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晓书∙选修一 R J A
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考点1 命题与充要条件
充分性成立：条件结论； 必要性成立：结论条件
充要条件应用说明：
(1)唯一性：给定条件p,由p推出q成立时，q推出的结果不是唯一的p，则必要性不成立。
eg:x=1⇒x
日月既往何复追 1
=1，x =1⇒x=±1，则x=1是x =1的充分不必要条件。
(2)不等式推论：小范围不等式成立⇒大范围不等式成立，反之不成立。小推大，大不可推小
1 (5分)(2024•新高考Ⅱ)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则 ( )
A. p和q都是真命题 B. ￢p和q都是真命题 C. p和￢q都是真命题 D. ￢p和￢q都是真命题
2 已知向量a=(-1，2)，b=(3，m)，m∈R，则“m=-6”是“a∥(a+b)”的 ( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
π
3 “φ= ”是“函数y=sin(x+φ)为偶函数的” ( )
2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4 已知直线l：(a+4)x+ay+1=0，l ：(a-2)x+y+2=0，则“a=-1”是“l ∥l ”的 ( )
1 2 1 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
S
5 已知数列{a
n
}是各项均不为0的等差数列，前n项和为S
n
，设甲：
a
n
n
a
为等差数列；乙： n
n
为常数
列，则 ( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点2 乘法公式
最近几年的新高考中在解答题中对乘法公式有较多的考察，特别是一卷。
平方差公式：a2-b2=a-b
基 础
乘法公式
2 知行韶华长可期
(a+b)
完全平方和：a+b 2=a2+2ab+b2 a-b 2=a2-2ab+b2
完全立方和：
a+b
a+b
3=a3+3a2b+3ab2+b3
3=(a+b)(a+b)2
=(a2+2ab+b2)(a+b)
三项和平方：
a+b+c
(a+b+c)2=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
b换成-b
a-b+c 立方和公式： 2=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc
a3+b3=a+b
b换成-b
a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2
=(a+b)[(a+b)2 —3ab]
(a2-ab+b2)
考点3 基本不等式
最近几年高考纯粹考察该部分的情况较少，都是结合最值和非问题一起考察。
a+b
基本不等式： ≥ ab当且仅当a=b时取“=”号．[一正、二定、三相等]
2
变式一：a+b≥2 ab， 主要应用在求a+b和的最小值。
a+b
变式二：ab≤
2
2 a2+b2 (a+b)2
≤ 、a2+b2≥ 用于求ab积的最大值。
2 2
注意：变式1与2都是相通的，关键在于具体解题时对问题的构造与变形。
权方和不等式
a b a+ b
已知x,y,a,b∈R+，则有： + ≥
x y
2
，当且仅当x:y= a: b时，等号成立
x+y
6 若x+2y=4，则2x+4y的最小值是 ( )
A. 4 B. 8 C. 2 2 D. 4 2
4 9
7 设正数m，n满足 + =1，则m+n的最小值为 ( )
m n
A. 26 B. 25 C. 16 D. 9
2 1
8 已知a，b∈R+，a+2b=1，则 + 的最小值为 ．
a+2 b+1晓书∙选修一 R J A
考点4 对勾函数飘带函数
对勾函数(双勾函数、耐克函数)的图像与性质
b
解析式 f(x)=ax+
x
a>0,b>0 a<0,b<0 a>0,b<0 a<0,b>0
y y y y
图像
2 ab 2 ab
y=ax
y=ax b x - b x x x
a
a
y=ax
y=ax
渐近线 y=ax和y轴
定义域 x/x≠0
日月既往何复追 3
值域 yϵ-∞,-2 ab ∪2 ab,+∞ yϵ-∞,+∞
函函数数性性质质与与综综合合
考点1 函数奇偶性与单调性
性质判定：
-f(x),奇函数
奇偶性的判定：①定义域关于原点对称；②f(-x)=
f(x),偶函数
单调性的判定：①性质运算：增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=增函数,添加负号和变倒数,单
1
调性反转。注意：性质反转的同时,单调区间也可能发生改变,如：y= 。
g(x)
②复合函数中：利用“同增异减”判断
③运算类函数：利用“导函数的正负”判断
性质求参的方法
g(x,a),x0 a<0
Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0
图象
x x x x x
x x x 1 2
1 2
-b± b2-3ac -b± b2-3ac
极值点 x x = 无极值 x x = 无极值
1、 2 3a 1、 2 3a
1 f(x)不可能为偶函数；当且仅当b=d=0时是奇函数
性质
b b
2 三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(- ,f(- ))
3a 3a
20 (2024•新高考Ⅱ∙多选)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则 ( )
A. 当a>1时,f(x)有三个零点
B. 当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
C. 存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D. 存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
21 (2022•新高考Ⅰ∙多选)已知函数f(x)=x3-x+1,则 ( )
A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点
C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
日月既往何复追 722 (2024•新高考Ⅰ∙多选)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 ( )
A. x=3是f(x)的极小值点 B. 当0f(x)
考点2 指数与对数的计算
m
指数公式： a−n= an =
对数公式：log 1= log a= log an=
a a a
M
log (M∙N)= log = log Mn=
a aN a
alogaN= log N = log bm =
a an
指对互化：ax=N
定义 形如y=ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数 形如y=log x(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数
a
a>1 01 00 Aω<0
x x x
0 1 x
图8-1 图8-2
② 定起始：令ωx+φ=0 起始点x ，根据x 的正负情况及题意要求再加y轴；
0 0
1 1 π
③ 定间隔：第一条对称轴x =x + T，往后按照 T= 的间隔依次迅速标出剩余零点和对称轴。
1 0 4 4 2ω
π
注：余弦型函数用公式化为正弦型函数处理， 即：cosωx= ωx+
2
日月既往何复追 11
sin
π
30 (2025•青岛模拟)已知函数f(x)=sinωx+
3
π
+b的图象关于点 ，2
2
中心对称，则f(2π)= ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
π
31 (2025•天津模拟)将函数y=sin2x+
6
π
的图象向左平移 个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则
4
下列结论中正确的是 ( )
A. y=f(x)的图象关于直线x= π 对称 B. f(x)在区间 - π ， 5π
6 12 12
上单调递减
π 3π
C. f(x)在区间 ，
6 4
5π
内没有零点 D. y=f(x)的图象关于点 ，0
12
对称
π 32 (2025•包头二模)已知f(x)=sinωx+
6
(ω>0)在 - π ， π
6 4
上单调递增，则ω的取值范围是 ( )
2 A. 0，
3
4 B. 0，
3
C. 2 ， 4
3 3
D. 4 ，2
3
π
33 (2025•河北模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<
2
的最小正周期为π，且∀x∈R，f(x)≤
π f
6
．则当x∈ 0， π
4
时，y=f(x)的取值范围为 ( )A. 1 ， 3
2 2
12 知行韶华长可期
B. 1 ，1
2
C. [1， 3] D. [1，2]
1
34 (2025•苏州三模)设函数f(x)=2sin x+φ
2
-1，若f(x)在[0，5π]内恰有3个零点，则φ的取值不可以
为 ( )
π π π
A. 0 B. C. D.
6 4 3
35 (2025•安徽模拟)下列关于函数f(x)=|sin2x|+cos2x说法正确的是 ( )
3π
A. ，0
8
是函数f(x)图象的一个对称中心 B. f(x)的值域为[-1， 2]
C. f(x)在区间 π ， 5π
8 8
π 上单调递减 D. 直线x= 是函数f(x)图象的一条对称轴
8
导导函函数数晓书∙选修一 R J A
考点1 函数求导公式
(C)=0(C为常数) (xn)=n⋅xn−1 (ex)=ex
1 1
(lnx)=
x
(ax)=axlna (log ax)=
xlna
(sinx)=cosx (cosx)=−sinx tanx
日月既往何复追 13
=sec2x
考点2 切线方程
通过对切线斜率的研究，我们可以求解曲线相应的切线方程，切线方程也能用来研究函数的某些性质。
曲线f(x)在点x 0 ,f(x 0 ) 处的切线方程：
1 求f(x)，k=f(x )
0
2 切线方程为：y-f(x )=f(x )(x-x ) 0 0 0
过点(a,b)作曲线f(x)的切线方程：
1 设切点x 0 ,f(x 0 )
2 求f(x)，k=f(x ) 0
3 切线方程：y-f(x )=f(x )(x-x ) 0 0 0
④ ∵(a,b)在切线上
∴b-f(x )=f(x )(a-x ) x
0 0 0 0
36 求解下列与切线方程有关的内容：
(1)求曲线f(x)=x3+x2+1在P(−1,1)处的切线方程。
(2)函数f(x)=2(x+1)ln(x+1)．经过点(-1,-2)作函数f(x)图象的切线，求该切线的方程。
ex e
37 y= 在点1，
x+1 2
y
fx 0
x
处的切线方程 ( )
e e e e e 3e
A. y= x B. y= x C. y= x+ D. y= x+
4 2 4 4 2 4
38 若P是曲线y=lnx-x2上任意一点，则点P到直线l：x+y-4=0距离的最小值为 ( )
k=fx
0
x
0
y
fx
0
x
k=fx 0
x
0
△y
= △x
b
a
△y
△x
2
A. B. 2 C. 2 2 D. 4 2
2
39 求 f(x)=xlnx过P(0，-e)的切线方程。
考点3 端点效应与参数范围
超越函数
f(x,a)≥0 f(x) 设g(x) g(x) g(x) ∙∙∙∙∙∙ 直观判断
正负结束
①h(a)>0
f(x)在 m,n f(x)>0
g(x)单增 g(x)单增 g(x)>0
②h(a)<0 g(x)>g(m)=h(a) g(x)>g(m)=0 f(x)=0 0
14 知行韶华长可期
单增
f(x)在 m,x 0 上减 f(x)在x 0 ,n
在 m,n
上增
上研究
接二连三
x∈ m,n
分
类
讨 论 隐零点 单调性化为端点不等式
f(x)≥f(m)=0
时
端
点
效
应 ∵f(m)=0且f(x)在m,x 0
不等式成立，该参数范围可取
上减
∴在x∈ m,x 0
端点值为0
意味着单调性可继续往前推
主线可以继续朝前走，这样的
特点称“端点效应”
时，f(x)≤0，不等式不成立，该参数范围不可取
40 (2024•甲卷)已知函数f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x．
(1)当a=-2时，求f(x)的极值；
(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
41 (2024秋•成都月考)已知函数f(x)=ex-ax3-3ax2．晓书∙选修一 R J A
(1)若a=-1，求函数y=f(x)-ex的极值；
(2)若x≥0，f(x)≥x+1，求实数a的取值范围；
x
42 (2024•新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=ln +ax+b(x-1)3．
2-x
(1)若b=0，且f′(x)≥0，求a的最小值；
(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；
(3)若f(x)>-2当且仅当1x 2
两根均有意义，x g(x)恒成立的主要证明方法：
① 移项构造差函数：f(x)-g(x)>0，证明：f(x)-g(x)
18 知行韶华长可期
>0；
min
不等式证明很多时候重在对结构的变形与重组。上述差形式与商形式的构造只是证明方法的主线，在具体
解题时，我们会借助不等式的基本性质对结构进行变形和重组。主要从以下几个角度进行考虑：
① 分式型尽量化为整式型处理
② 含ex的在变形时，尽量与其他函数进行乘除，含lnx的在变形时，尽量保持独立存在。
47 (2023•新高考Ⅱ)证明：当00时，f(x)>2lna+ ．
2晓书∙选修一 R J A
数数列列的的通通项项与与和和
考点1 等差与等比数列公式
等差数列 等比数列
从第二项起，每一项与它的前一项的差等于常数 从第二项起，每一项与它的前一项的比等于常数
定义
即:
即:
通项
a n = =a m +n-m
日月既往何复追 19
d a = =a qn-m n m
中项
如果a,b,c成等差数列，则 如果a,b,c成等比数列，则
S =
n
na (q=1)
1
=
S =
和 n
d d = (q≠1)
= n2+(a − )n
2 1 2
49 (2021•新高考Ⅱ)记S 是公差不为0的等差数列{a }的前n项和，若a =S ，a a =S ．
n n 3 5 2 4 4
(1)求数列{a }的通项公式a ；
n n(2)求使S >a 成立的n的最小值．
n n
50 优优 (2023•乙卷)记S
n
为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11，S
10
=40．
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)求数列{|a |}的前n项和T．
n n
51 根据题意证明数列类型，并求{a }通项公式。
n
20 知行韶华长可期晓书∙选修一 R J A
(1) {a }满足：a =1，a =2a +2,证明:数列{a +2}是等比数列
n 1 n+1 n n
(2) {a n }满足：a n =a n a n+1 +a n+1 ， c,证明：数列 a 1
n
日月既往何复追 21
是等差数列
考点2 数列求通项公式方法
累加法
已知数列a
n
满足：a，a −a =f(n)，求数列a
1 n+1 n n
的通项公式。
类比得：a -a =f(n-1)，a -a =f(n-2)，⋯，a -a =f(2)，a -a =f(1)．
n n-1 n-1 n-2 3 2 2 1
所有等式左右两边分别相加，即：a =(a -a )+(a -a )+⋯+(a -a )+(a -a)+a
n n n-1 n-1 n-2 3 2 2 1 1
=f(n-1)+f(n-2)+⋯+f(2)+f(1)+a
1
累乘法
已知数列a
n
a
满足：a， n+1 =f(n)，求数列a
1 a n
n
的通项公式。
a a a a
类比得： n =f(n-1)， n-1 =f(n-2)，⋯， 3 =f(2)， 2 =f(1)
a a a a
n-1 n-2 2 1
a a a a
所有等式左右两边分别相乘，即：a = n × n-1 ×⋯× 3 × 2 ×a
n a a a a 1
n-1 n-2 2 1
=f(n-1)×f(n-2)×⋯×f(2)×f(1)×a
1
和方法
数列{a }前n项和为S 满足：恒等关系中含有S ，即：S =f(n)或S =f(a )，求数列a
n n n n n n n
的通项公式。
① 当n=1时，a =S
1 1
② 当n≥2时，a =S −S
n n n−1
③ 检验：当n=1时，a =S，是否满足a .
1 1 n和方法中，可将S 展开作为一个创新点。即：a +a +a + ∙∙∙ +a +a =S
n 1 2 3 n-1 n n
构造法
当数列a
n
22 知行韶华长可期
满足：a，a =pa +q，(p≠1，q≠0)即前后项之间有倍数差时：
1 n+1 n
递推式为： a =pa +q
n+1 n
待定系数： a +x=p(a +x)
n+1 n
变形还原： a =pa +px-x
n+1 n
a =pa +q q
联立对照： n+1 n x=
a =pa +px-x p-1
n+1 n
a +x
回代改写： n+1 =p
a +x
n
点明类型： a +x
n
以a +x为首项，以p公比的等比数列(在确定首项时，一定要先验证最小n值)
1
等比通项： a n +x=a 1 +x pn-1 a n =a 1 +x pn-1-x
上述过程不要求背，但是具体的构造方法与步骤需要记住。
52 数列a
n
满足：S =2n2+1，求a
n n
的通项公式。
53 记数列{a }的前n项和为S ，对任意n∈N*，有S =(n+1)(a -n)．证明：{a }为等差数列
n n n n n
1 1
54 {a }满足：a = ，a =2a + ，求a
n 1 2 n+1 n 2 n
的通项公式。晓书∙选修一 R J A
S 55 (2022•新高考Ⅰ)a 1 =1，证明： a n
n
日月既往何复追 23
1 是公差为 的等差数列，并且求a 3 n 的通项公式。。
考点3 数列求和方法
裂项相消法
1
已知数列b 满足：b = 即：b 的通项为分式(根式)结构，求数列b
n n a ∙a n n
n n+1
的前n项和S 。
n
分式裂项公式：
c 1 1
= −
小分母×大分母 小分母 大分母
c
×
大分母-小分母
注：由于裂项相消法针对分式数列，有时还会和分式的通法：分离常数法结合在一起。
qn c
拓展： 若b 满足：b = ，在利用上述分式裂项后 不出现常数时，需用下列裂项
n n a ∙a 大分母-小分母
n n+1
公式
qn 1 q
= −
小分母×大分母 小分母 大分母
×qn
错位相减法数列a n 满足：a n =an+b
24 知行韶华长可期
qn或a n =an+b qn-1即：a =等差×等比，求数列a n n 的前n项和S . n
等差 3n-1
如果遇到 建议大家改写为等差×等比后再往后做。改写方法： =3n-1
等比 2n
1
2
n
格式步骤如下：以a n =an+b qn为例
① 表示S ： S =a +a +a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a +a
n n 1 2 3 n−1 n
S =(a+b)q+(2a+b)q2+(3a+b)q3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(an+b)qn
n
② 表示qS ： qS = (a+b)q2+(2a+b)q3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(a(n−1)+b)qn+(an+b)qn+1
n n
③ 相减式：(1−q)S =(a+b)q+aq2+aq3+aq4+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+aqn−(an+b)qn+1
n
④ 计算化简： S
n
写出上述步骤后，最后的结果可以套公式求解。
若数列为a n =an+b qn，则：S n =An+B ⋅qn+1−B⋅q
若数列为a n =an+b qn-1，则：S n =An+B ⋅qn−B
a b-A
其中：A= (爱奇艺)， B= (不爱奇艺)
q−1 q−1
56 已知数列a
n
1 3
的通项为a = ×
n 2 4
n−1
,n∈N ,求数列na
+ n
的前n项和T。
n
57 (2025•锦江区校级模拟)已知数列{a n }满足a 1 = 3 5 ，(4a n +1)a n+1 =3a n ，S n 为数列 a 1
n
的前n项和．晓书∙选修一 R J A
(1)求证数列 1 -2
a
n
日月既往何复追 25
是等比数列；
(2)求数列{a }的通项公式；
n
(3)求数列
1
a
n
的前n项和S ．
n
2S
58 (2025•兴庆区校级三模)记数列{a }的前n项和为S ，已知a =3，a = n +3．
n n 1 n+1 n
(1)证明：数列{a }为等差数列；
n
(2)求数列
2n+1
S S
n n+1
的前n项和T．
n
考点4 奇偶数列之并项求和法(1) 奇偶数列的识别：①以奇数项和偶数项分段的分段数列； ②含(-1)n的数列。
(2) 奇偶数列的求和方法：并项求和法。步骤如下：
① 当n为偶数时，
常数 项数×常数
等差数列 等差和公式
等比数列 等比和公式
项数为n
2
1° b n +b n-1 = 等差±等比 分组求和 首项为b +b
1 2
分式数列 裂项相消
等差×等比 错位相减
2° T n =b 1 +b 2
26 知行韶华长可期
+b 3 +b 4 +∙∙∙∙∙∙+b n-1 +b n
② 当n为奇数时，T =T +b
n n-1 n
特别的，如果数列涉及T 的和，则用“分组求和法”求解，将奇数和偶数分开求。
2n
a -6，n为奇数
n
59 (2023•新高考Ⅱ)已知{a
n
}为等差数列，b
n
= ，记S
n
，T
n
为{a
n
}，{b
n
}的前n项和，
2a ，n为偶数
n
S =32，T =16．
4 3
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)证明：当n>5时，T >S ．
n n晓书∙选修一 R J A
向向量量与与解解三三角角形形
考点1 向量公式与运算
运 算 图形语言 符号语言 坐标语言
a=(x,y )，b=(x ,y )，则：
a 1 1 2 2
a⋅b=
数量积 θ a∙b=
b
a
模 长
日月既往何复追 27
|a|= (a)2
|a|=
a±b=
a
平 行 b=λa
b 交叉相乘差为零
垂 直 a a∙b=0
对应相乘和为零
b
b
投影向量 |b|cosa,b
a
a=x 1 ,y 1
a a⋅b
× = ×a
|a| |a|2
,b=x 2 ,y 2 ，则：
xx +yy
1 x2 2 +y2 1 2 ×x 2 ,y 2
1 1
考点2 正余弦定理
正弦定理 余弦定理 面积定理
S =
ΔABC
=2R S =
内 容 ΔABC
S =
ΔABC
60 (2022•新高考Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三
3 1
角形的面积依次为S，S ，S ．已知S -S +S = ，sinB= ．
1 2 3 1 2 3 2 3
(1)求△ABC的面积；
2
(2)若sinAsinC= ，求b．
361 (2021•新高考Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b=a+1，c=a+2．
(1)若2sinC=3sinA，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
考点3 面积周长与范围
无限定条件
题意没有对三角形做特殊限定时，可以利用基本不等式求解范围和最值。
① 余弦定理 平方和
② 见到下列词设，用该词设所对应的方法解题。
面积最值
面积 周长 最值
周长求解 周长最值
面积公式 完全平方公式 均值不等式
注： 周长的范围类问题中，下限由三角形构成条件：两边之和大于第三边确定。
限定条件
题意对三角形做了特殊限定以及一些特殊的范围问题，我们主要利用正(余)弦定理将边关系改写为三角函
数，将题意限定转化为角的限定，然后利用三角函数求解范围。
62 (2022•乙卷)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)．
(1)证明：2a2=b2+c2；
25
(2)若a=5，cosA= ，求△ABC的周长．
31
28 知行韶华长可期晓书∙选修一 R J A
63 锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a= 3且2c=2acosB+b．
(1)求A；
(2)求三角形ABC周长的取值范围；
(3)求三角形ABC面积的最大值．
考点4 图形拆解
(一)等分点
若引入的点为等分点，则可由“三点共线定理”得出向量关系，再通过对向量式左右两侧两边平方转化为
代数运算，进而解题。即：
若B、C、D三点共线 AD=λAB+1-λ
日月既往何复追 29
AC
1 1 1
则有：D为AB的中点 AD= AB+ AC= AB+AC
2 2 2
A
λ 1-λ
1 2
D满足:BD=2CD AD= AB+ AC B D C
3 3
(二)角平分线
如图，若AD为∠BAC的平分线， 设A=2α，则有：
A
S △ABC =S △ABD +S △ACD α α
1 1 1
bcsin2α= c⋅ADsinα+ b⋅ADsinα
2 2 2
A
2bc∙cos =(b+c)∙AD B D C
2
另外：由等面积思路可得面积比：S 1 BD∙h 1 AB∙AD∙sinα
△ABD = 2 = 2
S △ACD 1 CD∙h 1 AC∙AD∙sinα
2 2
S AB BD
△ABD = = 肩之比等于底之比
S AC CD
△ACD
30 知行韶华长可期
上述两个内容在涉及引入线AD长时使用，其功能类似余弦定理。
64 (2023•新高考Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为 3，D为BC
的中点，且AD=1．
π
(1)若∠ADC= ，求tanB；
3
(2)若b2+c2=8，求b，c．
1
65 (2024•四川模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 c+b=acosC．
2
(1)求角A；
(2)若b=3，c=5，∠BAC的角平分线交BC于D，求AD的长．晓书∙选修一 R J A
立立体体几几何何
考点1 立体几何结构特征
(一)多面体
若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。包含棱柱、棱锥、棱台。
顶点
侧
侧 侧 上底面缩小为点 棱 用平行于底面 侧
棱 面 的平面截棱锥 棱
底面 底面 底面
两底面互相 底面是多边形 两底面互相
侧面都是 侧面都是 侧面都是
侧棱 各侧面有一个公共 各侧棱延长线交于一点
S =2S +S S =S +S S =S +S
柱表 底面积 侧面积 锥表 底面积 侧面积 台表 底面积 侧面积
V = V = V=
柱 锥
注：侧棱与底面 的棱柱称 。底面是 ，侧面是 的棱锥称 。
(二)旋转体
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；
封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。常见旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
母 用平行于底面
母 轴 上底面缩小为点 线 轴 的平面截圆锥 母
线 线 轴
底面 底面 底面
两底面互相 底面是 两底面互相
所有母线 所有母线 所有母线
S =2S +S S =S +S S =S +S
柱表 底面积 侧面积 锥表 底面积 侧面积 台表 底面积 侧面积
V = V = V=
柱 锥
日月既往何复追 31考点2 空间球表面积与体积
球截面性质
球截面为圆，并且截面圆的圆心O 与球心O的连线OO 垂直于球截面α。
1 1
O O
α
O
1
α 球截面
确定求心法
第一步：计算截面(底面)圆的半径r。
如图，将内接几何体的底面或者某一侧面抽出为平面图形，可知：⊙O 是△ABC的外接圆，有如下结论：
1
BC AC AB
① 若△ABC为一般三角形，则在△ABC中有正弦定理： = = =2r
sinA sinB sinC
② 若△ABC为等边三角形(设边长为a)，根据等边三角形三线合一的性质，有：△ABC的内心(内切圆圆
心，三内角角平分线交点)、外心(外接圆圆心，三边中垂线交点)、重心(三边中线交点)重合为一个点即O (三
1
2 3
心合一)。根据重心的性质(重心到顶点的距离与到对边中点的距离比为2:1)可得：r= CD= a
3 3
π
③ 若△ABC为直角三角形(设C= )，根据直径所对圆周角为直角，可知：AC为圆的直径，有：r=
2
1
AB
2
1
④ 底面是对角互补的四边形的几何体才有外接球。矩形外接圆中，有：r= 对角线
2
C C C
P
A
r r r
r
C O 抽 出 底 面 A O 1 A O 1 O 1 r
D B
B
A B
B
一般三角形 等边三角形 直角三角形
第二步：根据截面圆性质列勾股方程。
设内接几何体的高为h，球心与截面的距离OO =d，根据球截面的性质有：R2=r2+d2，其中：
1
h h
① 几何体为柱体时，其外接球球心在棱柱的中心面(过中心平行于底面)上，∴d= ,有：R2=r2+( )2
2 2
② 几何体为锥体并且满足：PO ⏊面ABC时，d=h-R,有：R2=r2+(h-R)2
1
③ 几何体为一般锥体(其它模型参照后面内容)时，往往需要两个截面圆来辅助确定d,有：R2=r2+d2
P
A 1 C 1 A 1 C 1 A 1 C 1 B 1
B B
o 1 1 o o h
R R R o
h C C h h C R
C
A r o 1 B A B r o 1 A r o 1 B A r o 1
B
32 知行韶华长可期晓书∙选修一 R J A
双半径单交线公式
设：平面 ABC⊥ 平面 BCD，ABC∩BCD=BC=l,三棱锥A-DBC外接球半径R， A
△ABC 和 △BCD 外接圆半径分别为 r ,r (r 、r 的求解方法参照确定球心法进行求
1 2 1 2
解)。
B
D
l2
则有： R2=r2+r2-
1 2 4 C
该公式称为双半径单交线公式。
触发：当题意出现“线面垂直”这个条件时，将其转化为面面垂直，即可套用该模型。
66 在三棱锥A-BCD中，BC⊥BD，AB=AD=BD=4 3，BC=6，平面ABD⊥平面BCD，则三棱
锥A-BCD的外接球体积为 ( )
256π 500π
A. 36π B. C. D. 288π
3 3
日月既往何复追 3367 在直三棱柱ABC-ABC 中，ΔABC为等边三角形，AB=2 3，BB =2 5，则三棱柱ABC-ABC
1 1 1 1 1 1 1
的外接球的表面积为 ( )
A. 64π B. 36π C. 27π D. 16π
考点3 法向量的计算
步骤：
建立坐标系求各个点的坐标平面内直线的方向向量法向量
法向量具体求法：
设平面ABC中，CA=(0，0， 6)，AB=(- 3,1,0)，求平面ABD的法向量。
书写格式 设平面ABC的法向量n=(x，y，z)
n∙CA=0
则有： n=(1， 3，0)
n∙AB=0
具体计算 方程组法
n ∙C A =0 6z=0 z=0 x=1
由 取x=1，则 得 y= 3 n=(1， 3，0)
n∙AB=0 - 3x+y=0 - 3+y=0
z=0
行列式法
草稿纸上计算：将CA与AB的坐标写两遍，谁写上方谁写下方都可以
0 0 6 0 0 6 所得结果约去公因式
划掉首尾 得法向量：
- 3 1 0 - 3 1 0
n=(1， 3，0)
十字相乘求差： 0- 6, -3 2-0, 0-0
34 知行韶华长可期晓书∙选修一 R J A
考点4 空间角与距离公式
夹角 直线AB、CD夹角 直线AB与面α夹角 二面角 点P到面α距离
AB∙CD
公式 cosθ=
日月既往何复追 35
AB CD
AB⋅m
sinφ=
AB m
n⋅m
cosφ=
n m
AP⋅m
d=
m
B n P
AB m β m m d α
图示 无 φ
A α φ α A B
例1.(2022•甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD=DC=CB=1，AB=2，
DP= 3．
P
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
D C
A B68 (2023•新高考Ⅱ)如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E
为BC中点．
(1)证明BC⊥DA；
(2)点F满足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值．
F
A
C
E
D B
36 知行韶华长可期晓书∙选修一 R J A
考点5 线段上动点的处理方法
设四棱锥P-ABCD中，PA⏊ABCD, 底面ABCD为正方形，PA=AB=2.动点在空间任意棱上时。
如图，点E在棱PC上时，设Ex,y,z
日月既往何复追 37
,∵E在棱PC上，∴PE=λPC，0<λ<1在棱上不包括端点 .
即：PC=(2，2，-2)，PE=(x，y，z-2)
x=2λ
∵PE=λPC y=2λ E(2λ，2λ，2-2λ)
z=2-2λ
z
P
E
D
A y
B
C
x
69 (2018•新课标Ⅱ)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2 2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的
中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
P
O
A C
M
B考点6 曲线上动点的处理方法
今年八省联考主要突出的内容。值得关注。
圆上动点三角换元模型
设圆方程：x-a
38 知行韶华长可期
2+y-b
y
P
2=r2，动点P是圆上一点 C α
如图， 设∠PCx=α，根据三角函数的定义及其坐标转化有：
x=a+rcosα
y=b+rsinα x
70 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, AD=3,AP=2,BC=1,PA⊥ 底面 ABCD , 面 PAC⊥ 面 PCD .
(1)求三棱锥 P-ACD 体积的最大值；
(2)若四边形 ABCD 为直角梯形, ∠BAD=90° ,BC⎳AD ,求二面角 B-PC-D 的正弦值.
a
b
P
A D
B C晓书∙选修一 R J A
71 如图,四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD , AB⊥AD , AD⎳BC , AD=2AB=2BC=2 .
(1)证明:平面 PAC⊥ 平面 PCD
2
日月既往何复追 39
若 PA=2 ,动点 M 在 △PAD 内(含边界)且 MB2+MD2=5 .
① 求动点 M 的轨迹的长度；
P
②设直线 CM 与平面 PBD 所成角为 θ ,求 sinθ 的取值范围.
A
D
B C直直线线与与圆圆
考点1 直角坐标公式
中点坐标公式 两点间距离公式 点到线距离公式 平行线间的距离公式
x+x
x = 1 2 公式 0 2 AB
y+y
y = 1 2
0 2
40 知行韶华长可期
= x 2 -x 1 2+y 2 -y 1 2 d= Ax 0 +By 0 +C d= C 2 -C 1
A2+B2
A2+B2
y y y P y
y B y B
2 2
图示 y 0 Q d d
y y
1 A 1 A
x x
x 1 x 0 x 2 x x 1 x 2 x
考点2 圆方程
圆的标准方程：x-a 2+y-b 2=r2
圆心：(a,b)，半径为r
圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0
D
配方：x+
2
2 E
+y+
2
2 D2+E2-4F
=
4
D E
圆心：- ,-
2 2
D2+E2-4F
，半径r=
2
最好会配方的方法，死记硬背上面的公式不是长久之计。
考点3 直线与圆位置关系及其模型
位置关系 相 离 相 切 相 交
l l A
图 示 d d d B
O r O r O r l
通过比较圆心O到直线l的距离来d判断位置关系的方法
几何方法 Aa+Bb+C
d=
A2+B2
d>r d=r db>0
a2 b2
x2 y2
- =1a>0,b>0
a2 b2
y y
a 虚轴 a
b b
图 示
F 1 O c F 2 x F 1 c F 2 x
实轴
轴 长 短轴长=2b 长轴长=2a 虚轴长=2b 实轴长=2a
离心率 c b2
e= = 1- a2=b2+c2
a a2
c b2
e= = 1+ c2=a2+b2
a a2
通 径 过曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB
2b2
= (最短焦点弦)
a
性质部分，最近几年主要侧重离心率与焦点三角形的考察。晓书∙选修一 R J A
离心率的求解：
① 结合曲线定义；椭圆中：PF +PF =2a 双曲线中：|PF|-|PF|=2a
1 2 1 2
② 解焦点三角形：余弦定理or勾股定理or特殊三角形的性质
在求解过程中，会结合曲线的其它性质一起考察：如曲线对称性、范围、渐近线等内容
x2 y2
75 (2023•新高考Ⅰ)已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F．点A在C上，
a2 b2 1 2
2
点B在y轴上，FA⊥FB，FA=- FB，则C的离心率为 ．
1 1 2 3 2
x2
76 (2023•甲卷)设F，F 为椭圆C： +y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF•PF =0，则|PF|•|PF|=
1 2 5 1 2 1 2
( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
x2 y2
77 已知直线y=kx(k≠0)与椭圆C： + =1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过椭
a2 b2
圆的左焦点F，若|FA|=2|FB|，则椭圆C
1 1 1
的离心率是 ( )
5 5 5 5
A. B. C. D.
2 4 3 9
日月既往何复追 4378 (2021•甲卷)已知F，F 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FPF =60°，|PF|=3|PF|，则C
1 2 1 2 1 2
的离心率为 ( )
7 13
A. 7 B. 13 C. D.
2 2
考点2 点差法
曲 线 圆 椭 圆 双曲线
y y y
B B M
B
图 示 A M A M A
O x O x O x
离心率 e=0 01
b2 b2
k ⋅k =-1 k ⋅k =− k ⋅k =
AB OM AB OM a2 AB OM a2
中点弦定理
统一形式：k ⋅k =e2-1
AB OM
考点3 抛物线性质
定 义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线
方 程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
y P P y y y
p
P
y=2
图 象
F
x
p F x F p x x F
x=-2 x=2 p P
y=-2
p
焦 点 F ,0
2
44 知行韶华长可期
p
F- ,0
2
p
F0,
2
p
F0,-
2
p p p p
准 线 x=- x= y=- y=
2 2 2 2晓书∙选修一 R J A
考点4 抛物线焦点弦
p
设AB过抛物线y2=2px焦点，直线AB方程为：x=ty+ ，交点为A(x ,y )、B(x ,y )，直线AB的倾
2 1 1 2 2
斜角为α， 准线l交x轴于P，过A作AM⊥x轴，作AN⊥l，PF
日月既往何复追 45
=p， 弦AB的中点为G(x ,y )，则： 0 0
坐标方法
如图，由抛物线定义知：AF =AN
p
=x + ，即： 1 2
AF
p
=x + 1 2
上述表达式称为抛物线的焦半径。同理有：BF p =x + 2 2
引论 1 AB =AF +BF
p
=x +x +p=2x + 1 2 0 2
由AB =x +x +p联想到韦达定理则有： 1 2
2
p
x=ty+ p2
联立 y2=2px 2 y2-2pty-p2=0 y 1 y 2 =-p2 x 1 x 2 = 4
由AB
p
=2x + 0 2
p 1
可得：AB中点G到准线l的距离d=x + = |AB|，由此可知： 0 2 2
3 以焦点弦AB为直径的圆与准线l相切
由同样的推导方法可得：以焦半径AF为直径的圆与y轴相切
△ANH≌△AHF FH⏊AB
由圆得：① ∠HAG=∠AHG
GH//AN//SB//x轴
② △AHF∾△BFH(射影定理) HF2=AF∙BF
③ HA、HB为抛物线的切线*(切线问题解答题中考察较多)
角的方法
如图，在Rt△AFN中，有：MF =AF ⋅cosα
∵ AN =PF +FM =p+AF AF cosα =AN AF =p+AF cosα，故：
AF
p
=
1-cosα
上述表达式称为抛物线的焦半径。同理有：BF
p
= (长减短加)
1+cosα
引论 1 AB =AF +BF
2p 2p 1
= = =2p1+
1-cos2α sin2α k2
2
1 1 1-cosα 1+cosα 2
+ = + =
|FA| |FB| p p p
3
1
S = OF △AOB 2 ⋅y 1 -y 2
p
= ×AB 4
p2
sinα= 2sinα
若AB为过x2=2py(p>0)焦点的弦，A(x,y)、B(x ,y )，倾斜角为α， 则：
1 1 2 2
AF
p
= BF
1-sinα
p
= AB
1+sinα
y
A N
P O F x
B
y
A
N
H G
P O F x
S
B
y
A
N
α
P O F M x
α
B
2p p2
= S =
cos2α △AOB 2cosα79 (2023•新高考Ⅱ∙多选)设O为坐标原点，直线y=- 3(x-1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且
与C交于M，N两点，l为C的准线，则 ( )
8
A. p=2 B. |MN|=
3
C. 以MN为直径的圆与l相切 D. △OMN为等腰三角形
80 (2022•新高考Ⅱ∙多选)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两
点，其中A在第一象限，点M(p，0)．若|AF|=|AM|，则 ( )
A. AB的斜率为2 6 B. |OB|=|OF|
C. |AB|>4|OF| D. ∠OAM+∠OBM<180°
46 知行韶华长可期晓书∙选修一 R J A
81 (多选)直线l经过抛物线C：x2=8y的焦点为F，且与抛物线相交于A(x ，y )，B(x ，y )(x >x )两
1 1 2 2 1 2
点，则下列结论一定正确的是 ( )
A. xx =-16
1 2
B. 以线段AB为直径的圆与直线y=-2相切
π
C. 当直线l的倾斜角为 ，AF=3FB
3
D. 过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则|CD|2=4|AF|•|BF|
考点5 弦长与面积
弦长公式
正设直线：y=kx+b，弦长公式：AB
日月既往何复追 47
= 1+k2 x 1 +x 2 2-4xx 1 2
∆
= 1+k2∙ A
反设直线：x=my+a，弦长公式：AB = 1+m2 y 1 +y 2 2-4yy 1 2
∆
= 1+m2∙ A
由此，求弦长的步骤为：
直曲联立 一元二次方程 判别式∆ 弦长公式
面积最值的模型
常用结构的变形与应用列举：
(1) S=
2t 同除t 2
均值不等式或对勾函数求最值
t2+64 t+64
t
(2) S=
t2+1 换元 m
应用(1)的方法
t2+2 m= t2+1 m2+1(3) S=
4t2+5t+1 齐次分式分离常数
1+
t 同除t
1+
1
均值不等式
4t2+4t+1 4t2+4t+1 4t+1 +4
t
(4) S=m
48 知行韶华长可期
∙ 4- 1 m2 改为全分式 1 m2(-m2+8) 基本不等式
2 2 a+b
ab≤
2
≤ 1 × m2-m2+8 = 2
2 2 2
注：上述(4)也可将其视为二次函数模型处理，应用基本不等式时须写明取等条件。
x2 y2 6
82 (2021•新高考Ⅱ)已知椭圆C的方程为 + =1(a>b>0)，右焦点为F( 2，0)，且离心率为 ．
a2 b2 3
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是|MN|= 3．晓书∙选修一 R J A
x2 y2
83 已知O为坐标原点，椭圆C： + =1(a>b>0)的左，右焦点分别为点F，F，F 又恰为抛物线
a2 b2 1 2 2
D：y2=4x的焦点，以FF 为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点．
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l与D相交于A，B两点，记点A，B到直线x=-1的距离分别为d ，d ，|AB|=d +d ．直
1 2 1 2
线l与C相交于E，F两点，记△OAB，△OEF的面积分别为S，S ．
1 2
(i)证明：△EFF 的周长为定值；
1
S
(ii)求 2 的最大值．
S
1
日月既往何复追 49考点6 角平分线性质
如图，设直线l与椭圆交于M、N两点，平面上存在一点Px 0 ,y 0
50 知行韶华长可期
,
若有：
PM MH
y=y 是∠MPN的角平分线 / x=x 是∠MPN的角平分线 / =
0 0 PN NH
则有： k +k =0
PM PN
即：垂直于x轴或平行于x轴的直线为∠MPN的角平分线时，均有两引线斜率互为相反数。
y
y
M
M
P
α
P α H P α α
N x x
N M H
N
证明：如图1，直线MP的倾斜角为α，由角平分线可知：直线NP的倾斜角为π-α
由此可知：k +k =tanα+ π-α
PM PN
tan =0
84 (2018•新课标Ⅰ)设抛物线C：y2=2x，点A(2，0)，B(-2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM=∠ABN．晓书∙选修一 R J A
x2 y2
85 如图所示，已知椭圆E： + =1(a>b>0)过点M(2 2， 2)，且满足a=2b，O为坐标原点，平
a2 b2
行于OM的直线交椭圆E于两个不同的点A，B．
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线AM与x轴交于点C．证明∠BMC的内角平分线所在直线与x轴垂直．
考点7 曲线对称性与齐次化
设过原点的直线l与曲线交于A、B两点，曲线上存在异于A，B两点的点P(x ,y )，则有：
0 0
k ⋅k =e2-1
PA PB
即：
曲 线 圆 椭 圆 双曲线
y y y
B P
B
P P
图 示 B
O x O x A O x
A
A
b2 b2
k ⋅k =-1 k ⋅k =− k ⋅k =
定理 AB OM AB OM a2 AB OM a2
统一形式：k ⋅k =e2-1
AB OM
日月既往何复追 5186 (2023•新高考Ⅱ)已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为(-2 5，0)，离心率为 5．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A，A ，过点(-4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，
1 2
直线MA 与NA 交于P，证明P在定直线上。
1 2
52 知行韶华长可期晓书∙选修一 R J A
x2
87 (2020∙新课标Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E： +y2=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，
a2
AG•GB=8．P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E的方程；
y
P
(2)证明：直线CD过定点。
C
A B x
D
日月既往何复追 53概概率率与与统统计计
考点1 频率分布直方图
频率分布直方图
横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，频率的大小用相应矩形面积大小来表示的统计图．
(1)众数：最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．
(2)中位数：左边和右边的小长方形的面积和相等的数据值．设中位数为x，利
用x左(右)侧矩形面积之和等于0.5，即可求出x．中位数也称第50百分位数。
(3)平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的
横坐标之和，x 小长方形底边中点，p 小长方形面积，即：
n n
x=x p +x p +⋯+x p
1 1 1 1 n n
(4) p百分位数
使得这组数据中至少有p0 0 的数据小于或等于这个值，且至少有100-p
54 知行韶华长可期
频率
组距
O x x x x x x x x 1 2 3 4 5 6 7 8
0 的数据大于或等于这个值． 0
①直方图第p百分位数：找到第p百分位数所在分组，设第p百分位数为x,则：∑p +y ∙(x-x)=p．
i p i
∑p 为前几组数据频率和，y 为第p百分位数所在的纵坐标的值，x 为第p百分位数所在分组的前端值。
i p i
② 一组n个数据第p百分位数求解： 1° ． 2°
3°若i不是整数而大于i的比邻整数j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i
项与第i+1项数据的平均数．
88 一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百
分位数为 ( )
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
89 为提高市民对文明城市创建的认识，举办“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为
样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，⋯，
[90，100]得到如图所示频率分布直方图．
频率
组距
(1)求频率分布直方图中a的值； a
0.025
(2)求样本成绩的第75百分位数； 0.020
0.010
0.005
0 40 50 60 70 80 90 100 分数晓书∙选修一 R J A
考点2 线性回归
线性相关性
(1)散点图：是指在回归分析中，数据点在直角坐标系平面上的分布图。
(2)相关系数：(判定两个变量的线性相关性)
n
x-x
i
r= i=1
日月既往何复追 55
y-y
i
n x-x
i
i=1
n 2 y-y
i
i=1
n
xy-nxy
i i
= i=1
2 n x2-nx 2
i
i=1
n y2-ny2
i
i=1
注： (1) r>0时，变量x,y正相关；r <0时，变量x,y负相关；r∈[−1,1]
(2)①|r| 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；
②|r| 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
经验回归
n x i -x
b= i=1
一元线性回归方程：y=a+bx，其中
y i -y
n x i -x
i=1
n x i y i -nx y
= i=1
2 n x i 2-nx 2 .
i=1
a=y-bx
说明： 1 线性回归直线一定经过 .y表示的是
n n
2 求系数b时，常先单独计算出x，y，∑x2，∑xy(分步给分！)，再代入公式求出b
i i i
i=1 i=1
n n
其中： ∑x2=x2+x2+⋯+x2 ∑xy =xy +x y +⋯+x y
i 1 2 n i i 1 1 2 2 n n
i=1 i=1
4 利用回归方程求出的值，在回答问题时，要用大约、左右、估计等词语。
两个回归效果的判定
n
(y−y)2
i i
决定系数R2=1− i=1 .用于判断两个拟合模型的拟合效果。
n
(y−y)2
i i
i=1
注： ①R2得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
②R2越接近于1，则回归效果越好。决定系数等于相关系数的平方，即R2=r2．90 按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制
《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．如表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中
酸雨区面积约占国土面积的百分比(y%)：
i
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码x 1 2 3 4 5
i
y 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
i
(1)求2017-2021年年份代码x 与y 的样本相关系数(精确到0.01)；
i i
(2)请判断该组数据中y与x之间的关系是否能用线性回归模型进行描述，如果可以，请求出经验回归方
程；
(3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
n
(x-x)(y-y)
附：b = i=1 i i ，a =y -b x ， 5 xy=70.6， 5 y2=133.69,
n i i
(x-x)2 i=1 i=1
i
i=1
n
(x-x)(y-y)
i i
相关系数r= i=1 ， 36.4≈6
n n
(x-x)2(y-y)2
i i
i=1 i=1
56 知行韶华长可期晓书∙选修一 R J A
考点3 列联表与独立性检验
(1)统计分类变量。有两个分类变量X和Y，值域分别为(x,x )和(y,y )，其样本频数2×2列联表为：
1 2 1 2
y y 总 计
1 2
x a b a+b
1
x c d c+d
2
总 计 a+c b+d a+b+c+d
(2)提出假设检验的问题H (原假设/零假设)。如：H ：吸烟与患肺癌没有关系
0 0
n(ad-bc)2
(3)计算相关性的度量：χ2= ，其中n=a+b+c+d
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
(4)与临界值表对照。
P(χ2≥k ) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0
k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
注：临界值表给到的是犯错误的频率。∴χ2越大，说明两个分类变量关系越强；反之，越弱。
91 (2023•甲卷)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试
验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，
一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为:
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，
完成如下列联表；
(ⅱ)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量
n(ad-bc)2
有差异？附：K2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
日月既往何复追 57考点4 离散型随机变量及其分布列
二项分布 超几何分布
在n次独立重复试验中，每次试验中事 从有限N个物件中抽出n个物件，成功抽
概 念
件A发生的概率P 出某指定物件的概率P
公 式 P(ξ=k)= Pξ=k
58 知行韶华长可期
CkCn-k
= M N-M
Cn
N
简 记 ξ~B(n,p) ξ~H(N,M,n)
M M M N−n
期望方差 E(Χ)=np， D(Χ)=np(1−P) E(Χ)=n⋅ ， D(Χ)=n⋅ (1− )⋅
N N N N−1
①试验结果只有 ； ①超几何分布的模型是不放回抽样；
应用条件
② 。 ②超几何分布特定针对抽取问题。
92 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局．
2
根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为 ，每局比赛的结果互不影响．
3
(1)经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望；
(2)若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．晓书∙选修一 R J A
93 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于15,25
日月既往何复追 59
之间，现对植物园部分该种观
赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
(1)求a的值;
(2)以频率估计概率，完成下列问题.
