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2022 年苏州市初中学业水平考试试卷数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相
应位置上．
1. 下列实数中，比3大的数是（ ）
A. 5 B. 1 C. 0 D. －2
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可．
【详解】解：因为－2＜0＜1＜3＜5，
所以比3大的数是5，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此
题的关键．
2. 2022年1月17日，国务院新闻办公室公布：截至2021年末全国人口总数为141260万，
比上年末增加48万人，中国人口的增长逐渐缓慢．141260用科学记数法可表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：141260＝ ，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】通过 ，判断A选项不正确；C选项中 、 不是同类项，不能合并；
D选项中，单项式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连
同它的指数不变，作为积的因式；B选项正确．
【详解】A. ，故A不正确；
B. ，故B正确；
C. ，故C不正确；
D. ，故D不正确；
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算，灵活运用相应运算法则
是解题的关键．
4. 为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“学党史，悟初心”系列活动．学校对学生参
加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为80
人，则参加“大合唱”的人数为（ ）
A. 60人 B. 100人 C. 160人 D. 400人
【答案】C
【解析】
【分析】根据参加“书法”的人数为80人，占比为 ，可得总人数，根据总人数乘以
即可求解．
【详解】解：总人数为 ．
则参加“大合唱”的人数为 人．
故选C．
【点睛】本题考查了扇形统计图，从统计图获取信息是解题的关键．
5. 如图，直线AB与CD相交于点O， ， ，则 的度数是（
）
学科网（北京）股份有限公司A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
【答案】D
【解析】
【分析】根据对顶角相等可得 ，之后根据 ，即可求出 ．
【详解】解：由题可知 ，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键．
6. 如图，在 的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的
顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等
可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击
中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的
比值．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30， ，
∴阴影部分面积为： ，
∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴
影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发
生的概率．
7. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代
数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算
术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一
百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路
慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步
为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，先令在相同时间 内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从
而得到走路快的人的速度 ，走路慢的人的速度 ，再根据题意设未知数，列方程即
可
【详解】解：令在相同时间 内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走
路快的人的速度 ，走路慢的人的速度 ，
设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得 ，
根据题意可列出的方程是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是
解决问题的关键．
学科网（北京）股份有限公司8. 如图，点A的坐标为 ，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方
向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为 ，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转
60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得
，可得 ，
，从而 ，即可解得 ．
【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：
∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，
∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，
学科网（北京）股份有限公司∴四边形EODC是矩形，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵A（0，2），C（m，3），
∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，
∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1，
∴ ，
在Rt△BCD中， ，
在Rt△AOB中， ，
∵OB＋BD＝OD＝m，
∴ ，
化简变形得：3m4−22m2−25＝0，
解得： 或 （舍去），
∴ ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的
代数式表示相关线段的长度．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡
相应位置上．
9. 计算： _______．
【答案】a4
【解析】
【分析】本题须根据同底数幂乘法，底数不变指数相加，即可求出答案．
【详解】解：a3•a，
=a3+1，
=a4．
故答案为：a4．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，在解题时要能灵活应用同底数幂的乘法法则，
熟练掌握运算性质是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司10. 已知 ， ，则 ______．
【答案】24
【解析】
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案 为：24．
【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解
题的关键．
11. 化简 的结果是______．
【答案】x
【解析】
【分析】根据分式的减法进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的减法，正确的计算是解题的关键．
12. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．
若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结
果．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3
∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不
符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．
故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边
关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
13. 如图，AB是 的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若 ，则
______°
学科网（北京）股份有限公司【答案】62
【解析】
【分析】连接 ，根据直径所对 的圆周角是90°，可得 ，由 ，
可得 ，进而可得 ．
【详解】解：连接 ，
∵AB是 的直径，
∴ ，
，
，
故答案为：62
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理
是解题的关键．
14. 如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，分别以A，C为圆心，
大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点
E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．
学科网（北京）股份有限公司【答案】10
【解析】
【分析】根据作图可得 ，且平分 ，设 与 的交点为 ，证明四边形
为菱形，根据平行线分线段成比例可得 为 的中线，然后勾股定理求得
，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得 的长，进而根据菱形的性
质即可求解．
【详解】解：如图，设 与 的交点为 ，
根据作图可得 ，且平分 ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
又 ， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
垂直平分 ，
，
四边形 是菱形，
， ，
，
学科网（北京）股份有限公司，
为 的中点，
中， ， ，
，
，
四边形AECF的周长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成
比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
15. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水
管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水
量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解．
【详解】解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度为 升/分钟，
3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容
器中的水全部排完，
则排水速度为 升/分钟，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数图象问题，从函数图象获取信息是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司16. 如图，在矩形ABCD中 ．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动
点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动
的速度为 ，点N运动的速度为 ，且 ．当点N到达点C时，M，N两点同时停止
运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形 ．若在某一时刻，
点B的对应点 恰好在CD的中点重合，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】在矩形ABCD中 ，设 ，运动时间为 ，得到
，利用翻折及中点性质，在
中利用勾股定理得到 ，然后利用 得到
，在根据判定的 得到 ，从而代值
求解即可．
【详解】解：如图所示：
在矩形ABCD中 ，设 ，运动时间 ，
为
学科网（北京）股份有限公司，
在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形 ，
，
若在某一时刻，点B的对应点 恰好在CD的中点重合，
，
在 中， ，则 ，
，
,
,
,
,
，
，
，则 ，
，即 ，
在 和 中，
，
，即 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题属于矩形背景下的动点问题，涉及到矩形的性质、对称性质、中点性质、两
个三角形相似的判定与性质、勾股定理及两个三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌
学科网（北京）股份有限公司握相关性质及判定，求出相应线段长是解决问题的关键．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，
解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色
墨水签字笔．
17. 计算： ．
【答案】6
【解析】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可；
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了零指数幂、绝对值、平方，准确化简式子是解题的关键．
18. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤求出解，再检验即可．
【详解】方程两边同乘以 ，得 ．
解方程，得 ．
经检验， 是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．即去分母，
去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．
19. 已知 ，求 的值．
【答案】 ，3
【解析】
【分析】先将代数式化简，根据 可得 ，整体代入即可求解．
【详解】原式
学科网（北京）股份有限公司．
∵ ，
∴ ．
∴原式
．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，代数式化简求值，整体代入是解题的关键．
20. 一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2
次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出
概率．
【小问1详解】
解：∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为： ．
故答案为： ；
【小问2详解】
解： 画树状图，如图所示：
共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为 ．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结
果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
21. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由矩形与折叠的性质可得 ， ，从而
可得结论；
（2）先证明 ，再求解
， 结合对折的性质可得答案．
【小问1详解】
证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，
则 ， ．
在△DAF和△ECF中，
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ．
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，熟练的运
用轴对称的性质证明边与角的相等是解本题的关键．
22. 某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，
并以同一标准折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5个成绩．为了
解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩，并用划记法制成了
如下表格：
成绩
6 7 8 9 10
（分）
正正 正
培训
划记 正
前
人数
12 4 7 5 4
（人）
成绩
6 7 8 9 10
（分）
培训 正 正正
划记 一
后 正
人数
4 1 3 9 15
（人）
（1）这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是m，培训后测试成绩的中
位数是n，则m______n；（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少？
（3）估计该校九年级640名学生经过培训，测试成绩为“10分”的学生增加了多少人？
【答案】（1）＜ （2）测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了25%
（3）测试成绩为“10分”的学生增加了220人
【解析】
【分析】（1）先分别求解培训前与培训后的中位数，从而可得答案；
（2）分别求解培训前与培训后得6分的人数所占的百分比，再作差即可；
（3）分别计算培训前与培训后得满分的人数，再作差即可．
【小问1详解】
解：由频数分布表可得：培训前的中位数为：
学科网（北京）股份有限公司培训后的中位数为：
所以
故答案为： ；
【小问2详解】
答：测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了25%．
【小问3详解】
培训前： ，培训后： ，
．
答：测试成绩为“10分”的学生增加了220人．
【点睛】本题考查的是频数分布表，中位数的含义，利用样本估计总体，理解题意，从频
数分布表中获取信息是解本题的关键．
23. 如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交
于点 ，与y轴交于点B，与x轴交于点 ．
（1）求k与m的值；
（2） 为x轴上的一动点，当△APB的面积为 时，求a的值．
【答案】（1）k的值为 ， 的值为6
（2） 或
【解析】
【分析】（1）把 代入 ，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反
比例函数的解析式可得答案；
学科网（北京）股份有限公司（2）先求解 ．由 为x轴上的一动点，可得 ．由
，建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：把 代入 ，
得 ．
∴ ．
把 代入 ，
得 ．
∴ ．
把 代入 ，
得 ．
∴k的值为 ， 的值为6．
【小问2详解】
当 时， ．
∴ ．
∵ 为x轴上的一动点，
∴ ．
∴ ，
．
∵ ，
∴ ．
∴ 或 ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形
面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
学科网（北京）股份有限公司24. 如图，AB是 的直径，AC是弦，D是 的中点，CD与AB交于点E．F是AB延
长线上的一点，且 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若 ， ，求AG的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）方法一：如图1，连接OC，OD．由 ， ，可得
，由 是 的直径，D是 的中点， ，进而可得
，即可证明CF为 的切线；
方法二：如图2，连接OC，BC．设 ．同方法一证明 ，即可证明
CF为 的切线；
（2）方法一：如图3，过G作 ，垂足为H．设 的半径为r，则 ．
在Rt△OCF中，勾股定理求得 ，证明 ，得出 ，根据
，求得 ，进而求得 ，根据勾股定理即可求得 ；
方法二：如图4，连接AD．由方法一，得 ． ，D是 的中点，可得
，根据勾股定理即可求得 ．
【小问1详解】
（1）方法一：如图1，连接OC，OD．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司∵ 是 的直径，D是 的中点，
∴ ．
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ．
∴CF为 的切线．
方法二：如图2，连接OC，BC．设 ．
∵AB是 的直径，D是 的中点，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵AB是 的直径，
∴ ．
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ．
∴CF为 的切线．
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：方法一：如图3，过G作 ，垂足为H．
设 的半径为r，则 ．
在Rt△OCF中， ，
解之得 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵G为BD中点，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司方法二：如图4，连接AD．由方法一，得 ．
∵AB是 的直径，
∴ ．
∵ ，D是 的中点，
∴ ．
∵G为BD中点，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知
识是解题的关键．
25. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
甲种水果质量 乙种水果质量 总费用
进货批次
（单位：千克） （单位：千克） （单位：元）
第一次 60 40 1520
学科网（北京）股份有限公司第二次 30 50 1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、
乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千
克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格
销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整
数m的最大值．
【答案】（1）甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元
（2）正整数m的最大值为22
【解析】
【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费
用列方程组即可；
（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利
润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可．
【小问1详解】
设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．
根据题意，得
解方程组，得
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
【小问2详解】
设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进 千克乙种水果，
根据题意，得 ．
解这个不等式，得 ．
设获得的利润为w元，
根据题意，得
．
∵ ，
∴w随x的增大而减小．
∴当 时，w的最大值为 ．
根据题意，得 ．
学科网（北京）股份有限公司解这个不等式，得 ．
∴正整数m的最大值为22．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本
题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，
利用一次函数的性质求最值．
26. 如图，在二次函数 （m是常数，且 ）的图像与x轴交于
A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于
点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求 的度数；
（2）若 ，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数 （m是常数，且 ）的图像上，
始终存在一点P，使得 ，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别令 等于0，即可求得 的坐标，根据
，即可求得 ；
（2）方法一：如图1，连接AE．由解析式分别求得 ， ，
．根据轴对称的性质，可得 ，由
，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，
学科网（北京）股份有限公司过点D作 交BC于点H．由方法一，得 ， ．证
明 ，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解；
（3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时
，即 ．
【小问1详解】
当 时， ．
解方程，得 ， ．
∵点A在点B的左侧，且 ，
∴ ， ．
当 时， ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
方法一：如图1，连接AE．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ， ， ．
∵点A，点B关于对称轴对称，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
即 ．
∵ ，
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∵ ，
∴解方程，得 ．
方法二：如图2，过点D作 交BC于点H．
由方法一，得 ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，即 ．
∵ ，
∴解方程，得 ．
学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
．
设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时 ，
即 ．
∵ ，
∴ ．
，
，
∴ ．
解得 ，
又 ，
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，角度问题，解直角三角
形，相似三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．
27. （1）如图1，在△ABC中， ，CD平分 ，交AB于点D， //
，交BC于点E．
①若 ， ，求BC的长；
②试探究 是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2， 和 是△ABC的2个外角， ，CD平分
，交AB的延长线于点D， // ，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为
学科网（北京）股份有限公司，△CDE的面积为 ，△BDE的面积为 ．若 ，求 的值．
【答案】（1）① ；② 是定值，定值为1；（2）
【解析】
【分析】（1）①证明 ，根据相似三角形的性质求解即可；
②由 ，可得 ，由①同理可得 ，计算 ；
（2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得 ，又 ，则
，可得 ，设 ，则 ．证明 ，可
得 ，过点D作 于H．分别求得 ，进而根据余弦的定义即可
求解．
【详解】（1）①∵CD平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∴ ．
②∵ ，
∴ ．
由①可得 ，
∴ ．
∴ ．
∴ 是定值，定值为1．
（2）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
设 ，则 ．
∵CD平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
如图，过点D作 于H．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是
解题的关键．
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