x
<0 , (2) , ( ) (-∞,0) , { | ( )<
x Z 中有且仅有一个元素
则f′ x 1 1 分 1, ∈ } ,
( )= x - x2 +1, ……………………………………… 1
ì ( ) ì
ïf f 1 ï 1
第二步:根据切线方程判断切点并求b {f ï(-1)< a , ï-1> a ,
则
(-1)<1,
即í 即í
当f′ ( x )= 1 x - x 1 2 +1=-1 时 , 解得x = 2 1 或x =-1( 舍 ), … 3 分 f (-2)≥1, î ï ïf (-2)≥ f ( 1 a ) , î ï ï -2≤ 1 a ,
( )
则f 1 1 1 3
=ln +2+ -1= -ln2, 解得 a 1 . 分
2 2 2 2 -1< ≤- …………………………………………… 11
2
( )
可得切点 1 3 解法二:当a 时 由 可得 f x 在 上单调递减 此
, -ln2 , <0 , (2) , ( ) (-∞,0) ,
2 2
( ) ( )
代入切线方程得 3 -ln 2=- 1 + b , 解得b =2-ln 2 . ……… 4 分 时f 1 a =ln 1+ a + a 1 a -1 =1, 若f ( x )<1 有且仅有 1 个整数
2 2
第一步:根据题意对函数求导
(2) 解 则该整数解必为 所以 1 解得 a 1 .
, -1, -2≤ a <-1, -1< ≤-
2
由f x ax 1 a x
( )=ln( )+ x + ( -1), 分
……………………………………………………………… 11
得f′ ( x )= 1 x - x 1 2 + a = ax2 x + 2 x -1. 解法三:当a <0 时 , 由 (2) 可得 , f ( x ) 在 (-∞,0) 上单调递减 , 若
f x 有且仅有 个整数解 则该整数解必为 .
第二步:分析当a取不同值时函数f(x)的单调性 ( )<1 1 , -1
{ a a
当a 时 定义域为 {f ln(- )-1-2 <1,
>0 , (0,+∞), 则 (-1)<1, 即
ax2 x f a 1 a
f′ x + -1 二次函数y ax2 x 的图象开口向上 且Δ (-2)≥1, ln(-2 )- -3 ≥1,
( )= x2 , = + -1 , = 2
{ a a
a ln(- )-2 -2<0,
1+4 >0,
即
令g x ax2 x 可得该方程在 上的解为 x a a 3 .
( )= + -1=0, (0,+∞) = ln(-2 )-3 - ≥0
2
a
-1+ 1+4 . 分 令 a t
a ………………………………………………… 5 - = >0,
2
a 令φ t t t 3 因为φ t 在 上单调递增
当 x -1+ 1+4 时 g x f ′ x f x 在 ( )=ln(2)+3 - ≥0, ( ) (0,+∞) ,
0 < < a , ( ) < 0, ( ) < 0, ( ) 2
2
( )
( )
a 且φ 1 所以t 1 即a 1 .
-1+ 1+4 上单调递减 =0, ≥ , ≤-
0, a ; 2 2 2
2
令ω t t t 因为 ω t 在 上单调递增 且
a ( )= ln +2 -2<0, ( ) (0,+∞) ,
当 x -1+ 1+4 时 g x f ′ x f x 在
> a , ( ) > 0, ( ) > 0, ( )
2 ω 所以t 即a 所以 a 1 . 分
(1)=0, <1, >-1, -1< ≤- ………… 11
( )
a 2
-1+ 1+4 上单调递增. 分
a ,+∞ …………………………… 7 第二步:求解当a 时,a的取值范围
2 >0
ax2 x ( ) ( )
当a 时 定义域为 则f′ x + -1 恒成立 f x 当a 时 定义域为 f 1 a a 1 .
<0 , (-∞,0), ( )= x2 <0 ,( ) ② >0 , (0,+∞), a =ln1+ + a -1 =1
D 5( a ( a )
解法一 当a 时,讨论f(x)的极值点-1+ 1+4 与 1 的大小 解法二 当a 时,关注极值点-1+ 1+4 与 的大小关系 :
>0 a a >0 a 1
2 2
)
( )
关系 : a
由 可得 当a 时 f x 在 -1+ 1+4 上单调递减 在
(2) , >0 , ( ) 0, a ,
2
( )
a
当 a > 0 时 , f ( x ) 在 0, -1+ a 1+4 上 单 调 递 减 , 在 ( -1+ 1+4 a ) 上单调递增.
2 a ,+∞
( ) 2
a
-1+
a
1+4
,+∞
上单调递增.
f′ x 1 1 a ax2 + x -1 x
2 ( )= x - x2 + = x2 ( >0),
a ( )
当 1 -1+ 1+4 即a 时 f x f 1
(i) a = a , =2 ,( )min= =1, a
2 2 令F x ax2 x F F a 则 -1+ 1+4
( )= + -1, (0)=-1<0, (1)= >0, 0< a <
此时f x 无解 舍 分 2
( )<1 , ; ……………………………………… 12
. 分
a 1 …………………………………………………………… 12
当 1 -1+ 1+4 即a 时 此时 1 1
(ii) a < a , >2 , a < ,
2 2 所以f x 在 上单调递增.
( ) [1,+∞)
若f x 有且仅有 个整数解 则该整数解必为 则
( ) <1 1 , 1, 若f x 有且仅有 个整数解 则该整数解必为
{f
(1)<1, 即
ì
í
ï
ï
f
(1)<
f ( 1
a
)
,
即
{
ln
a
+1<1,
化 简 得
{
(
f
(1
)
)
<
<
1
1,
ì ï ïln a +
1
1<1,
,
ì ï ï0< a <1,
1,
f ï ( ) a 1 a 则 即í 即í
(2)≥1, ïf f 1 ln(2 )+ + ≥1, f ïï a 1 a ïï a a 1
î(2)≥ a , 2 (2)≥1, îln(2 )+ + ≥1, îln(2 )+ ≥ ,
2 2
{ a 分
0< <1, ……………………………………………………………… 14
与a 矛盾 舍 分
a a 1 >2 , ; ………………………… 14
ln(2 )+ ≥ , 设m a a a 则m′ a 1
2 ( )=ln(2 )+ , ( )= a +1>0,
a
当 1 -1+ 1+4 即 a 时 此时 1 1 所以m a 在 上单调递增.
(iii) a > a , 0< <2 , a > , ( ) (0,+∞)
2 2
( )
若f x 有且仅有 个整数解 则该整数解必为 所以 1 又m 1 = 1 , 所以m ( a )≥ 1 的解集为a ≥ 1 , 则 1 ≤ a <1 .
( )<1 1 , 1, 1< a ≤ 2 2 2 2 2
分
即 1 a . 分 …………………………………………………………… 16
2, ≤ <1 ……………………………………………… 16
2 ( ] [ )
( ] [ ) 综上所述 a的取值范围为 1 1 . 分
, -1,- ∪ ,1 ……… 17
综上 a的取值范围为 1 1 . 分 2 2
, -1,- ∪ ,1 …………… 17
2 2
D 6
