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５．函数ｙ＝ｌｏｇ（９－ａｘ）在区间（１，３）上是减函数，则ａ的取值范围是（ ）
ａ
高三数学试卷（一）
Ａ．（０，１） Ｂ．（１，９）
Ｃ．（１，３） Ｄ．（１，３］
（本 试 卷 满 分 １ ５０ 分 ， 考 试 时 间 １２ ０ 分 钟）
６．已知实数ｘ，ｙ满足２ｘ＝３ｙ，则下列不等式一定成立的是（ ）
注意事项：１．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写
在试卷和答题卡规定的位置上。
Ａ．ｘ＋ｙ≥２槡ｘｙ Ｂ．（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）≥０
２．答选择题时，选出每小题答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需 Ｃ．０≤ｘｙ≤１ Ｄ．ｘｙ≤｜ｘ＋ｙ｜
改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签 π
７．已知函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ（ωｘ＋φ），（ω＞０，｜φ｜＜ ），满足 ｆ（０）＝槡３，将函数 ｆ（ｘ）的图象向右
２
字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。
π ３π
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 平移 个单位得到函数ｇ（ｘ）的图象，若ｇ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝ 对称，则ω的可能取值
６ ４
合题目要求的。
为（ ）
１
１．已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｌｏｇ（３ｘ－２）＜１｝，Ｂ＝｛ｘ｜（ ）１－２ｘ＜３｝，则Ａ∩Ｂ＝（ ）
３ ３ Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
Ａ．（
２
，１） Ｂ．（－∞，１）
{２｜ｌｏｇ
２
ｘ－１｜，ｘ∈（１，４］
３
８．定义在（－∞，４］上的函数 ｆ（ｘ）满足：ｆ（ｘ）＝ ，若函数 ｇ（ｘ）＝
１
５ ５ ｆ（ｘ＋３），ｘ∈（－∞，１］
Ｃ．（－∞， ） Ｄ．（１， ） ２
３ ３
２．命题：ｘ∈［０，１］，ｘ２＋ｘ－２≤０的否定是（ ） ｆ（ｘ）－ａ（４－ｘ）恰有３个零点，则实数ａ的取值范围是（ ）
Ａ．ｘ∈（－∞，０）∪（１，＋∞），ｘ２＋ｘ－２＞０ １ ２ １ １
Ａ．［ ， ］ Ｂ．（ ， ］
３ ３ ６ ３
Ｂ．ｘ∈［０，１］，ｘ２＋ｘ－２＞０
１ １ １ ２
Ｃ．［ ， ］ Ｄ．（ ， ］
Ｃ．ｘ∈（－∞，０）∪（１，＋∞），ｘ２＋ｘ－２＞０ ６ ３ ３ ３
Ｄ．ｘ∈［０，１］，ｘ２＋ｘ－２＞０
二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
１－ｉ
３．已知ｚ＝ ，则｜ｚ｜＝（ ） 求，全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分。
１＋ｉ
９．已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋１（ａ＞０，且ａ≠１），若ｆ（ｘ）在［０，１］上的最大值为Ｍ，最小值为Ｎ，且Ｍ－
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．槡５ Ｄ．５
４．已知向量ａ＝（１，２），ｂ＝（ｘ，ｘ２），则“ｘ＝２”是“ａ∥ｂ”的（ ） Ｎ＝ ａ ，则实数ａ的值可以是（ ）
２
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
１ ２ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．２
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ２ ３ ２
数学试卷（一） 第１页 （共８页） 数学试卷（一） 第２页 （共８页）
书书书１０．如图１是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图２，ｈ（单位： 四、解答题：本题共５小题，共７７分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
ｍ）表示在时间ｔ（单位：ｓ）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点 Ｐ距离地平
１５．（１３分）
面５０ｍ，最低点Ｑ距离地平面１０ｍ，入口处Ｍ距离地平面２０ｍ．当 ｔ＝４ｓ时，过山车到达
已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２－ａｘ＋１．
最高点Ｐ，ｔ＝１０ｓ时，过山车到达最低点Ｑ，设ｈ（ｔ）＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ）＋Ｂ（Ａ＞０，ω＞０，｜φ｜＜
（１）若ｆ（ｘ）＞０的解集为｛ｘ｜ｂ＜ｘ＜２｝，求ａ＋ｂ的值；
π
），下列结论正确的是（ ）
２
（２）若ａ＞０，解关于ｘ的不等式ｆ（ｘ）＜ｘ．
π
Ａ．φ＝
６
Ｂ．函数ｈ（ｔ）的最小正周期为１２
Ｃ．ｔ＝１４ｓ时，过山车距离地平面４０ｍ
Ｄ．一个周期内过山车距离地平面低于２０ｍ的时间是４ｓ
３ １
１１．已知函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｉ＝｛ｘ｜ｘ≠０｝，ｘ∈Ｉ，都有ｆ（ｘ）＝ｆ（ ）＝３－ｆ（ ），则（ ）
ｘ ｘ
３
Ａ．ｆ（３）＝
２
Ｂ．函数ｆ（３ｘ）的图象关于点（０，３）中心对称
１
Ｃ．函数ｆ（３ｘ）的图象关于直线ｘ＝ 对称
２
２０２５
Ｄ．∑ ｆ（３ｉ）＝３０３９
ｉ＝０
三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分。
１２．设６ｍ＝２，６ｎ＝３，则ｍ２＋ｎ２＋２ｍｎ＝ ．
ａ ｂ
１３．已知关于ｘ的不等式ａｘ２－３ｘ＋２＞０的解集为｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞ｂ｝，若当 ＋ ＝１时，有２ｍ
ｍ ｎ
＋ｎ≥ｋ２＋ｋ＋２恒成立（ｍ＞０，ｎ＞０），则ｋ的取值范围为 ．
πｘ π
１４．已知函数ｆ（ｘ）＝ｅ２ｘ－１－ｅ１－２ｘ＋ｓｉｎ（ － ）＋１，则不等式 ｆ（ｘ２＋２ｘ－３）＋ｆ（２－ｘ）≤２的
２ ４
解集为 ．
数学试卷（一） 第３页 （共８页） 数学试卷（一） 第４页 （共８页）１６．（１５分） １７．（１５分）
π π 由ｍ个正整数构成的有限集Ｍ＝｛ａ，ａ，ａ，…，ａ｝（其中ａ＜ａ＜ａ＜…＜ａ），记Ｐ（Ｍ）
已知函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ ＋ωｘ）ｓｉｎ（ －ωｘ）＋槡３ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ的最小正周期为π． １ ２ ３ ｍ １ ２ ３ ｍ
４ ４
＝ａ＋ａ＋…＋ａ，特别规定Ｐ（）＝０，若集合 Ｍ满足：对任意的正整数 ｋ≤Ｐ（Ｍ），都存
１ ２ ｍ
（１）求ｆ（ｘ）的解析式；
在集合Ｍ的两个子集Ａ，Ｂ，使得ｋ＝Ｐ（Ａ）－Ｐ（Ｂ）成立，则称集合Ｍ为“满集”．
（２）在△ＡＢＣ中，Ｏ为△ＡＢＣ的外心，角Ａ所对边的长为ａ，若△ＡＢＣ的外接圆半径为１，且
（１）分别判断集合Ｍ ＝｛１，２｝与Ｍ ＝｛２，３｝是否为“满集”，请说明理由；
１ ２
ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－２ｃｏｓ２Ｃ＝０，求△ＡＢＣ面积的最大值．
（２）若集合Ｍ为“满集”，求ａ的值．
１
数学试卷（一） 第５页 （共８页） 数学试卷（一） 第６页 （共８页）１８．（１７分） １９．（１７分）
ｆ（ｘ）－ｂ
记ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ，ｇ（ｘ）＝ｃｏｓｘ，Ｆ（ｘ）＝ｆ２ｎ（ｘ）＋ｇ２ｎ（ｘ），ｎ∈Ｎ． 对于一个函数ｆ（ｘ）和一个点Ｍ（ａ，ｂ），令函数ｓ（ｘ）＝
ｘ－ａ
，若ｘ
０
是ｓ（ｘ）的极值点，则称
点Ｐ（ｘ，ｆ（ｘ））是Ｍ在ｆ（ｘ）的“边界点”．
（１）判断并证明Ｆ（ｘ）的奇偶性； ０ ０
ｎ （１）对于函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ，证明：对于点Ｍ（１，０），存在点Ｐ，使得点Ｐ是Ｍ在ｆ（ｘ）的“边界点”；
（２）将Ｆ（ｘ）的最小值记为ａ，若∑（２ｉ＋１）ａ＜ｍ恒成立，求ｍ的最小整数值ｍ．
ｎ ｉ ０
ｉ＝１
１
（２）对于函数ｆ（ｘ）＝ ｘ４＋ａｘ２，Ｍ（０，０），若不存在点Ｐ，使得点Ｐ是Ｍ在ｆ（ｘ）的“边界点”，
３
求ａ的取值范围；
（３）对于函数ｆ（ｘ）＝（ｘ２＋ａｘ）ｌｎｘ，Ｍ（０，０），若存在两个不同的点Ｐ，使得点Ｐ是Ｍ在ｆ（ｘ）的
“边界点”，求ａ的取值范围．
数学试卷（一） 第７页 （共８页） 数学试卷（一） 第８页 （共８页）
