文档内容
柳州市 2026 届新高三摸底考试
数学
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上
无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只
有一项 是符合题目要求的.
2i
1. 复数 的虚部为( )
2−i
2 4 2 4
A. − B. − C. D.
5 5 5 5
2. 已知集合 A={−1,1,2,4},B={x∣1≤2x≤4} ,则 A∩B= ( )
A. {−1,2} B. {1,2} C. {1,4} D. {−1,4}
3. 设等差数列 {a } 的前 n 项和为 S ,若 S −S =9,a +a =5 ,则 {a } 的公差为( ‘ )
n n 4 1 1 4 n
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
( 1) 5 1
4. 二项式 1− 的展开式中,含 的项的系数是 ( )
x x3
A. -10 B. 10 C. -5 D. 5
5. 已知圆锥的表面积为 12π ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径是(
)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5( π) cosα
6. 已知 tan α+ =−2 ,则 = ( )
4 cosα−sinα
1 1
A. B. -2 C. 2 D. −
2 2
{x2+2x−3,x≤0
7. 已知函数 f (x)= ,若方程 f (x)=k 的实数解恰有两个,则实数 k 的取
−2+lnx,x>0
值范围是( )
A. k≤−4 B. −4−3 D. k=−4 或 k≥−3
x2 y2
8. 已知椭圆 E: + =1 的左右焦点分别为 F ,F ,上顶点为 A ,过 F 且垂直于
16 12 1 2 1
AF 的直线与 E 交于 B 、 C 两点,则 △ABC 的周长为 ( )
2
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某人工智能公司近 5 年的利润情况如下表所示:
第 x 年 1 2 3 4 5
利润 y /亿 2 3 4 5 7
元
已知变量 y 与 x 之间具有线性相关关系,设用最小二乘法建立的回归直线方程为
^y=1.2x+a^ ,则下列说法正确的是 ( )
A. a^=0.6
B. 变量 y 与 x 之间的线性相关系数 r<0
C. 预测该人工智能公司第 6 年的利润约为 7.8 亿元
D. 残差绝对值的最大值为 0.4
10. 已知函数 f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π) 的部分图象如图所示,则( )
A. ω=2π
B. φ=
3
17π
C. 直线 x= 是函数 f (x) 图象的一条对称轴
12
[ π π]
D. f (x) 在 − , 的值域为 [−1,2]
6 4
11. 如图所示, f (x)(i=1,2,3,4) 是定义在 [0,1] 上的四个函数,其中满足性质: “对
i
[0,1] 中任意的 x 和 x ,任意 λ∈[0,1] , f [λx +(1−λ)x ]≥λf (x )+(1−λ)f (x ) 恒
1 2 1 2 1 2
成立”的有( )
A. f (x) B. f (x) C. f (x) D. f (x)
1 2 3 4
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
2π
12. 已知 |⃗a|=5,|⃗b|=4,⃗a 与 ⃗b 的夹角 θ= ,则 (⃗a+⃗b)⋅⃗b= _____.
3
x2 y2
13. 直线 y=x 与双曲线 − =1(a>0) 相交于 A,B 两点,且 A,B 两点的横坐标之积
a2 8
为 -8 ,则双曲线的离心率为_____.
14. 在三棱锥 V −ABC 中, VA=VB=AB=AC=BC=2,VC=1 ,则该三棱锥外接球的半
径为_____.
_____ O (1)答案:C. 如果 OA 与正面 OAB 交等于线段,则 OA 与线段相交)四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. ( 13 分)已知函数 f (x)=(ax+b)ex 的图象在点 (0,f (0)) 处的切线方程为
2x−y+1=0 .
(1)求 a,b 的值；
(2) 求 f (x) 的单调区间与极值.
16. ( 15 分)如图,四棱锥 P−ABCD 的底面是矩形, PD⊥ 底面 ABCD , PD=2 ,
DC=1 , M 为 BC 中点,且 PB⊥AM .
(1)求 BC ；
(2)求二面角 A−PM−B 的正弦值.
第 16 题图
17. (15分) 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知
( π)
2b=c+2asin B− .
6
(1)求 A ；
(2)若 a=2√3,△ABC 的面积为 √3,D 为 BC 上一点, AD 为 ∠BAC 的平分线,求
AD .
18.(17分)为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于 170cm 的关联性,调查了该校
所有高二年级的学生,整理得到如下列联表一；然后从该校所有高二年级学生中随机抽取 100
2
名学生,对性别和身高是否大于 170cm 进行统计,得到如下列联表二,其中女生占 ,身高低
5
1
于 170cm 的学生占 .
2
表一:
性别 身高 合计低于 170 不低于 170 cm
cm
女 360 90 450
男 100 450 550
合计 460 540 1000
表二:
身高
低于 170 不低于 170 cm
性别 cm 合计
女 25
男
合计 100
(1)从表一中随机抽取一人,分别用 A 、 A 表示抽到男生、女生,用 B 表示抽到学生身高
1 2
不低于 170cm ,计算 P(B∣A ) , P(B∣A ) ,并判断该校高二年级学生的性别和身高是否
1 2
有关联？
(2)请完成列联表二,并依据 α=0.01 的独立性检验,能否认为该校高二年级学生的性别与身高
有关联? 对比第一问的结论, 请分析两种判断方式的可靠性. 为了得到准确的结论, 请提出可
行性建议;
(3)现在从表二中,抽取样本容量为 10 的样本,其中女生样本数据为:159、160、165、171(单
位: cm),男生样本数据为:164、166、168、172、174、176(单位:cm),求出这个样本的第 70
百分位数,并从不大于第 70 百分位数的样本数据中抽取 3 人,记 X 为抽到的女生人数,求
X 的分布列及数学期望.
n(ad−bc) 2
附: χ2= 其中 n=a+b+c+d .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
χ 2.70 3.841 6.63 7.879 10.828
α
6 5
19. (17分) 圆心在 x 轴上移动的圆经过点 A(−4,0) ,且与 x 轴, y 轴分别交于 B(x,0)
, C(0,y) 两个动点.
(1)求点 T(x,y) 的轨迹 E 的方程；(2)过点 D(3,2) 作互相垂直的两条直线 l ,l ,l 与曲线 E 相交于 P ,Q 两点, l 与曲线
1 2 1 1 1 2
E 相交于 P ,Q 两点,线段 P Q ,P Q 的中点分别为 M,N .
2 2 1 1 2 2
(i)试问直线 MN 是否经过定点？若是,请求出该定点的坐标,若不是,请说明理由；
