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惠州市 2024 届高三第三次调研考试试
题数学
全卷满分150分，时间120分钟 2024. 1
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写
在答题卡上。
2. 作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目
的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3. 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写
在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1. 已知集合A={x∈N|x2-x-6<0},B={0,1,2,3},则A∩B=（ ）
A. {0,1} B. {0,1,2} C. {1} D. {1,2}
2. 设复数z满足|z-2i|=❑√3,z在复平面内对应的点为(x,y),则（ ）
A. (x-2)2+y2=❑√3 B. x2+(y-2)2=❑√3
C. x2+(y-2)2=3 D. x2+(y+2)2=3
3. 对于数列{a},“a=kn+b”是“数列{a}为等差数列”的（ ）
n n n
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 既非充分又非必要条件 D. 充要条件
4. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）
2 2 1 4
A. B. C. D.
3 5 3 3
π
5. 将最小正周期为π的函数f (x)=2sin（2ωx− ）+1（ω＞0）的图象向左平移
6
π
个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是（ ）
4
π kπ π
A. 对称轴为x=− + ，k∈Z B. 在［0， ］内单调递增
6 2 2
π kπ π
C. 对称中心为（− + ，1），k∈Z D. 在［0， ］内最小值为-1
6 2 2
6. 设F,F 是双曲线C：x2 - y2 =1的左、右焦点，过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，
1 2 1
a2 b2
垂足为M. 若|MF|=❑√3b,则双曲线C的离心率为（）
2
❑√3
A. ❑√3 B. C. 3 D. ❑√5
3
7. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可
见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五
面
体称为刍甍，今有一刍甍，底面 ABCD 为平行四边形，
EF//面
学科网（北京）股份有限公司ABCD,记该刍甍的体积为V,三棱锥E-ABD的体积为V
1 2
AB=a,EF=b,若V 2=2，则（）
V 5
1
1 1 2
A. 1 B. C. D.
2 3 3
8. 设定义在R上的函数 f(x)与g(x)的导函数分别为 f‘(x)和g‘(x),若f(x+2)-g(1-
x)=2,f‘(x)=g‘(x+1),且g(x+1)为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. f(x)是奇函数
B. 函数g‘(x)的图象关于点(1,0)对称
C. 点(2k,2)(其中k∈Z)是函数f(x)的对称中心
2023
D. =0
∑ g（k）
k=1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若a>b,c>d,则a+c>b+d B. 若a>b,c<0,则a2cab>b2 D. 若a>b>c>0,则 ＜
a a+c
10. 德国数学家狄利克雷(Dirichlet,1805-1859),是解析数论的创始人之一. 他提出了著
名的狄利克雷函数：D(x)={1, &x是有理数
，以下对D(x)的说法正确的是（ ）
0, x是无理数
A. D(D(x))=1
B. D(x)的值域为{0,1}
C. 存在x是无理数，使得D(x+1)=D(x)+1
D. ∀x∈R,总有D(x+1)=D(-x-1)
11. 在△ABC中，cos2A+cos2B=1,则下列说法正确的有（ ）
π
A. |sinA=|cosB| B. A+B=
2
1
C. sinA·sinB的最大值为 D. tanA·tanB=±1
2
12. 在四面体ABCD中，AB=CD=1,AC=AD=BC=BD=2,E,F,G分别是棱BC,AC,AD上的动点，且满
足AB,CD均与面EFG平行，则（）
❑√16
A. 直线AB与平面ACD所成的角的余弦值为
16
B. 四面体ABCD被平面EFG所截得的截面周长为定值1
1
C. 三角形EFG的面积的最大值为
8
7π
D. 四面体ABCD的内切球的表面积为
30
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 某电池厂有A,B两条生产线，现从A生产线中取出产品8件，测得它们的可充电次
数的平均值为210,方差为4;从B生产线中取出产品12件，测得它们的可充电次数的平
学科网（北京）股份有限公司匀值为200,方差为4. 则20件产品组成的总样本的方差为
(参考公式：已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和
样本方差分别为：m， ， ；n， ， 、记总的样本平均数为 ,样本方差为s2；
x s2 y s2 w
1 2
m n 1
w= x+ y；为s2= {m［s2+（x-w）2］+n［s2+（y-w）2］}
m+n m+n m+n 1 2
14. 若f(x)=2sin(x+φ)-sinx为偶函数，则φ= . (填写符合要求的一个值)
15. 如图在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，
∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量⃗PC在向量⃗BC上
的投影向量为 . (用向量BC来表示).
16. 已知N为抛物线x2=4y上的任意一点，M为圆x2+(y-5)2=4上的一点，A(0,1)
则2|MN|+|MA|的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分10分)
如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 满足 AB⊥AD,BC⊥AB,SA⊥底面 ABCD,且
SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求证：CB⊥平面SAB;
(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.
18. (本小题满分12分)
c
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 =2cosC
acosB+bcosA
(1)求角C;
4❑√3
(2)若CD是∠ACB的角平分线，且CD= ,c=❑√3，求△ABC的面积
3
学科网（北京）股份有限公司19. (本小题满分12分)
魔方是民间益智玩具，能培养数学思维，锻炼眼脑的协调性，全面提高专注力、观察
力、反应力. 基于此特点某小学开设了魔方兴趣班，共有100名学生报名参加，在一次训
练测试中，老师统计了学生还原魔方所用的时间(单位：秒),得到相关数据如下：
年级
人数
［50,80) ［80,110) ［110,140) ［140,170) ［170,200)
时间
低年级 2 8 12 14 4
高年级 10 22 16 10 2
(1)估计这100名学生这次训练测试所用时间的第78百分位数；
(2)在这次测试中，从所用时间在［80,110)和［110,140)内的学生中各随机抽取1人，记
抽到低年级学生的人数为X,求X的分布列和数学期望.
20. (本小题满分12分)
已知数列{a }满足：a +a =2n+7(n∈N*),且a =4.
n n+1 n 1
(1) 求数列{a }的通项公式；
n
(2) (2)已知数列{ }满足： ={ 1，n=1 ，定义使 • • …•
b b b b b b
n n log a ，n≥2，n∈N∗ 1 2 3 k
（n+2） n
(k∈N*)为整数的k叫做“幸福数”,求区间[1,2024]内所有“幸福数”的和.
学科网（北京）股份有限公司21. (本小题满分12分)
如图，已知半圆C ：x2+y2=b2(y≤0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于E点，半椭圆上C ：
1 2
y2 x2
=1（y＞0，a＞b＞0）焦点为F,并且△ABF是面积为 的等边三角形，将满足
+ ❑√3
a2 b2
{
y2 x2
+ =1，y≥0
的曲线记为“Г”.
a2 b2
x2+ y2=b2，y＜0
(1)求实数a,b的值；
(2)直线l:y=❑√2x与曲线T交于M、N两点，在曲线Г上再取两点S、T(S、T分别在直线l
两侧),使得这四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；
(3)设点K(0,t)(t∈R),P是曲线Г上任意一点，求|PK|的最小值.
22. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=(ax2+x+a)e-x(a∈R).
3
(1)若a≥0,函数f(x)的极大值为 ，求实数a的值；
e
(2)若对任意的a≤0,f(x)≤bln(x+1)在x∈(0,+∞)上恒成立，求实数b的取值范围.
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