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秘密★启用前
遂宁市高 2021 级第一次诊断性考试
数学（理科）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．执行如图所示的程序框图，若输入的 值为2023，则输出的 值为（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两个口袋中均装有1个黑球和2个白球，现分别从甲、乙两口袋中随机取一个球交换放入另一口袋，
则甲口袋的三个球中帢有两个白球的概率为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
5．已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ，则 （
）
A．2 B． C． D．
6．如图，正方形 的边长为4，E为 的中点， 为 边上一点，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．5
7．“ ”是“函数 的图象关于直线 对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上，若 ，
的面积为 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有 五个研学基地供选择，每
个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（ ）
A．420 B．460 C．480 D．520
10．若点 是函数 图象上任意一点，直线 为点 处的切线，则直线 倾斜角的取值范
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司围是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正方体 中，点 是线段 上的动点（含端点），点 是线段 的中点，
设 与平面 所成角为 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知 为坐标原点， 是椭圆 的左、右焦点， 分别为 的左、右顶
点． 为 上一点，且 轴，直线 与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ，直线 与
轴交于点 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数 满足 则 的最大值为________．
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数：________．
①偶函数；②最大值为2；③最小正周期是 ．
15．在正四棱台 内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若
，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为________．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16．若点 为 的重心， ，则 ________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生依据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评估，在
这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所
示列联表：
良 优 合计
甲生产
40 80 120
线
乙生产
80 100 180
线
合计 120 180 300
（1）通过计算判断，是否有 的把握认为产品质量与生产线有关系？
（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．
若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数 的分布列和数学期望．
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
其中 ．
18．（12分）
已知数列 与正项等比数列 满足 ，且________．
（1）求 与 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
从① ；② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（12分）
已知 为坐标原点，过点 的动直线 与抛物线 相交于 两点．
（1）求 ；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）在平面直角坐标系 中，是否存在不同于点 的定点 ，使得 恒成立？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（12分）
如图，在三棱柱 中，直线 平面 ，平面 平面 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，在棱 上是否存在一点 ，使二面角 的余弦值为 ？若
存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）
已知函数 （其中 为实数）．
（1）若 ，证明： ；
（2）探究 在 上的极值点个数．
（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，已知曲线 （其中 ），曲线 为参数，
，曲线 （t为参数， ）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求 的极坐标方程；
（2）若曲线 与 分别交于 两点，求 面积的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）令 的最小值为 ，正数 满足 ，证明： ．
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