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2024－2025 学年高二第二学期六校联合体期末考试
高二数学
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．设集合M＝{1，0，2a}，N＝{1，a2}，且N M，则实数a的值是 ( )
A． －2 B． 0 C． 1 D． 2
⊆
2．设x∈R，则“cosx＝1”是“sinx＝0”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知x＞0，y＞0，且4x＋y－xy＝0，则x＋y的最小值为 ( )
A．8 B． 9 C．10 D． 11
x·cosx
4．函数f(x)＝ 的图象大致为 ( )
e
|x|
A． B． C． D．
5．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：
|a b|＝ad
c d
|2a 3 a 3 －a 2|
－bc，已知S 是等比数列{a }的前n项和，若 ＝0，a ＝1，q≠1，则S ＝ ( )
n n a a －a 1 7
4 3 2
A．31 B．63 C．127 D．255
6．抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线 x＝3交C于M，N两点，C的准线交x轴于点P，
若PM⊥PN，则C的方程为 ( )
A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝12x
7．将各位数字之和为6的三位数叫“幸运数”，比如123，402，则所有“幸运数”的个数为 ( )
A．19 B．20 C．21 D．22
8．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)＝f'(x)，已知f(2x＋1)和g(x＋2)都是偶函数，且
2025
g(2)＝1，则 ∑ g(k)的值为 ( )
k＝0
A．1 B．－1 C．2025 D．－2025二、选择题：本大题共 3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 6分，部分选对得部分分，
不选或有错选的得 0分．
π π
9．已知函数f(x)＝3sin(ωx－ )，其中ω＞0，且函数的两个相邻对称轴之间的距离为 ，则下列说法正确的是
6 2
( )
A．ω＝2
π
B．函数图象关于点( ，0)对称
24
π
C．函数在区间[0， ]单调递增
6
π
D．函数的图象可以由y＝3sinωx的图象向右平移 个单位得到
6
10．下列等式正确的是 ( )
10 10
A．∑Ck ＝210 B．∑C2＝C3
10 k 11
k＝1 k＝2
10 10 k 1
C．∑(－1)kCk ＝0 D．∑ ＝1－
10
k＝1 k＝1(k＋1)! 11!
x2 y2
11．已知双曲线C： － ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F 、F ，过F 作斜率为
1 2 2
a2 b2
－ 15的直线与双曲线的右支交于A、B两点(A在第一象限)，|AB|＝|BF |，P为线段AB的中点，O
1
为坐标原点，则下列说法正确的是 ( )
A．|AF |＝2|AF | B．双曲线C的离心率为2
1 2
15
C．直线OP的斜率为－ D．△AF F 的面积为2 15a2
1 2
5
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5 分，共 15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0的公切线的条数是____▲____条．
1 1 — 3 —
13．设A，B是一个随机试验中的两个随机事件，且P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(A＋B)＝ ，则P(B|A)＝___▲_____．
3 2 4
14．已知实数x，y，z均小于1，且满足ex－elog23＝e·(x－log
2
3)，ey－elog35＝e·(y－log
3
5)，
ez－elog58＝e·(z－log
5
8)，其中e为自然对数的底数．则x，y，z的大小关系是___▲____．
(用“＜”连接)
四、解答题：本大题共 5 小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分13分)
如图，在直三棱柱ABC－A B C 中，AB＝AC＝AA ＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C C，BC的中点．
1 1 1 1 1
(1)求证：A B⊥B C；
1 1
(2)求直线A B与平面AEF所成角的余弦值．
1
16．(本题满分15分)
某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10
箱进行检测，其中有6箱为一等品．
(1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率；
(2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用X表示抽到一等品的箱数，求X的分布列和数学
期望．
17．(本题满分15分)
x2 y2 3
已知椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4．
a2 b2 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，过点B作不垂直于坐标轴的直线l交椭圆于另一点G，过点A
→ 2→
作l的垂线，垂足为H，且BG＝ BH，求直线l的方程．
5
18．(本题满分17分)
已知f(x)＝a·ex－x．
(1)求f(x)在x＝0处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；
(3)若方程a·ex－x＝0有两个不相等的实数根x ，x ，且x ＜x ，求证：(1－a)·x ＞a．
1 2 1 2 1
19．(本题满分17分)
已知数列{a }的前n项和为S ，若存在常数λ(λ＞0)，使得λa ≥S 对任意n∈N*都成立，则称数列{a }
n n n n＋1 n
具有性质M(λ)．
(1)若数列{a }的通项公式a ＝－2n＋1，求证：数列{a }具有性质M(3)；
n n n
(2)设数列{a }的各项均为正数，且{a }具有性质M(λ)．
n n
①若数列{a }是公比为q的等比数列，且λ＝4，求q的值；
n
②求λ的最小值．2024－2025 学年高二第二学期六校联合体期末考试
高二数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B C C D C B
二、多选题
9 10 11
AC BD ABC
三、填空题
12 13 14
1
3 x＜y＜z
4
四、解答题
15.(1)证明：连接AB ，
1
因为三棱柱ABC－A B C 为直三棱柱，所以AA ⊥平面ABC，
1 1 1 1
又AC平面ABC，所以AC⊥AA ，
1
又AC⊥AB，AB∩AA ＝A，AB，AA 平面ABA ，所以AC⊥平面ABA ，
1 1 1 1
又A B平面ABA ，则A B⊥AC，···································································2分
1 1 1
因为在直三棱柱ABC－A B C 中，AB＝AA ，所以四边形ABB A 为正方形，
1 1 1 1 1 1
所以A B⊥AB ，···························································································4分
1 1
因为AC∩AB ＝A，AC、AB 平面ACB ，所以A B⊥平面ACB ，·························5分
1 1 1 1 1又B C平面ACB ，则A B⊥B C．··································································6分
1 1 1 1
(2)因为直三棱柱ABC－A B C 中，∠BAC＝90°，
1 1 1
所以AB，AC，AA 两两垂直，
1
所以以A为原点，分别以AB，AC，AA 所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
1
则A(0，0，0)，A (0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，
1
→
所以A B＝(2，0，－2)，················································································8分
1
→ →
AE＝(0，2，1)，AF＝(1，1，0)．
→
n·AE＝2b＋c＝0
设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，则
→
，
n·AF＝a＋b＝0
令a＝1可得n＝(1，－1，2)．······································································ 10分
设A B与平面AEF所成角为θ，
1
→
→
|n·A
1
B|
2 3
所以sinθ＝|cos＜n，A B＞|＝ ＝ ＝ ，······················12分
1 →
|n||A B| 4＋4× 1＋1＋4 6
1
3
即A B与平面AEF成角的正弦值为 ，
1
6
33
所以A B与平面AEF成角的余弦值为 ．······················································13分
1
6
16．解：(1)记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件A，·····································1分则P(A)＝ C2 6 C1 4＝ 60 ＝ 1 ．···············································································4分
C3 120 2
10
6 3
(2)由题意，任取一个，取到一等品的概率为 ＝ ，············································5分
10 5
3
因为X可能的取值为0，1，2，3，且X服从二项分布(3， )
5
2 8
所以P(X＝0)＝( )3＝ ，··············································································7分
5 125
3 2 36
P(X＝1)＝C1 ·( )2＝ ，···············································································9分
3
5 5 125
3 2 54
P(X＝2)＝C2
3
( )2 ＝ ，··············································································11分
5 5 125
3 27
P(X＝3)＝( )3＝ ，···················································································13分
5 125
3 9
数学期望E(X)＝3× ＝ ．············································································15分
5 5
1
17．(1)由题意：S＝ ·2a·2b＝4，所以ab＝2，····················································1分
2
c 3
又因为 ＝ ，
a 2
所以a＝2，b＝1，························································································3分
x2
所以椭圆的方程： ＋y2＝1．·········································································4分
4
(2)由题意，设直线l的方程为y＝k(x－2)，
y＝k(x－2)
由 ，可得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，
x2＋4y2＝4
16k2 8k2－2 －4k
因为2＋x ＝ ，所以x ＝ ，代入直线方程可得y ＝ .····················7分
G G G
1＋4k2 1＋4k2 1＋4k2
（注：写出完整坐标或一个坐标分量都得3分）
1
过点B与l垂直的直线方程为y＝－ (x＋2)，
k
1
y＝－ (x＋2)
由 k 可得x ＝
2k2－2
，y ＝
－4k
，···············································10分
H H
y＝k(x－2) k2＋1 k2＋1（注：写出完整坐标或一个坐标分量都得3分）
→ 2→ 2
因为BG＝ BH，所以(x －2，y )＝ (x －2，y )
G G H H
5 5
2
法一：x －2＝ (x －2)，··············································································11分
G H
5
8k2－2 2 2k2－2
所以 －2＝ ·( －2)，解得k＝±1，··················································13分
1＋4k2 5 k2＋1
所以直线l的方程：y＝x－2或y＝－x＋2．····················································· 15分
2
法二：y ＝ y ，·························································································11分
G H
5
－4k 2 4k
所以 ＝ ·(－ )，解得k＝±1，························································· 13分
1＋4k2 5 1＋k2
所以直线l的方程：y＝x－2或y＝－x＋2．····················································· 15分
y＝k(x－2)
(注：如果先证一个结论：k
AG
·k
BG
＝－ 1 ，因为k
BG
＝k，k
AG
＝－ 1 ，由 y＝－ 1 (x＋2) 可得G( 8k2－2 ， －4k )，
4 4k k 1＋4k2 1＋4k2
酌情给分)
18．(1)因为f'(x)＝a·ex－1，所以f'(0)＝a－1，···················································2分
又因为f(0)＝a，
所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－a＝(a－1)x，即y＝(a－1)x＋a．·······················4分
(2)因为f'(x)＝a·ex－1，
①若a≤0，则f'(x)＜0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，无增区间．········7分
②若a＞0，令f'(x)＞0得x＞－lna，令f'(x)＜0得x＜－lna，所以f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，
＋∞)单调递增．·························································································10分
(注：没写综上不扣分，a＝0单独写不扣分，a＝0漏掉扣1分)(3)若a≤0，由(2)知f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，方程至多有一个实根，不符题意，
所以a＞0．······························································································· 11分
x
法1．由题意知a·ex1＝x ，所以a＝ 1，且x ＞0．
1 ex1 1
x
要证(1－a)x ＞a，只要证(1－a)·ae x1＞a，只要证(1－a)·e x1＞1，只要证(1－ 1 )·e x1＞1，只要证e x1－x ＞1．
1 ex1 1
··············································································································· 14分
令g(x)＝ex－x－1，x＞0，g'(x)＝ex－1＞0，
所以g(x)在(0，＋∞)单调增，g(x)＞g(0)＝0，
因为x ＞0，所以g(x )＞0，即ex1－x ＞1，
1 1 1
所以(1－a)x ＞a得证．················································································ 17分
1
法2．由(2)得f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，＋∞)单调递增，
1
所以f(－lna)＝1＋lna＜0，所以0＜a＜ ．
e
a a
因为 ＜1＜－lna，所以x ， ∈(－∞，－lna)，
1
1－a 1－a
a a a
要证(1－a)x ＞a，只要证x ＞ ，只要证f(x )＜f( )，只要证f( )＞0．
1 1 1
1－a 1－a 1－a
a a a a 1
而f( )＝a·e1－a － ＝a·(e1－a － )，······················································ 14分
1－a 1－a 1－a
令g(x)＝ex－x－1，x＞0，g'(x)＝ex－1＞0，
所以g(x)在(0，＋∞)单调增，g(x)＞g(0)＝0，
a a 1
所以x＞0时，ex－x－1＞0恒成立，令x＝ 得e1－a － ＞0，
1－a 1－a
a
所以f( )＞0．
1－a
所以(1－a)x ＞a得证．················································································ 17分
1
(－1－2n＋1)n
19．(1)设由数列{a }的通项公式，a ＝－2n＋1，S ＝ ＝－n2，············2分
n n n
2
于是3a －S ＝3(－2n＋1)＋(n＋1)2＝(n－2)2≥0，
n n＋1即3a ≥S ，
n n＋1
所以数列{a }具有性质M(3)．·········································································4分
n
(2)①由数列{a }具有性质M(4)，得4a ≥S ，又等比数列{a }的公比为q，
n n n＋1 n
若q＝1，则4a ≥(n＋1)a ，解得n≤3，与n为任意正整数相矛盾；·······················5分
1 1
当q≠1时，4a qn－1≥a ·
1－qn＋1
，而a ＞0，整理得4qn－1≥
1－qn＋1
，
1 1 n
1－q 1－q
若0＜q＜1，则qn－1≥ 1 ，解得n＜1＋log 1 ，与n∈N*矛盾；·················6分
q
(q－2)2 (q－2)2
若q＞1，则q n－1 (q－2)2≤1，当q＝2时，q n－1 (q－2)2≤1恒成立，满足题意；···········7分
当q＞1且q≠2时，q n－1≤ 1 ，解得n＜1＋log 1 ，与n∈N*矛盾；···········8分
q
(q－2)2 (q－2)2
所以q＝2．·································································································9分
②由λa ≥S ，得λa ≥S ，即λ(S －S )≥S ，··········································11分
n n＋1 n＋1 n＋2 n＋1 n n＋2
因此λS ≥λS ＋S ≥2 λS S ，即 S n＋2≤ λ · S n＋1，············································13分
n＋1 n n＋2 n n＋2
S n＋1 4 S n
则有 S n＋1≤ λ · S n ≤( λ )2· S n－1≤…≤( λ ) n－1 · S 2，····················································· 15分
S n 4 S n－1 4 S n－2 4 S 1
由数列{a }各项均为正数，得S ＜S ，从而1＜( λ )n－1 S 2，即( λ )n－1＞ S 1，
n n n＋1
4 S 4 S
1 2
S
若0＜λ＜4，则n＜1＋log 1，与n∈N*矛盾，··················································16分
λ
S
4 2
因此当λ≥4时，( λ ) n－1≥1 n－1＞ S 1恒成立，符合题意，
4 S
2
所以λ的最小值为4．··················································································· 17分
