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广西名校 2024 届新高考高三仿真卷（一）
数 学
本卷满分：150分，考试时间：120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的。
1．集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
3．已知椭圆C： （ ）的一个焦点与抛物线 的焦点重合，长轴长等于圆
的半径，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．某社区活动中心打算周末去照看养老院的老人，现有 4个志愿者服务小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要
学科网（北京）股份有限公司帮助的养老院可供选择，每个志愿者小组只去一个养老院，设事件 A为“4个志愿者小组去的养老院各不相
同”，事件B为“小组甲独自去一个养老院”，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6．“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或
个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区
二氧化碳的排放量达到峰值 （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量 y（亿吨）与时间t（年）满足函
数关系式 ，若经过5年，二氧化碳的排放量为 （亿吨）已知该地区通过植树造林、节能减排等形
式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为。（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？
（参考数据： ）（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
7．已知函数 在其定义域上不单调，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 的定义域为R，且对任意 ， 恒成立，叫
解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是
0.1
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是
C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
学科网（北京）股份有限公司D．若样本数据 ， ，…， 的标准差为8，则数据 ， ，…， 的标准差为32
10．已知函数 的图象为C，则（ ）
A．图象C关于直线 对称
B．图象C关于点 中心对称
C．将 的图象向左平移 个单位长度可以得到图象C
D．若把图象C向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 是奇函数
11．已知 ， ，且 ，下列结论中正确的是（ ）
A． 的最大值是 B． 的最小值是
C． 的最小值是8 D． 的最小值是
12．如图，在正方体 中，点M，N分别为棱 ，CD上的动点（包含端点），则下列说
法正确的是（ ）
A．当M为棱 的中点时，则在棱CD上存在点N使得
B．当M，N分别为棱 ，CD的中点时，则在正方体中存在棱与平面 平行
C．当M，N分别为棱 CD的中点时，过 ，M，N三点作正方体的截面，则截面为五边形
学科网（北京）股份有限公司D．三棱锥 的体积为定值
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若随机变量 ，且 ，则 的值是 ．
14．已知 的二项展开式中，偶数项的二项式系数之和为16，则展开式中 的系数为 ．
15．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且 ，点E为DC的中点，
则 ．
（15题图）
16．已知双曲线C： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，过 且与x轴垂直的直线
交双曲线于A，B两点，线段 与双曲线的另一交点为 C，若 ，则双曲线的离心率为
．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列 为公差不为零的等差数列， ，且满足 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 （ ），且 ，求数列 的前n项和 ．
18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ．
（1）求角A的大小；
（2）求 的最小值．
学科网（北京）股份有限公司19．如图1，矩形ABCD中， ，点E为CD的中点，现将△ADE沿AE折起，使得平面
平面ABCE，得到如图2所示的四棱锥D-ABCE，点P为棱DB上一点．
图1 图2
（1）证明： ；
（2）是否存在点P，使得直线EP与平面BCD所成角的正弦值为 ？若存在，求 的值；若不存
在，请说明理由．
20．随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出
新时代的光彩，由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮﹒某省某校为了了
解高二年级全部1000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试
成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区
间的中点值为代表）
（2）若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X近似服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数，
规定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；
（取整数）
（3）现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词
大会”．该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：
三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分．若学生甲在三个环
节中获胜的概率依次为 ， ， ．假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的．记学生甲在这次“诗词
学科网（北京）股份有限公司大会”中的累计得分为随机变量 ，求 的分布列和数学期 ．
（ 参 考 数 据 ： 若 ， 则 ，
， ．
21．椭圆C： （ ）的离心率为 ，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于 点，若存在实数 m，使得
，求m的取值范围．
22．已知函数 （ ）．
（1）当 ， 时，证明 ；
（2）当 时，讨论 的单调性；
（3）设 ，证明 ．
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