文档内容
机密★启用前〔考试时间：2025年12月28日下午15:00-17:00〕
乐山市高中 2023 级第一次调查研究考试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.设U=x|x是小于9的正整数 ，A=1,2,3 ，B=3,4,5,6 ，则∁ (A∪B)=
U
A. 7,8 B. 0,7,8 C. 1,2,3,4,5,6 D. 1,2,4,5,6,7,8
【答案】A
【解析】由题可知U=1,2,3,4,5,6,7,8 ，A∪B=1,2,3,4,5,6 ，所以∁ (A∪B)=7,8
U
．
【命题立意】改编自必修一P13例5，考查集合的基本运算，考查数学运算能力．
2.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i，则|z|=
1 5
A. B. C. 5 D. 5
5 5
【答案】C
4+3i (4+3i)(1-2i) 10-5i
【解析】解法1：由题可知z= = = =2-i，所以z=2+i，所以|z|
1+2i (1+2i)(1-2i) 5
= 5．
4+3i |4+3i| 5
解法2：由题可知z= ，所以|z|= = = 5，所以|z|=|z|= 5．
1+2i |1+2i| 5
【命题立意】改编自必修二P95T7，考查对复数模的理解，对复数四则运算的掌握及应用，考查数
学运算能力．
3.已知a，b，c∈R，使a>b成立的一个充分不必要条件是
1 1
A. a+c>b+c B. a2>b2 C. < D. lga>lgb
a b
【答案】D
【解析】选项A，由不等式性质可得a+c>b+c是a>b的充要条件；选项B，当a=1，b=-2
时，a>b，但此时a2b不能推出a2>b2，当a=-2，b=1时，a2>b2，但此时a<
1 1
b，故a2>b2是a>b的既不充分也不必要条件；选项C，当a<0，b>0时 < ，故不可推
a b
1 1 1 1
出a>b，当a>0，b<0时不可推出 < ，即 < 是a>b的既不充分也不必要条件；选
a b a b
项D，由指数函数的单调性知lga>lgb可推出a>b>0，但当a，b中有一个非正数时不能推出
lga>lgb，即lga>lgb是a>b的充分不必要条件．
【命题立意】改编自必修一P23T2，考查充分条件与必要条件、不等式性质以及对数函数的性质，
考查逻辑推理和运算求解能力．
4.已知两条平行直线l：2x-y-1=0，l ：6x-3y-2=0，则l 与l 间的距离为
1 2 1 2
数学试题第1页（共9页）
{#{QQABAQI04wAwkIQACT7bQ0WCCgoYkJGRJKgOQQCcuAxLQAFIFAA=}#}5 5 5 5
A. B. C. D.
45 15 5 3
【答案】B
|3-1| 5
【解析】解法1：l 与x轴的交点A(0,-1)，点A到直线l 的距离d= = ．
1 2 62+32 15
|-3+2| 5
解法2：l：6x-3y-3=0，两平行线间的距离d= = ．
1 62+32 15
【命题立意】改编自选必一P78例7，考查点到直线距离公式或两平行线间的距离公式，如何取点，
决定了计算的复杂程度．
5.已知函数fx 是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2+4x，若f(a)>5，则a的取值范
围是
A. (-∞,-5)⋃(5,+∞) B. (-∞,-1)⋃(1,+∞)
C. (-1,1) D. (-5,5)
【答案】B
【解析】因为f(x)为偶函数，则图象关于y轴对称，又f(1)=5，由图可知，a<-1或a>1．
【命题立意】改编自必修一P86T11，考查奇偶性．
6.在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于原点对称．若
π 3
sin( -α)= ，则sin2β的值为
4 5
24 24 7 7
A. B. - C. D. -
25 25 25 25
【答案】C
【解析】解法1：由题意β=α+(2k+1)π，k∈Z，从而sin2β=sin2[α+(2k+1)π]=sin2α=
π
cos -2α
2
π
=1-2sin2 -α
4
7
=
25
π
解法2：由sin -α
4
3 3 2 7
= ，得cosα-sinα= ，平方可得sin2α= ，
5 5 25
7
又β=α+(2k+1)π，k∈Z，从而sin2β=sin2[α+(2k+1)π]=sin2α= ．
25
【命题立意】改编自必修一P223T2，考查三角函数诱导公式，二倍角公式，两角差的余弦公式，
同角三角函数基本关系．
7.已知点P(-2,-3)，圆Q：(x-4)2+(y-2)2=9，以PQ为直径的圆与圆Q相交于A，B两点，
则直线PA与圆Q的位置关系为
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不确定
【答案】C
【解析】因为以PQ为直径的圆与圆Q相交于A，B两点，则PA⊥QA，所以PA与圆Q相切．
【命题立意】改编自选必一P99T14，考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，考查抽象概
括能力，逻辑推理能力．
8.已知函数f(x)=xlnx-ax+b的最小值为0，则
A. a>b B. a≥b C. a0，A正确；f(log x)=2log2x+log x=x+log x，B正确；f(x)=2x+x在R上单
2 2 2
调递增，又a>2a得f(a)>f(2a)，C错误；由A知f(log b)=g(b)=f(a)，由B易得log b=a，
2 2
又log b=-b，所以a+b=0，D正确．
2
【命题立意】改编自必修一P160T5，考查基本初等函数的图象、函数零点与方程的解的关系，考
查数形结合思想．
y|y| 3 1
11.已知曲线Γ： -x|x|=1，A(0,2)，B(0,-2)，C(- ，1)，D(- ，3)，P(x,y)为曲线
4 2 2
Γ上不同于A的任意一点，则
1
A. y=2x是曲线Γ的一条渐近线 B. 直线PA与直线PB斜率之积为
4
C. y是关于x的单调递增函数 D. △PCD面积的取值范围是[2- 2，2)
【答案】ACD
y2
【解析】当x>0，y>0，表示双曲线 -x2=1第一象限部分；
4
y2
当x<0，y>0，表示椭圆 +x2=1第二象限部分；
4
数学试题第3页（共9页）
{#{QQABAQI04wAwkIQACT7bQ0WCCgoYkJGRJKgOQQCcuAxLQAFIFAA=}#}y2
当x<0，y<0，表示双曲线x2- =1第三象限部分；
4
y2
当x>0，y<0，-x2- =1不表示任何图形．
4
点(-1,0)，(0,2)也在图象上．其图象如图所示
y2
对于A，Γ在第一象限为双曲线x2- =1，以y=2x为渐近线，在第三
4
y2
限为双曲线 -x2=1，也以y=2x为渐近线，可知Γ以y=2x为渐近
4
线，故A正确．
1
对于B，当点P在第二象限时，k ∙k =- ，当P在第一、三象限时，
PA PB 4
1
k ∙k = ．故B错误．
PA PB 4
-2 x2-1,x<-1
对于C，y= 2 1-x2,-1≤x≤1在(-∞,+∞)上单调递增，
2 x2+1,x≥1
|2x-y+4|
对于D，曲线上的点到直线2x+y-4=0的距离d= ．
5
根据双曲线方程可得第一、三象限双曲线的渐近线方程都是y=2x，与直线2x-y+4=0的距离
4
为 ．
5
|2x-y+4| 4
曲线二四象限图象上的点到直线2x-y+4=0的距离d= 小于且无限接近 ．
5 5
π
考虑曲线第一象限的任意点设为P(cosθ，2sinθ)，θ∈ ,π
2
到2x-y+4=0的距离d=
π
2 2 θ+
|2cosθ-2sinθ+4| 4
=
5
cos +4
4-2 2 3π
≥ ，当θ= 时取等号，
5 5 4
所以d∈ 4-2 2 , 4
5 5
y
O x
1 5 ，则S = |CD|∙d= d∈[2- 2，2)．
△PCD 2 2
【命题立意】改编自2025年高考上海卷T15，以曲线方程为载体，考查椭圆与双曲线的简单性质，
函数的基本性质，点到直线的距离，考查分类讨论思想、数形结合思想．考查直观想象，数学运
算，逻辑推理素养．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b满足a+b=(1,2)，a-b=(3,1)，则|a|2-|b|2= ．
【答案】5
3 1
【解析】解法1：由a+b=(1,2)，a-b=(3,1)联立解得a=(2， )，b=(-1， )，则|a|2-
2 2
3 1
|b|2=22+( )2-12-( )2=5．
2 2
解法2：|a|2-|b|2=a2-b2=(a+b)(a-b)=5
【命题立意】改编自必修二P29例4，考查平面向量的坐标运算，体现多想少算．
13.一个圆锥的底面直径为4，高为2 3，过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面截去了一个
圆锥，则剩下几何体的表面积为 ．
【答案】11π
1
【解析】由已知有AO=2，SO=2 3，则SA= AO2+SO2=4．且A'O'= AO=1，
2
数学试题第4页（共9页）
{#{QQABAQI04wAwkIQACT7bQ0WCCgoYkJGRJKgOQQCcuAxLQAFIFAA=}#}1 1
A'A= SA=2，SO'= SO= 3，
2 2
故所求几何体的表面积为π×(12+22+1×2+2×2)=11π．
【命题立意】改编自必修二P120T4，考查圆台的表面积，考查数学抽象、直观想象和数学运算的
核心素养．
1
14.作斜率为- 的直线l与抛物线y2=4x交于M，N两点（M点在N点的左侧），点A(4,4)在直
2
线l的右上方，当∠MAN=60°时，则直线AM的斜率为 ．
【答案】 3
【解析】设M(x，y)，N(x ，y )，
1 1 2 2
y -y 4 1
则k = 1 2 = =- ，从而y +y =-8，
MN x -x y +y 2 1 2
1 2 1 2
y -4 y -4 4 4 4(y +y )+32
所以k +k = 1 + 2 = + = 1 2 =0，
AM AN x -4 x -4 y +4 y +4 (y +4)(y +4)
1 2 1 2 1 2
所以直线AM与直线AN关于x=4对称，
因为∠MAN=60°，所以直线AM与直线AN的斜率分别为 3.
【命题立意】改编自2011年全国高中数学联赛T11，以抛物线为载体，考查抛物线的简单性质，直
线与抛物线的位置关系，考查数学运算能力，逻辑推理能力．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
15.(13分)
1 3
已知向量a=(- , )，b=cosθ,sinθ
2 2
，θ∈0,π ．
（1）若a∥b，求θ的值；
（2）记fθ =a⋅b，求函数y=f(θ)的最小值和最大值及对应的θ的值．
1 3
【答案】（1）由a∥b，可得- sinθ= cosθ．2分
2 2
解得tanθ=- 3．4分
2π
∵θ∈[0,π]，∴θ= ．6分
3
（2）由fx
1 3 π
=a⋅b=- cosθ+ sinθ=sinθ-
2 2 6
．8分
π π 5π
∵θ∈[0,π]，∴θ- ∈ - ,
6 6 6
．9分
π π 2π
∴当θ- = 时，即θ= 时，f(x) =1． 11分
6 2 3 max
π π 1
当θ- =- ，即θ=0时，f(x) =- ．13分
6 6 min 2
【命题立意】改编自2017年江苏卷T16，考查平面向量的运算、三角函数的图象及性质，考查运算
求解能力．
16.(15分)
1
已知函数f(x)= x3+ax+b在点(0,b)处的切线方程是4x+y-4=0．
3
（1）求a，b的值；
（2）若f(x)在区间(m,m+1)有唯一极值点，求m的取值范围．
【答案】（1）∵f(0)=b,点(0,4)在切线4x+y-4=0上，
数学试题第5页（共9页）
{#{QQABAQI04wAwkIQACT7bQ0WCCgoYkJGRJKgOQQCcuAxLQAFIFAA=}#}∴b=4．2分
∵f(x)=x2+a，则f(0)=a．4分
∴a=-4．6分
（2）f(x)=x2-4=(x+2)(x-2)．8分
当x<-2时，f(x)>0，f(x)在(-∞,-2)单调递增
当-22时，f(x)>0，f(x)在(2,+∞)单调递增．10分
所以-2是函数f(x)的极大值点，2是函数f(x)的极小值点．11分
m<-2 -22
所以m的取值范围是(-3,-2)⋃(1,2)．15分
【命题立意】改编自选必二P91例5，考查函数的单调性与极值．
17.(15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB⊥底面ABCD，且PA=PB，
AB= 2，BC=1．
（1）证明：PC⊥BD；
2
（2）若三棱锥P-ABD的体积为 ，求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值．
6
【答案】解法1：（1）取AB中点O，连接PO，CO．
∵PA=PB，O为AB的中点
∴PO⊥AB．1分
∵面PAB⊥面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，
PO⊂面PAB
∴PO⊥面ABCD．2分
又BD⊂面ABCD，则PO⊥BD①． 3分
在矩形ABCD中，AB= 2，BC=1，则
BO 2 BC 2
tan∠BCO= = ，tan∠BDC= =
BC 2 CD 2
∴tan∠BCO=tan∠BDC，从而∠BCO=∠BDC(也可通过相似证明)．5分
∵∠BDC+∠DBC=90°
∴∠BCO+∠DBC=90°，即BD⊥OC②． 6分
又∵PO与OC为平面POC内的两条相交直线
∴由①②可得BD⊥平面POC．7分
∵PC⊂平面POC
∴BD⊥PC．8分
（2）由平面PAB⊥平面ABCD及ABCD为矩形，
可将四棱锥P-ABCD补成直三棱柱BEC-AFD．9分
取CD中点M，连接PM，OM．10分
数学试题第6页（共9页）
{#{QQABAQI04wAwkIQACT7bQ0WCCgoYkJGRJKgOQQCcuAxLQAFIFAA=}#}∵O，P分别为AB，CD的中点
∴OP⊥EF，MP⊥EF． 11分
∵平面PAB∩平面PCD=EF
∴∠OPM为平面PAD与平面PCD的夹角．12分
2 1 1 2
又∵V = ，则 × ×AB×AD×PO= ，即PO=1．13分
P-ABD 6 3 2 6
在RtΔPOM中，PO=MO=1，∠POM=90°，则∠OPM=45°． 14分
2
故平面PAD与平面PCD的夹角的余弦值为 ．15分
2
解法2：（1）取AB中点O，连接PO，CO；取CD中点M，连接OM．
∵PA=PB，O为AB的中点
∴PO⊥AB．1分
∵面PAB⊥面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，
PO⊂面PAB
∴PO⊥面ABCD．2分
从而OP⊥OB，OP⊥OM． 3分
易知OM⊥OB．
以O为原点，分别以OB，OM，OP所在直线为x轴，
y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．4分
不妨设PO=t，则
2
P(0,0,t)，C ,1,0
2
2
，B ,0,0
2
2
，D- ,1,0
2
．5分
2
∴PC= ,1,-t
2
，BD=(- 2,1,0)．6分
2
∴PC•BD= ×(- 2)+1×1+(-t)×0=0．7分
2
即PC⊥BD．8分
2 1 1 2
（2）∵V = ，则 × ×AB×AD×PO= ，即PO=1．9分
P-ABD 6 3 2 6
2
∴P(0,0,1)，从而PC= ,1,-1
2
2
，PD=- ,1,-1
2
． 10分
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，则
2 x+y-z=0
2
，取y=1，则n=(0,1,1)． 12分
2
- x+y-z=0
2
取平面PAB的一个法向量为OM =(0,1,0)．13分
设平面PAD与平面PCD的夹角为θ，
则cosθ=cos
OM•n
=
OM
×n
2
= ．
2
2
故平面PAD与平面PCD的夹角的余弦值为 ．15分
2
【命题立意】改编自必修二P171T14，考查线线垂直、面面垂直、平面与平面所成角，旨在打破学
生对几何法和向量法的思维定势．
18.(17分)
北宋数学家沈括博学多才、善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，
数学试题第7页（共9页）
{#{QQABAQI04wAwkIQACT7bQ0WCCgoYkJGRJKgOQQCcuAxLQAFIFAA=}#}不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd
n n
个，共n层的堆积物(如图)，可以用公式T = [(2b+d)a+(b+2d)c]+ (c-a)求出物体的总
n 6 6
数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，(a+1)(b+1)，(a+2)(b+2)，⋯，(a+n-1)
(b+n-1)=cd的和．
（1）若a=1，b=1，
①求T 的值；
6
②求T.
n
（2）已知数列a
n
的通项公式为a =3n2-3n+1，其前n项和记为S .数列b
n n n
满足b =3，
1
且b =b +2×3n(n≥1).将S
n+1 n n
与b
n
的所有公共项按照它们在原数列中的顺序组成一个新的数
列c
n
n 1
.设E = ，证明：E <1．
n 3c -1 n
k=1 k
【答案】(1)①由a=1，b=1，n=6，可知c=a+6-1=6，d=b+6-1=6
6
代入公式得T 6 = 6 (2+6)×1+(1+12)×6
6
+ (6-1)=91．3分 6
②令a=1，b=1，c=n，d=n，
n
则T n = 6 (2+n)+(1+2n)n
n n 1
+ (n-1)= (2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)．6分 6 6 6
1
(2)由（1）可知12+22+⋯+n2= n(n+1)(2n+1)
6
由a =3n2-3n+1，得S =3(12+22+⋯+n2)-3(1+2+⋯+n)+n．7分
n n
1 3
∴S = n(n+1)(2n+1)- n(n+1)+n=n3．8分
n 2 2
由b =b +2×3n，得b -b =2×3n．
n+1 n n+1 n
所以b =(b -b )+(b -b )+⋯+(b -b)+b =2(3+32+⋯+3n-1)+39分
n n n-1 n-1 n-2 2 1 1
2×3(1-3n-1)
= +3=3n．11分
1-3
设数列3n 中的第m项等于数列n3 中的第k项，即3m=k3，则3m是数列c
n
中的项．
∵3m+1=3⋅3m=3k3不是数列c
n
中的项，
3m+2=32⋅3m=32k3不是数列c
n
中的项，
3m+3=33⋅3m=(3k)3是数列c
n
中的项，
∴数列c
n
是以33为首项，33为公比的等比数列．
∵c =33n．13分
n
1 1 3n+1-1 3n+1 3 1 1
解法1：∴ = = < = -
3c -1 3n-1 (3n-1)(3n+1-1) (3n-1)(3n+1-1) 2 3n-1 3n+1-1
n
．
15分
3 1 1 1 1 1 1
故E < - + - +⋯+ -
n 2 31-1 32-1 32-1 33-1 3n-1 3n+1-1
3 1 1
= -
2 2 3n+1-1
3
< <1．
4
17分
1 1 2
解法2：∵ = < ．15分
3c -1 3n-1 3n
n
1 1
[1-( )n]
1 1 1 3 3 1
∴E <2( + +⋯+ )=2× =1-( )n<1． 17分
n 3 32 3n 1 3
1-
3
【命题立意】改编自选必二P43阅读，考查等差（比）数列前n项和公式、递推数列、累加法、裂
项求和法、放缩法，考查学生的信息获取能力、运算求解能力、逻辑推理能力、数学建模能力.
数学试题第8页（共9页）
{#{QQABAQI04wAwkIQACT7bQ0WCCgoYkJGRJKgOQQCcuAxLQAFIFAA=}#}19.(17分)
有2n个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互
不交叉，例如n=2时（如图），一共有4个人，以1、2、3、4表示，握手两人用一条线连结，共
有2种方式．记n=k时，a 表示满足条件的握手方法总数．
2k
（1）求a ，a ；
6 8
（2）已知n=5，把人顺时针标记为1，2，⋯，10，在1和2握手的情况下，求9和10握手的
概率；
（3）已知：对任意mm∈N*
m
个随机变量X ，X ，⋯，X ，有EX 1 2 m i
i=1
m
=EX i
i=1
．当n=
k时，随机变量Y 表示相邻两人握手的对数，其期望记为E ．求E ⋅E ⋯⋅E (用n和a 表示）．
2k 2n 2 4 2n 2n
【答案】（1）当n=3时，按顺时针方向把人标记为1，2，3，4，5，6，用(i,j)表示i和j握手．
若1和2握手，共有两种方法：(3,4)，(5,6)和(3,6)，(4,5)；
若1和6握手，共有两种方法：(2,3)，(4,5)和(2,5)，(3,4)；
若1和4握手，共有1种方法：(2,3)，(5,6)．
所以，a =1+2+2=5．2分
6
当n=4时，按顺时针方向把人标记为1，2，3，4，5，6，7，8，用(i,j)表示i和j握手．
若1和2握手，剩下6人，情况同n=3，共5种方法；
若1和8握手，由对称性，情况同1和2握手，共5种方法；
若1和4握手，则2和3握手，剩下4人，共2种方法；
若1和6握手，由对称性，情况同1和4握手，共2种方法；
所以，a =5+5+2+2=14种方法． 6分
8
（2）设A=“1和2握手”，B=“9和10握手”．
∵n(A)=a =14，n(AB)=a =5，
8 6
n(AB) 5
所以P(B|A)= = ． 9分
n(A) 14
1,若i和i+1握手,
（3）记X
i
=
0,若i和i+1不握手,
i=1，2，⋯，2n，其中2n+1表示第1个人．
i和i+1握手时，情况和2n-2个人时一样，共a 种方法，
2n-2
则PX i =1
a
= a 2n-2 ，EX i
2n
a
= 2n-2 ．12分 a
2n
2n
∴E(Y)=EX i
i=1
2n
=EX i
i=1
a
=2n⋅ 2n-2 ．15分 a
2n
a
∴E ⋅E ⋅⋯⋅E =2⋅2⋅ 2
2 4 2n a
4
a
⋅2⋅3⋅ 4
a
6
a
⋯2n⋅ 2n-2
a
2n
2n-1n!
= ． 17分
a
2n
【命题立意】原创题，考查古典概型、条件概率、期望，考查逻辑推理能力、运算求解能力、数学
建模能力、创新能力.
数学试题第9页（共9页）
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