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2021 年山东省青岛市中考数学真题
第Ⅰ卷（共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 剪纸是我国古老的民间艺术，下列四个剪纸图案为轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列各数为负分数的是（ ）
.
A －1 B. C. 0 D.
3. 如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 2021年3月5 日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困
人口实现脱贫．5575万＝55750000，用科学记数法将55750000表示为（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
5. 如图，将线段 先绕原点 按逆时针方向旋转 ，再向下平移4个单位，得到线段 ，则点
的对应点 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图， 是 的直径，点 ， 在 上，点 是 的中点，过点 画 的切线，交 的
延长线于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在四边形纸片 中， ， ， ．将纸片折叠，使点 落在 边【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
的
上 点 处，折痕为 ．若 ，则 的长为（ ）
A. 5 B. C. D.
8. 已知反比例函数 的图象如图所示，则一次函数 和二次函数 在同一直角
坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（共96分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 计算： __________．
10. 在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，
记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
是__________．
11. 列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间 与行驶的平均速度 之间的反比例函数关系如
图所示．若列车要在 内到达，则速度至少需要提高到__________ ．
12. 已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为 、 ，则 ___ ．
（填“ ”、“ ”、“ ”）
13. 如图，正方形 内接于 ， ， 分别与 相切于点 和点 ， 的延长线与 的
延长线交于点 ．已知 ，则图中阴影部分的面积为___________．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
14. 已知正方形 的边长为3， 为 上一点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，过点
作 ，交 于点 ，交 于点 ， 为 的中点， 为 上一动点，分别连接 ，
．若 ，则 的最小值为__________．
三、作图题（本大题满分4分）
15. 已知： 及其一边上的两点 ， ．
求作： ，使 ，且点 在 内部， ．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16. （1）计算： ；
（2）解不等式组： ，并写出它的整数解．
17. 为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱
《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起
设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚
好落在分割线上，则需要重新转动转盘．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．
18. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼 的高度．如图所示，其中
观景平台斜坡 的长是20米，坡角为 ，斜坡 底部 与大楼底端 的距离 为74米，与地面
垂直的路灯 的高度是3米，从楼顶 测得路灯 项端 处的俯角是 ．试求大楼 的高
度．
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
19. 在中国共产党成立一百周年之际，某校举行了以“童心向党”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取 名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得
分用 表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图．其中“ ”
这组的数据如下：
90，92，93，95，95，96，96，96，97，100.
竞赛成绩分组统计表
频
组别 竞赛成绩分组 平均分
数
1 8 65
2 75
3 88
4 10 95
请根据以上信息，解答下列问题：
（1） __________；
（2）“ ”这组数据的众数是__________分；
（3）随机抽取的这 名学生竞赛成绩的平均分是___________分；
（4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．
20. 某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用
1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的 ．销售时，甲品牌洗衣液的售价
为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超
市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少
元？【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
的
21. 如图，在 中， 为 边 中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，延长 至点
，使 ，分别连接 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）当 平分 时，四边形 是什么特殊四边形？请说明理由．
22. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升
到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球
（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无
人机离地面高度 （米）与小钢球运动时间 （秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度
（米）与它的运动时间 （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出 与 之间的函数关系式；
（2）求出 与 之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
23. 问题提出：【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：
为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最
短边长，第三边长）的形式记为 ，有1个，所以总共有 个整数边三角形．
表①
最长边 计算方
最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 算式
长 法
1 1 1 1个1
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当
最短边长为1时，第三边长只能是2，记为 ，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，
记为 ，有1个，所以总共有 个整数边三角形．
表②
最短边 整数边三角形个
最长边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 计算方法 算式
长 数
1 1
2 2个1
2 1
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
最长边 整数边三角形个
最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 计算方法 算式
长 数
1 1
3 2 ， 2 2个2
3 1
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
最长边 整数边三角形个
最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 计算方法 算式
长 数
1 1
2 ， 2
4 3个2
3 ， 2
4 1
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：
表⑤
最长边 计算方
最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 算式
长 法
1 1
2 ， 2
5 3 _______ _____ ___ ___
4 ， 2
5 1
问题解决：
的
（1）最长边长为6 整数边三角形有___________个．
（2）在整数边三角形中，设最长边长为 ，总结上述探究过程，当 为奇数或 为偶数时，整数边三角形
个数的规律一样吗？请写出最长边长为 的整数边三角形的个数．
（3）最长边长为128的整数边三角形有__________个．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个．
24. 已知：如图，在矩形 和等腰 中， ， ， ．
点 从点 出发，沿 方向匀速运动．速度为 ；同时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
速度为 ．过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于
点 ．分别连接 ， ，设运动时间为 ．
解答下列问题：
的
（1）当 时，求 值；
（2）设五边形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；
（3）当 时，求 的值；
（4）若 与 相交于点 ，分别连接 和 ．在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使
？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
