河南省濮阳市第一高级中学2024届高三上学期第三次质量检测数学_2024届河南省濮阳市第一高级中学高三上学期第三次质量检测

濮阳市一高 2021 级高三上学期第三次质量检测 数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 ＝（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题 ：存在 ， ，则命题 的否定为（ ） A. ：存在 ， B. ：任意 ， C. ：存在 ， D. ：任意 ， 3. 下列函数中，与函数 是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ，下列说法正确的是（ ） A. 无零点 B. 单调递增区间为 C. 的极大值为 D. 的极小值点为 5. 若函数 的定义域和值域均为 ，则 的值为（ ） . A B. C. D. 或6. 已知 为第二象限角， ，则 （ ） A. B. C. D. 7. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益 增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为 ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少 ，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过 ，若要使该工厂的废气达标排放， 那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据： ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， .若函数 在区间 上有10个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知集合 ,若 是 的充分条件,则a可以是（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 10. (多选题)已知a>0，且a≠1，函数y=log x，y=ax，y=x+a在同一坐标系中的图象不可能是（ ） a A. B. C. D.11. 已知 为锐角，且 ，则下列选项中正确的有（ ） A. B. . C D. . 12 已知函数 有两个极值点 ，则（ ） . A B. C. D. 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 集合 ，则集合 的子集的个数为________. 14. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________. 15. 已知 且 ，若函数 在R上单调递减，则a的取值范围为______． 16. 定义在 上的函数 满足 ， ， ，且当 时， ，则 _______． 四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 实数集为R，集合 集合 求（1） （2） ，求实数m的范围． 18. 已知 ． （1）化简 ； （2）已知 ，求 的值． 19. 已知函数 ， ，若 在处与直线 相切． （1）求 的值； （2）求 在 上的极值． 20. 已知函数 . （1）当 且 时，求函数 的单调区间； （2）若 ，关于 的方程 有三个不同的实根，求 的取值范围. 21. 某服装厂拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年 促销费用x（0≤x≤10）万元满足 .已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万 件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括 固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）. （1）将2022年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数； （2）该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，利润最大? 22. 已知函数 ．（1）求函数 的单调区间和最大值； （2）设函数 有两个零点 ，证明： ．濮阳市一高 2021 级高三上学期第三次质量检测 数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 ＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解一元二次不等式的方法，结合对数型函数的定义域、集合交集的定义进行求解即可. 【详解】 ， ， 所以 ， ， 则 ， 故选：B 2. 已知命题 ：存在 ， ，则命题 的否定为（ ） A. ：存在 ， B. ：任意 ， C. ：存在 ， D. ：任意 ， 【答案】B 【解析】 【分析】特称命题的否定为全称命题，否定的方法：改量词，否结论. 【详解】因为 ：存在 ， ， 所以 ：任意 ， ， 故选：B. 3. 下列函数中，与函数 是同一函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同一函数的定义依次判断选项即可. 【详解】解：函数 ，定义域为 . 选项A中 ，定义域为 ，故A错误； 选项B中 ，定义域为 ，故B错误； 选项 中 ，定义域为 ，故 正确； 选项D中 ，定义域为 ，故D错误. 故选：C. 4. 已知 ，下列说法正确的是（ ） A. 无零点 B. 单调递增区间为 C. 的极大值为 D. 的极小值点为 【答案】C 【解析】 【分析】由 的定义域为 ，可判定B不正确；求得 ，得到函数 的单调 性和极值的概念，可判定C正确，D不正确；结合单调性和 ，可判定A不正确. 【详解】由函数 ，可得定义域为 ，所以B不正确；又由 ，令 ，解得 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以当 时，函数 取得极大值，极大值为 ，无极小值， 所以C正确，D不正确； 当 时， ；当 时， ；当 时， ， 所以函数 在定义域内有一个零点，所以A不正确. 故选：C. 5. 若函数 的定义域和值域均为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】 整理 ,由二次函数的性质可知当 时, , ,由 值域为 求解即可 【详解】∵ , ∴当 时, , , 又 在 上的值域为 ,∴ ,解得 , 或 （舍去）, ∴ 故选：A 【点睛】本题考查二次函数性质的应用,考查已知函数的值域、定义域求参问题 6. 已知 为第二象限角， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据 为第二象限角， ，利用同角三角函数的基本关系求出 ，进而得到 ，代入计算即可求解. 【详解】因为 为第二象限角，且 ，所以 ， 则 ，所以 ， 故选： . 7. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益 增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为 ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少 ，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过 ，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据： ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】设该污染物排放前过滤的次数为 ，由题意 ，两边取以10为底的对数 可得 ，根据参考数据即可求解. 【详解】解：设该污染物排放前过滤的次数为 ，由题意 ，即 ， 两边取以10为底的对数可得 ，即 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，又 ，所以 ，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次. 故选：C. 8. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， .若函数 在区间 上有10个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知 和 都是周期为2的周期函数，因此可将 的零点问题转换为 和 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而 m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间. 【详解】由 得 是一个周期为2的奇函数， 当 时， ，因此 ， 因为 是奇函数，所以 ， ， 且 的周期为 ，且 ， ， ， ， 求 的零点，即是 与 的交点，如图： 为 与 在 区间的交点图形，因为 与 均为周期为2的周期函数， 因此交点也呈周期出现，由图可知 的零点周期为 ， 若在区间 上有10个零点，则第10个零点坐标为 ， 第11个零点坐标为 ，因此 . 故选：A 【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往可以转化为常见函数的交点的个数问题，而图象的刻画需结合 函数的奇偶性、周期性等来处理.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知集合 ,若 是 的充分条件,则a可以是（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据充分条件的概念,得出集合之间的包含关系,即可得出 的范围,选出选项. 【详解】解:因为 是 的充分条件, 所以 ,所以有 . 故选:AB 10. (多选题)已知a>0，且a≠1，函数y=log x，y=ax，y=x+a在同一坐标系中的图象不可能是（ ） a A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数y=log x，y=ax图象关于y = x对称且同一坐标系中底数a相同，而一次函数图象中a是 a y轴上的截距，即可判断各选项的正误 【详解】选项A，指数函数和对数函数图象可知a>1，而一次函数知a<1，故错误 选项B，函数y=ax与y=log x的图象关于直线y=x对称，故错误 a 选项C，正确; 选项D，指数函数和对数函数可知01，故错误 故选：ABD 【点睛】本题考查了对数函数图象及性质，结合同底指数函数、对数函数关于y = x对称，及一次函数性 质，判断图象的正误11. 已知 为锐角，且 ，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用同角的三角函数关系式进行运算逐一判断即可. 【详解】因为 ， 所以 ，而 为锐角， 所以 ，选项A正确； ， 所以选项C正确； 因为 为锐角， 所以 ， 因此选项D正确， 由 ， 所以选项B不正确， 故选：ACD 12. 已知函数 有两个极值点 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，转化为 有两个不同的根，令 ，求导得到其单调性和极值情况，画出函 数图象，数形结合得到 ；B选项，先得到 ，且 ，故 ；C选项，得到 ，且 ， ， D选项，构造 ，利用导数得到 ，从而得到 ， 再由 在 上单调性得到答案. 【详解】A选项， 定义为R，且 ， 由题意得 有两个变号零点， 令 ，即 有两个不同的根， 令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ，故 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 在 处取得极大值，也是最大值，且 ， 又当 时， ，当 时， ， 画出 的图象，如下， 故 ，A正确； B选项，由A选项可知， ，且 ， 故 ，B错误； C选项，由A选项可知， ，且 ， ，C正确； D选项，设 ， ， 则 ， 因为 ，所以 ， ，则 ，故 ， 故 在 上单调递增， 又 ， 而 ，故 ，即 ， 又 ，所以 ， 其中 ， ， 而由A选项可知， 在 上单调递减， 所以 ，即 ，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，极值点偏移问题，若等式中含有参 数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用 进行变 形，可构造关于 的函数，利用导函数再进行求解. 三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 集合 ，则集合 的子集的个数为________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意求得集合 ，结合集合中子集的定义，即可求解. 【详解】由方程 ，解得 或 ，即集合 ，所以集合 的子集为 ，共有4个子集. 故答案为：4. 14. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数 的定义域为 ，分别由 在 内求解 的集合，取交集后可得函数 的定义域． 【详解】解：∵函数 的定义域为 ， 由 ，得 ． ∴函数 的定义域为 ． 由 ，得 ． ∴函数 的定义域为 ． ∴函数 的定义域为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数定义域的求法，给出函数 的定义域为，求解函数 的定义域，只需由 在 内求解 的取值集合即可，是中档题． 15. 已知 且 ，若函数 在R上单调递减，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得 ，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意可知 在 上单调递减，则 ． 又 在 上单调递减， 所以 ，解得 ，且 ， 解得 ． 综上， ， 故a的取值范围为 ． 故答案为： . 16. 定义在 上的函数 满足 ， ， ，且当 时，，则 _______． 【答案】 【解析】 【 分 析 】 由 ， ， 可 得 ， 根 据 得 ， 反 复 套 用 后 得 到 ， 再 由 时 ， ，得到 ，所以 ，从而得到答案. 【详解】因为定义在 上的函数 满足 ， 令 ，得 ，令 ，得 ， 又因 ， 所以 ， ， ， ， 而 ， ， ， ， 又因为 满足当 时， ，所以根据 ，有 所以 ， 所以 . 故答案为 . 【点睛】本题考查抽象函数的性质，求抽象函数的函数值，属于中档题. 四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 实数集为R，集合 集合 求 （1） （2） ，求实数m的范围． 【答案】（1） 或 ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）解一元二次不等式和分式不等式，化简集合 ，再进行集合的运算； （2）对集合 分成空集和不为空集两种情况，再根据子集关系得到不等式组； 【详解】（1） ， ， 或 ， 或 ； （2） ，①当 时， ，解得： ； ②当 时， ； 综上所述： . 【点睛】本题考查集合的基本运算和基本关系，求解分式不等式时要注意端点能否取到，同时要借助数轴 进行集合的运算. 18 已知 ． . （1）化简 ； （2）已知 ，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式结合同角的三角函数关系化简，即可得答案. （2）利用二倍角正弦公式，结合齐次式法求值，可得答案. 【小问1详解】 由题意得 . 【小问2详解】 由 ，可得 ，则 . 19. 已知函数 ， ，若 在 处与直线 相切． （1）求 的值； （2）求 在 上的极值． 【答案】(1) (2) 极大值为 ，无极小值． 【解析】 【分析】（1）求导得到 ，根据切线方程联立方程组 解得答案. （2） 则 得到函数的单调区间，计算极值得到答案. 【详解】（1） ，∵函数 在 处与直线 相切， ∴ ， 即 ， 解得 ； （2）由（1）得： ，定义域为 ， ， 令 ，解得 ，令 ，得 ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， ∴ 在 上的极大值为 ，无极小值． 【点睛】本题考查了函数的切线问题，极值，意在考查学生的计算能力和对于函数知识的综合应用. 20. 已知函数 .（1）当 且 时，求函数 的单调区间； （2）若 ，关于 的方程 有三个不同的实根，求 的取值范围. . 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先求导数，根据导函数的零点情况对参数进行分类讨论，研究导函数的正负区间，进而得 到函数的单调区间； （2）将方程的根的问题转化为函数的图象与水平直线的交点个数问题，利用（1）的结论，研究函数的最 值和图象，进而得到参数的取值范围. 【详解】（1）函数 的定义域是 ， . ①当 时， 在 上恒成立， 在 上恒成立， 的增区间为 ， 的减区间为 . ②当 时， ， 在 和 上恒成立， 在 上恒成立. ∴ 时， 的增区间为 和 ， 的减区间为 . 综上所述，当 时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 . （2）若 ， ， 关于 的方程 有三个不同的实根，等价于 的图象与直线 有三个交点.， , 由 解得 或 由 ，解得 . ∴在 上 单调递增，在 上 单调递减，在 上 单调递增， ∴ ， ， 又∵当 趋近于 时 趋近于 ，当 在定义域 内趋近于0时， 趋近于- ，∴ 趋 近于- ， ∴ 的图象与直线 有三个交点时 的取值范围是 . 【点睛】本题考查利用导数求含参数的函数的单调区间问题和方程的零点问题，考查分类讨论思想和数形 结合思想，考查运算能力，逻辑思维能力，涉及利用导数求函数的最值.属中档题. 21. 某服装厂拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年 促销费用x（0≤x≤10）万元满足 .已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万 件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括 固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）. （1）将2022年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数； （2）该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，利润最大? 【答案】（1） ； . （2）投入 万元时，利润最大 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可； （2）对函数解析式进行配凑，运用基本不等式，即可求得利润的最大值. 【小问1详解】 由题意知：每件产品的销售价格为 ，，即 ； 【小问2详解】 由 ， 当且仅当 ，即 时取等号. 故该服装厂 年的促销费用投入 万元时，利润最大. . 22 已知函数 ． （1）求函数 的单调区间和最大值； （2）设函数 有两个零点 ，证明： ． 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分类讨论，研究单调性，求出最大值； （2）利用极值点偏移直接求解. 【小问1详解】 函数 的定义域是 . 当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，无最大值； 当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ． 【小问2详解】 ， 因为 为 的两个零点， 所以 ，不妨设 ． 因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ． 又证明 等价于证明 ， 又因为 在 上单调递增， 因此证明原不等式等价于证明 ，即要证明 ， 即要证明 ， 即 恒成立． 令 ， 则 ， 所以 在 上为减函数，所以 ， 即 在 时恒成立， 因此不等式 恒成立， 即 ． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导 数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）利用导数证明不等式．