文档内容
2022 年天津市初中学业水平考试试卷
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页
至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟．
答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答
题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答
题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交
回．
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点
涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算 的结果等于（ ）
A. B. C. 5 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】直接计算得到答案．
【详解】
=
=
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算知识．
2. 的值等于（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．
【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：
学科网（北京）股份有限公司∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
∴根据正切定义， ，
∵∠A=45°，
∴ ，
故选 B．
【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键．
3. 将290000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用科学记数法的表示方式表示即可．
【详解】解： ．
故选：B
【点睛】此题考查科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多
少位，n与小数点移动的位数相同．解题关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．
【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误；
B．不是轴对称图形，故本选项错误；
C．不是轴对称图形，故本选项错误；
D．是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．
5. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．
【详解】解：几何体的主视图为：
故选：A
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细
观察和想象，再画它的三视图．
6. 估计 的值在（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7
之间
【答案】C
【解析】
【分析】根据 得到 ，问题得解．
【详解】解： ，
，即在5和6之间．
故选：C．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法确定 的整数部分是解本
题的关键．
7. 计算 的结果是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可．
【详解】解： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则．
8. 若点 都在反比例函数 的图像上，则 的大小
关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出 ，然后进行比较即可．
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式 ，得：
，解得 ；
，解得 ；
，解得 ；
∵-8<2<4，
∴ ，
故选： B．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
9. 方程 的两个根为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将 进行因式分解， ，计算出答案．
【详解】∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
10. 如图， OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若
AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（ ）
△
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用HL证明 ACO≌ BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．
【详解】解：∵AB⊥x轴，
△ △
∴∠ACO=∠BCO=90°，
∵OA=OB，OC=OC，
学科网（北京）股份有限公司∴ ACO≌ BCO(HL)，
△ △
∴AC=BC= AB=3，
∵OA=5，
∴OC= 4，
∴点A的坐标是（4，3），
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题．
11. 如图，在 ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将 ABM绕点A逆时针旋转得
到 ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
△ △
△
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．
【详解】解：∵将 ABM绕点A逆时针旋转得到 ACN，∴ ABM≌ ACN，
∴AB=AC，AM=AN，
△ △ △ △
∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；
∵ ABM≌ ACN，
∴∠ACN=∠B，
△ △
而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，
∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；
∵ ABM≌ ACN，
∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，
△ △
∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，
∴ ABC和 AMN都是等腰三角形，且顶角相等，
△ △
学科网（北京）股份有限公司∴∠B=∠AMN，
∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；
∵AM=AN，
而AC不一定平分∠MAN，
∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用
旋转不变性是解题的关键．
12. 已知抛物线 （a，b，c是常数， ）经过点 ，有下列结论：
① ；
②当 时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程 有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可知： ， ， ，
，
，即 ，得出 ，故①正确；
，
对称轴 ，
，
时， 随 的增大而减小， 时， 随 的增大而增大，故②不正确；
，
关于x的方程 有两个不相等的实数根，故③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练
掌握二次函数的性质并能应用求解．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 计算 的结果等于___________．
【答案】
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法即可求得答案．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握计算方法是解题的关键．
14. 计算 的结果等于___________．
【答案】18
【解析】
【分析】根据平方差公式即可求解．
【详解】解： ，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．
15. 不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者
的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵袋子中共有9个小球，其中绿球有7个，
∴摸出一个球是绿球的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
16. 若一次函数 （b是常数） 图的象经过第一、二、三象限，则b的值可以是
___________（写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一，满足 即可）
【解析】
【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵一次函数 （b是常数）的图象经过第一、二、三象限，
∴
学科网（北京）股份有限公司故答案为：1答案不唯一，满足 即可）
【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解
题的关键．
17. 如图，已知菱形 的边长为2， ，E为 的中点，F为 的中点，
与 相交于点G，则 的长等于___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接FB，作 交AB的延长线于点G．由菱形的性质得出
， ，解直角 求出 ，
，推出FB为 的中位线，进而求出FB，利用勾股定理求出AF，再证明
，得出 ．
【详解】解：如图，连接FB，作 交AB的延长线于点G．
∵四边形 是边长为2的菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵E为 的中点，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，即点B为线段EG的中点，
又∵F为 的中点，
∴FB为 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，即 是直角三角形，
∴ ．
在 和 中，
，‘
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，三角函数解直角三角形，三角形中位线的
性质，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，添加辅助线构造直角 是解题的关
键．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及 的一边上的
点E，F均在格点上．
学科网（北京）股份有限公司（Ⅰ）线段 的长等于___________；
（Ⅱ）若点M，N分别在射线 上，满足 且 ．请用无刻度
的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的
（不要求证明）___________．
【答案】 ①. ②. 见解析
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理，从图中找出EF所在直角三角形的直角边的长进行计算；
（Ⅱ）由图可找到点Q， ，即四边形EFBQ是正方形，因为
，所以 ，点M在EQ上，BM、BN与圆的交点
为直径端点，所以EQ与PD交点为M，通过BM与圆的交点G和圆心O连线与圆相交于
H，所以H在BN上，则延长BH与PF相交点即为N．
【详解】解：（Ⅰ）从图中可知：点E、F水平方向距离为3，竖直方向距离为1，
所以 ，
故答案为： ；
（Ⅱ）连接 ，与竖网格线相交于点O，O即为圆心；取格点Q（E点向右1格，向上3
格），连接 与射线 相交于点M；连接 与 相交于点G；连接 并延长，
与 相交于点H；连接 并延长，与射线 相交于点N，则点M，N即为所求，
理由如下：连接
学科网（北京）股份有限公司由勾股定理算出 ，
由题意得 ，
四边形 为正方形，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
从而确定了点 的位置．
【点睛】本题考查作图，锐角三角函数、圆周角定理，三角形全等的判定及性质，解题的
关键是掌握圆周角的定理．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推
理过程）
19. 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得___________；
（2）解不等式②，得___________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为___________．
【答案】（1）
（2）
学科网（北京）股份有限公司（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）通过移项、合并同类项直接求出结果；
（2）通过移项直接求出结果；
（3）根据在数轴上表示解集的方法求解即可；
（4）根据数轴得出原不等式组的解集．
【小问1详解】
解：移项得：
解得：
故答案为： ；
【小问2详解】
移项得： ，
解得： ，
故答案为： ；
【小问3详解】
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
【小问4详解】
所以原不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题
的关键．
20. 在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活
动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
学科网（北京）股份有限公司（1）本次接受调查的学生人数为___________，图①中m的值为___________；
（2）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．
【答案】（1）40，10
（2）平均数是2，众数是2，中位数是2
【解析】
【分析】（1）根据参加2项的人数和所占百分比即可求得总人数，再利用
×100%=百分比，即可求解．
（2）根据平均数、众数及中位数的含义即可求解．
【小问1详解】
解：由图可得，参加2项的人数有18人，占总体的45%，参加4项的有4人，
则 （人）， ，
故答案为：40；10．
【小问2详解】
平均数： ，
∵在这组数据中，2出现了18次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有 ，
∴这组数据的中位数是2．
则平均数是2，众数是2，中位数是2．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、众数和中位数的求法，理解两个
统计图中的数量关系是解题的关键．
21. 已知 为 的直径， ，C为 上一点，连接 ．
（1）如图①，若C为 的中点，求 的大小和 的长；
（2）如图②，若 为 的半径，且 ，垂足为E，过点D作 的
学科网（北京）股份有限公司切线，与 的延长线相交于点F，求 的长．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理得 ，由C为 的中点，得 ，从而
，即可求得 的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度；
（2）证明四边形 为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答
案．
【小问1详解】
∵ 为 的直径，
∴ ，
由C为 的中点，得 ，
∴ ，得 ，
在 中， ，
∴ ；
根据勾股定理，有 ，
又 ，得 ，
∴ ；
【小问2详解】
∵ 是 的切线，
∴ ，即 ，
∵ ，垂足为E，
∴ ，
同（1）可得 ，有 ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，于是 ，
在 中，由 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，
垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题．
22. 如图，某座山 的项部有一座通讯塔 ，且点A，B，C在同一条直线上，从地面
P处测得塔顶C的仰角为 ，测得塔底B的仰角为 ．已知通讯塔 的高度为 ，
求这座山 的高度（结果取整数）．参考数据： ．
【答案】这座山 的高度约为
【解析】
【分析】在 中， ，在 中， ，
利用 ，即可列出等式求解．
【详解】解：如图，根据题意， ．
在 中， ，
∴ ．
在 中， ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
答：这座山 的高度约为 ．
【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出
方程．
23. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓 ，超市离学
生公寓 ，小琪从学生公寓出发，匀速步行了 到阅览室；在阅览室停留
后，匀速步行了 到超市；在超市停留 后，匀速骑行了 返回学生公寓．
给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离 与离开学生公寓的时间 之
间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112
离学生公寓的距离/ 0.5 1.6
（2）填空：
①阅览室到超市的距离为___________ ；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________ ；
③当小琪离学生公寓的距离为 时，他离开学生公寓的时间为___________ ．
（3）当 时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】（1）0.8，1.2，2
（2）①0.8；②0.25；③10或116
学科网（北京）股份有限公司（3）当 时， ；当 时， ；当 时，
【解析】
【分析】（1）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
（2）根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整；
（3）根据（2）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当 时，y关于x的函数
解析式．
【小问1详解】
由图象可得，在前12分钟的速度为：1.2÷12=0.1km/min,
故当x=8时，离学生公寓的距离为8×0.1=0.8；
在 时，离学生公寓的距离不变，都是1.2km
故当x=50时，距离不变，都 是1.2km；
在 时，离学生公寓的距离不变，都是2km，
所以，当x=112时，离学生公寓的距离为2km
故填表为：
离开学生公寓 的时间/ 5 8 50 87 112
离学生公寓的距离/ 0.5 0.8 1.2 1.6 2
【小问2详解】①阅览室到超市的距离为2-1.2=0.8 ；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为：
2÷（120-112）=0.25 ；
③分两种情形：
当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为 时，他离开学生公寓的时间为：
1÷0.1=10 ；
当小琪返回与学生公寓的距离为 时，他离开学生公寓的时间为：
112+（2-1）÷｛2÷（120-112）｝=112+4=116min；
故答案为：①0.8；②0.25；③10或116
【小问3详解】
当 时，设直线解析式为y=kx，
把（12，1.2）代入得，12k=1.2,
解得，k=0.1
∴ ；
当 时， ；
当 时，设直线解析式为 ，
学科网（北京）股份有限公司把（82，1.2），（92，2）代入得，
解得，
∴ ，
由上可得，当 时，y关于x的函数解析式为 ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
24. 将一个矩形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 ，
点P在边 上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，
并与x轴的正半轴相交于点Q，且 ，点O的对应点 落在第一象限．设
．
（1）如图①，当 时，求 的大小和点 的坐标；
（2）如图②，若折叠后重合部分为四边形， 分别与边 相交于点E，F，试用
含有t的式子表示 的长，并直接写出t的取值范围；
（3）若折叠后重合部分的面积为 ，则t的值可以是___________（请直接写出两个不
同的值即可）．
【答案】（1） ，点 的坐标为
学科网（北京）股份有限公司（2） ，其中t的取值范围是
（3）3， ．（答案不唯一，满足 即可）
【解析】
【分析】（1）先根据折叠的性质得 ，即可得出 ，作
，然后求出 和OH，可得答案；
（2）根据题意先表示 ，再根据 ，表示QE，然后根据
表示即可，再求出取值范围；
（3）求出t=3时的重合部分的面积，可得从t=3之后重合部分的面积始终是 ，再求出
P与C重合时t的值可得t的取值范围，问题得解．
【小问1详解】
在 中，由 ，得 ．
根据折叠，知 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
如图，过点O′作 ，垂足为H，则 ．
∴在 中，得 ．
由 ，得 ，则 ．
由 ，
得 ， ．
学科网（北京）股份有限公司∴点 的坐标为 ．
【小问2详解】
∵点 ，
∴ ．
又 ，
∴ ．
同（1）知， ， ．
∵四边形 是矩形，
∴ ．
在 中， ，得 ．
∴ ．
又 ，
∴ .
如图，当点O′与AB重合时， ， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
解得t=2，
∴t的取值范围是 ；
学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
3， ．（答案不唯一，满足 即可）
当点Q与点A重合时， ， ，
∴ ，
则 .
∴t=3时，重合部分的面积是 ，
从t=3之后重合部分的面积始终是 ，
当P与C重合时，OP＝6，∠OPQ＝30°，此时t＝OP·tan30°＝ ，
由于P不能与C重合，故 ，
所以 都符合题意．
【点睛】这是一道关于动点的几何综合问题，考查了折叠的性质，勾股定理，含30°直角
三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形等．
25. 已知抛物线 （a，b，c是常数， ）的顶点为P，与x轴相交于点
和点B．
（1）若 ，
①求点P的坐标；
②直线 （m是常数， ）与抛物线相交于点M，与 相交于点G，当
取得最大值时，求点M，G的坐标；
（2）若 ，直线 与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴
的负半轴上的动点，当 的最小值为5时，求点E，F的坐标．
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）① ；②点M的坐标为 ，点G的坐标为 ；
（2）点 和点 ；
【解析】
【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再
用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点
M的坐标为 ，则点G的坐标为 ，再表示出MG的长，配方求
出最值得到M、G的坐标；
（2）根据 ，解析式经过A点，可得到解析式： ，再表示出P
点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点 ，作点N关于x轴的对称点 ，再
把 和 的坐标表示出来，由题意可知，当 取得最小值，此时
，将字母代入可得： ，
求出a的值，即可得到E、F的坐标；
【小问1详解】
①∵抛物线 与x轴相交于点 ，
∴ ．又 ，得 ．
∴抛物线的解析式为 ．
∵ ，
∴点P的坐标为 ．
②当 时，由 ，
解得 ．
∴点B的坐标为 ．
设经过B，P两点的直线的解析式为 ，
有 解得
∴直线 的解析式为 ．
∵直线 （m是常数， ）与抛物线 相交于点M，与 相交
于点G，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司∴点M的坐标为 ，点G的坐标为 ．
∴ ．
∴当 时， 有最大值1．
此时，点M的坐标为 ，点G的坐标为 ．
【小问2详解】
由（Ⅰ）知 ，又 ，
∴ ．
∴抛物线的解析式为 ．
∵ ，
∴顶点P的坐标为 ．
∵直线 与抛物线 相交于点N，
∴点N的坐标为 ．
作点P关于y轴的对称点 ，作点N关于x轴的对称点 ，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
当满足条件的点E，F落在直线 上时， 取得最小值，
此时， ．
延长 与直线 相交于点H，则 ．
在 中， ．
∴ ．
解得 （舍）．
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
则直线 的解析式为 ．
∴点 和点 ．
【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法
求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键．
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