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湖北省仙桃中学 2025-2026 学年度上学期期中考试
数学
命题冉成平 审题李辉
满分150分 时间120分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核
准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作
答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解出集合A、B,再求 .
【详解】因 ， ，所以
为
.
故选：A．
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】将对数不等式进行等价变换，结合 ， ，可判断 ， 的取值范围，从而判断
与 的关系.
【详解】因 为 ，又 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，即 ，
又 ，
所以 不能推出 ，所以 是 的不充分条件；
又 ，所以 是 必的要条件，
所以 是 的必要不充分条件.
故选：B.
3. 函数 的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的零点和区间内的值域，利用排除法选择图像.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】图像过点 ， ，排除AD；当 时， ，排除C.
故选：B.
4. 平面内，动点 的坐标 满足方程 ，则动点 的轨迹方
程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的定义求解即可.
【详解】由题意，点 到两个定点 ， 的距离之和等于常数 ，
故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在 轴上的椭圆，且 ， ，
故 ，故椭圆的标准方程为 .
故选：B
5. 若函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】函数求导得 ，由题意可得 ，解得 的值，代入所求式计算
即得，.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 求导得： ，
依题意，有 ，解得 ，
则 ．
故选：C.
6. 已知 是定义在 上 的单调函数，若 ，且 ， ，则（ ）
A. B.
C. D. 与 大小不确定
【答案】C
【解析】
【分析】不妨 ，则 ，分 单调递增和单调递减两种情况，结合不等式的性质，
即可求解.
【详解】根据题意，不妨 ，则 ，
当函数 单调递增时，可得 ，
所以 ，所以 ；
当函数 单调递减时， ，
所以 ，所以 ；
综上可得， .
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司7. 设 分别为双曲线 的左右焦点，点 为双曲线上的一点，若
的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出 的重心坐标，再根据双曲线定义及切线长定理求出 的内心横坐标，根据重
心与内心横坐标相同得到方程，求出离心率.
【详解】将 代入，解得： ，即 ，不妨令 ，则 ，
，所以重心坐标为 ，设 的内心为D，内切圆与 ， 的切点分别为
A，B，与x轴切点为C，则PA=PB， ， ，且点D与点C横坐标相同，又由双曲线定
义知： ，从而 ，设 ，则 ，解得： ，
故点C为双曲线的右顶点，故D点的横坐标为a，因为 的重心和内心的连线与x轴垂直，所以
，解得： ，即 ，解得： .
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
8. 已知函数 的值域与函数 的值域相同，则实数 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用导数求出函数 的值域，再根据条件列不等式，解得结果.
【详解】因为 ， ，定义域为 .
所以 .
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值为 .
当 ，所以函数 的值域为 .
要使函数 的值域为 ,
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若函数 的图象上存在四点共圆，则满足条件的 可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合函数的性质和图象，数形结合，一一判断各选项中函数是否符合题意，即得答案.
【详解】对于A，函数 的图象为抛物线，关于y轴对称，
不妨取 ，则四边形 为等腰梯形，
则 四点共圆，A符合题意；
对于B， ，定义域为 ，在 上单调递增，
该函数图象上升比较平缓，图象上没有剧烈变化的分界点，
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学科网（北京）股份有限公司故不可能存在某个圆与 的图象有4个交点，
即 的图象上不可能存在四点共圆，B不符合题意；
对于C，作出 的图象，公众号；高中试卷君
必存在圆与 的图象有4个交点的情况，C符合题意；
对于D，作出 的图象，由反比例函数与圆的中心对称性，
作图如下（圆心为原点），
必存在圆与 的图象有4个交点的情况，D符合题意.
故选：ACD
10. 已知曲线 ，点 ， ，则下列结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 曲线 关于直线 对称
B. 曲线 上存在点 ，使得
C. 直线 与曲线 只有一个交点
D. 曲线 上第一象限内的点到直线 与 的距离之积为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】数形结合并由双曲线的性质、定义结合直线与双曲线的位置关系和点到直线的距离即可依次求解
判断各选项.
【详解】由题当 ， 时，曲线 ；
当 ， 时，曲线 ；
当 ， 时，曲线 不存在；
当 ， 时，曲线 ，故作出曲线 如图所示：
选项A：法一：由图可知，曲线 不关于直线 对称，故A错误；
法二：将 中的 替换为 替换为 ，得 ，
与 不相同，故曲线 不关于直线 对称，故A错误；
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学科网（北京）股份有限公司选项B：易知 ， 为双曲线 的上、下焦点，
所以当点 在第三象限时，根据双曲线的定义可知 ，故B正确；
选项C：易知直线 为双曲线 与双曲线 的一条共同渐近线，
直线 的斜率小于直线 的斜率，
故直线 与曲线 在第一、四象限内没有交点，在第三象限内只有一个交点，故C正确；
选项D：设曲线 上第一象限内的点为 ，
则 ，即 ，
所以点 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
11. 若 ，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：利用基本不等式，结合已知条件求解 的取值范围：对于B：利用不等式
可判断；对于C：变形 ，然后利用基本不等式求解其最
小值；对于D：令 ，且 ，于是 ，然后利用基
本不等式求解其最小值.
【详解】因为 ，所以有 .
对于A：因为 ，
所以 ，可得 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故A正确；
对于B：因为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故B正确；
对于C：因为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时取等号，故C错误；
对于D：令 ，所以 ，且 ，于是
4
，
当且仅当 ，即 时取等号，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 双曲线 的渐近线与抛物线 的准线围成的封闭图形面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】作出双曲线的渐近线和抛物线的准线，求出交点坐标即可求解.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，抛物线 的准线方程为 ，
如图所示，由 得 ，
由对称性可得 ，所以 ，
又 ， ，所以 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司13. 函数 的最大值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】令 ，从而将问题转化成求二次函数 在 上的最大值，利用二
次函数的性质，即可求解.
【详解】由 ，得到 ，所以函数 的定义域为 ，
令 ，则 ，所以 ，对称轴为 ，其图象开口向下，
所以当 时， 取到最大值，最大值为 ，
故答案为： .
14. 函数 的图象关于点 成中心对称的充要条件是函数 为奇函数.请用这一
结论回答：函数 的图象的对称中心坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇函数特性求出 即可求出其对称中心坐标.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】根据题意可知，要求函数 的对称中心坐标，
需使 为奇函数，
因为 ，所以 ，即 ，解得 .
所以 .
因 是奇函数，则 ，
化简得 ，即 ，
也即 ，
则得 ，即 ，
因 ，则 ，即 ，可得 ，解得 ，
故 ，
所以函数 的图象的对称中心坐标为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 中， ， ，动点 满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设 所在直线与轨迹 的另一个交点为 ，当 的面积最大且点 在第一象限时，求
的值.公众号；高中试卷君
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设 ，根据条件得 ，化简即可求解；
（2）根据条件得 ，进而求出直线 的方程，再利用弦长公式，即可求解.
【小问1详解】
设 ，由 ，得 ，
整理得到 ，又点 不能在 轴上，
所以点 的轨迹 的方程为 .
【小问2详解】
由题意可得 ，当 到x轴距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，
此时 ，所以 ，
所在直线方程为 ，即 ，
又圆心 到直线 的距离 ，半径 ，
可得 .
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若 在 内的最大值为2，求 的值.
【答案】（1）单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）由函数在区间内的单调性求解函数的最大值，可得 的值.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ，
则 ，
当 时，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
【小问2详解】
①当 时， 在 内恒成立， 在 内单调递增，
则 ，解得 与 矛盾；
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学科网（北京）股份有限公司②当 时，有 ， 时 ； 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，即 ，
令 ，则 ，
则 在 上单调递减，
又 ，故 ；
综上， .
17. 已知函数 是 上 的奇函数，函数 .
（1）求实数 的值；
（2）设函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 ，求实
数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数 是奇函数求出 即可.
（2）先化简 ，判断其单调性求出最小值，然后求出 的最小值，根据 ，进
而求得 的范围.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司依题意， ，即 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
则 ，经检验 ，符合题意，所以 .
【小问2详解】
由题知 ，
若对 ，总 ，使得 ，可得 ，
由复合函数单调性可得：
函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时， 有最小值 .
设 ，函数 在 单增，所以 ，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
18. 已知抛物线 ： 的准线与半椭圆 ： 相交于A，B两点，且
，点P是半椭圆 上一动点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求抛物线 的方程；
（2）过点P作抛物线 的两条切线，切点分别为C、D，记 的中点为E.求证： 轴.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由抛物线准线与椭圆相交的弦长构建方程求得值即可；
（2）设 ，设出两条切线的直线方程，与抛物线方程联立，由相切关系及韦达定理构建方程，结
合导数求两切线斜率，得E点的横坐标等于 ，即可得证；
【小问1详解】
由题可知，抛物线 ： 的准线为 ，
因为抛物线 的准线与半椭圆 ： 相交于A，B两点，且 ，
不妨设 ，则 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
【小问2详解】
证明：
法一：设点 、 、 ，且满足 .
由题意可知两条切线的斜率均存在，
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学科网（北京）股份有限公司设切线的方程为： ，
，消y得： ，
由 可得： .①
两条切线的斜率为方程①的两个根，所以： .
抛物线 即为： ，两边对x求导数得： ，
所以切线 的斜率为 ，切线 的斜率为 .
所以： ，即 ，所以 轴.
法二：设点 、 、 ，且满足 .
则直线 的方程为： ，与 联立可得： .
所以 ，即 ，即 ，所以 轴.
19. 已知函数 ， .
（1）若 ，函数 ，对任意 ，不等式 恒成立，
求实数 的取值范围；
（2）当 ， 时，求证： .
【答案】（1） ；
（2）证明见解析.
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）将 ， ，转化为 ，设
， 求出 ， 设 ，求出
，设 ，求出 ，从而得到 在 单调
递 增 ， 则 ， 即 ， 得 到 在 单 调 递 增 ， 则
，且当 ， ，对 和 讨论求解即可得到
的取值范围.
（2）由（1）可知，当 ，即 时， ，当且仅当 时取“=”.即
时 ， ， 则 . 设 ， 利 用 放 缩 法 和 裂 项 法 得 到
，求和即可得到证明.
【小问1详解】
， ，
因 ,不等式可化为 ，
设 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
所以 在 单调递增，则 ，
即 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，且当 ， ，
①当 时，即 时， ，即 ，
则 在 单调递增，所以 恒成立，符合题意;
②当 时，即 时， ，
若取 ，则 ，
所以存在 ，使 ，
则当 时， ，即 ，即函数 在 上单调递减，
此时 ，与原题 矛盾，不符合题意.
综上， 的取值范围是 .
【小问2详解】
要证 ,
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学科网（北京）股份有限公司即证 .
由（1）可知，当 ，即 时， ，当且仅当 时取等.
即 时， ，则 .
令 ，则 ，
则 ， ，…， ，
各式相加，得
.
所以当 ， 时， 成立.
公众号；高中试卷君
第23页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
