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高三数学试题
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知复数 在复平面内对应的点分别为 则 的虚部为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出复平面内 的点对应的复数，利用复数的除法法则计算得出答案．
【详解】由题意得 ， ，所以 ，故D正确.
故选：D.
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据 求出 的值，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】由 得 ， ，
因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
.
故选：B
【点睛】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．
3. 若正数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意知 为正数，且 ，
所以 ，化简得 ，解得 ，
当且仅当 时取等号，所以 ，故A正确.
故选：A.
4. 具有线性相关关系的变量 的一组数据如下：
x 0 1 2 3
y -5 -4.5 -4.2 -3.5
其线性回归直线方程为 ，则回归直线经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据x，y呈正相关，得到 ，再由样本中心在第四象限判断.
【详解】解：由图表中的数据知：x，y呈正相关，
所以 ，
又 ，
则样本中心为 ，在第四象限，
所以回归直线经过第一、三、四象限，
故选：D
5. 已知点 在抛物线C: ( )上,点M到抛物线C的焦点的距离是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】
将点 的坐标代入抛物线方程，求出 ，即得焦点 ，利用抛物线的定义，即可求出．
【详解】由点 在抛物线 上，可得 ，解得 ，
即抛物线 ，焦点坐标 ，准线方程为 ．
所以，点 到抛物线 焦点的距离为： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题．
6. 在 中， ， ，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出图形，将 作为基底向量，将 向量结合向量的加减法表示成两基底向量相加减的形式即可
求解
【详解】
如图，由题可知，点 为 的中点，点 为 上靠近 的三等分点，
，
故选：D
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题
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学科网（北京）股份有限公司7. 已知奇函数 是 上增函数， ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用定义判断出 为偶函数， 时单调递增， 时，函数单调递减，再根据距离对称轴越远函
数值越大，即可比较大小．
【详解】解：由奇函数 是 上增函数可得，当 时， ，
又 ，则 ，
即 为偶函数，且当 时单调递增，
根据偶函数的对称性可知，当 时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，
因为 ， ， ，而 ， ，
即 ，所以
故选：B．
【点评】本题考查了指数式、对数式比较大小，考查了函数的奇偶性和单调性综合应用，属于中档题.
8. 已知双曲线C: ,( , )的左､右焦点分别为 , , O为坐标原点,P是双曲线在第一象
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学科网（北京）股份有限公司限上的点, ,( ), ,则双曲线C的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用双曲线的定义求出 ，由向量的数量积，可求出 ，利用余弦定理可得 的关系式，结
合 ，即可求出．
【详解】因为 ， 可得 ，由 可得
，所以 ，
即有 ，即 ，
所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为： ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，
意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分．
9. （多选题）下列命题中的真命题是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据对应函数的性质，判断命题的真假.
【详解】指数函数值域为 ，所以 ，A选项正确；
当 时， ，所以 是假命题，B选项错误；
当 时， ，所以 ，C选项正确；
函数 值域为R，所以 ，D选项正确.
故选：ACD.
10. 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则函数 具有性质（
）
A. 在 上单调递增，为偶函数 B. 最大值为 ，图象关于直线 对称
C. 在 上单调递增，为奇函数 D. 周期为 ，图象关于点 对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】化简得到 ，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区
间得到答案.
【详解】由题意可得 ，
对A、C：因为 ，所以 ，所以 单调递增，且
，得 为偶函数，故A正确，C错误；
对B：由 得其最大值为 ，当 时， ，为最大值，所以
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学科网（北京）股份有限公司为对称轴，故B正确；
对D：周期 ， ，所以图像关于点 对称，故D
正确.
故选：ABD.
11. 已知 为两条不重合的直线, 为两个不重合的平面,则下列说法正确的是
A. 若 且 则
B. 若 则
C. 若 则
D. 若 则
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】A. 若 且 则可以 ， 异面，或 相交，故 错误；
B. 若 则 ，又 故 ， 正确；
C. 若 则 或 ，又 故 ， 正确；
D. 若 则 ， 则 或 ， 错误；
故选：
【点睛】本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.
12. 设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 是数列 中的最大值 D. 数列 无最大值
【答案】A
【解析】
【分析】根据 ， ， ，可判断数列 的 ，进而可知数列
是单调递减的等比数列，结合选项，即可逐一求解.
【详解】根据题意，等比数列 中， ，则有 ，有 ，
又由 0，即 ，必有 ， 由此分析选项：
对于A， ，故 ，A正确；
对于B，等比数列 中， ， ，则 ，则 ，即
，B错误；
对于C， ，则 是数列 中的最大项，C错误；
对于D，由C的结论，D错误；
故选：A.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知直线 与圆 相交于 ， 两点（ 为坐标原点），且 为等腰直角
三角形，则实数 的值为__________；
【答案】
【解析】
【分析】
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学科网（北京）股份有限公司根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心 到直线 的距离,再用公式求解即可.
【详解】由题,因为 为等腰直角三角形,故 ,故圆心 到直线 的距离
.即 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题.
14. 已知直线 与曲线 相切，则 =
【答案】3
【解析】
【分析】设切点为（x，y），求出函数y＝ln（x+ ）的导数为y ＝ ，得k ＝ ＝1，并且y
0 0 切 0
＝x+2，y＝ln（x+ ），进而求出 ．
0 0 0
【详解】设切点为（x，y），由题意可得：曲线的方程为y＝ln（x+ ），所以y ＝ ．
0 0
所以k ＝ ＝1，并且y＝x+2，y＝ln（x+ ），解得：y＝0，x＝﹣2， ＝3．
切 0 0 0 0 0 0
为
故答案 3．
【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属
于基础题.
15. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．
良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过
程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变
规律满足． 表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的_____；
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学科网（北京）股份有限公司经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的 至 据此推测良渚古城存在的时期距今约在
5730年到_____年之间．(参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48)
【答案】 ①. ②. 6876
【解析】
【分析】
把 代入 ，即可求出；再令 ，两边同时取以2为底的对数，即可求出 的范围．
【详解】∵ ，∴当 时， ，
∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的 ，
由题意可知： ，
两边同时取以2为底的对数得： ，
∴ ，
，
∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．
故答案为： ；6876．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了对数的运算，解答本题的关键是由 ，两边同时取以2为底的
对数得： ，∴ ，属于中档题.
16. 已知四面体 中， ，则四面体 的体积为_____
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】取 中点 ， 中点 ，连结 ，计算出 后可得 ，所求四
面体的体积为它的2倍.
【详解】取 中点 ， 中点 ，连结 ，
∵四面体 中， ，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ 平面 ，
又 ，∴ ，
，
故答案为 ．
【点睛】三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算. 有时还需把复
杂几何体分割成若干简单几何体便于体积的计算或体积的找寻， 这些几何体可能有相同的高或相同的底
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学科网（北京）股份有限公司面，或者它们的高或底面的面积的比值为定值．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在 ,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且 ,若 , .
(1)求 ;
(2)求 的面积S.
【答案】(1) ;(2) 或 .
【解析】
【分析】
(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得 ，再结合平方关系即可求出
；
(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得， ，即可求出边 ，再根据三
角形面积公式 即可求出．
【详解】(1)由题意得
由余弦定理得:
由正弦定理得
所以 ，
∴ 中， ．
(2)由余弦定理 得
解得 或
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，∴
由 得 或 ．
【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的
数学运算能力，属于基础题．
18. 设数列 的前 项和为 ，已知 ．
（1）证明： 为等比数列，求出 的通项公式；
（2）若 ，求 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 可推出 ，即得 ，即可证明 为等
比数列，由此可求得 的表达式，继而求得 的通项公式；
（2）由（1）的结果可得 的表达式，利用错位相减法求数列的和，即可得答案.
【小问1详解】
∵ ∴ ，
∴ ，
∴ 为等比数列；
∵ ，故 的首项为 ，公比为2，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，则 ，
当 时， ，则 ， 也满足此式，
∴ ；
【小问2详解】
由（1）可得 ，则 ，
故 ，
两式相减得： ，
故 .
19. 如图所示的多面体中，底面ABCD为矩形， 平面ABCD， 平面ABCD， 平面
ABCD， ，且AB=4，BC=2， ，BE=1．
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求直线 与平面 成的角的正弦值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，由向量平行求得 点坐标，由向量模的坐标表示求得线段长；
（Ⅱ）求出平面 的一个法向量，由直线 的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值得线
面角的正弦值．
【详解】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
设 ．∵ ，
由 得 ，
解得 ，∴ ．
∴ ，
于是 ，即BF的长为 ．
（Ⅱ）设 为平面 的法向量，
设 ，
由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，取 ，得 ．
又 ，设 与 的夹角为 ，
则 ．
所以，直线 与平面 的夹角的正弦值为 ．
【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，求线面角的正弦值，解题方法是空间向量法，即建立空间直
角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角的关系求解．这是求空间
角的常用方法，特别是图形中含有垂直关系用此种方法更加简便．
20. 2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲乙两个养
殖场提供技术服务，方案和收费标准如下：
方案一，公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收
费；
方案二，公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药
的猪超过45头，超过部分每天收取药费8元.
（1）设日收费为 （单位：元），每天需要用药的猪的数量为 ，试写出两种方案中 与 的函数
关系式.
（2）若该医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和
10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下 列联表.
9月份 10月份 合计
未发病 40 85 125
发病 65 20 85
合计 105 105 210
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学科网（北京）股份有限公司根据以上列联表，判断是否有 的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.
附：
0.050 0.010 0.001
.
3.841 6635 10.828
（3）当地的丙养殖场对过去100天猪的发病情况进行了统计，得到如上图所示的条形统计图.依据该统计
数据，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验从两个方案中选择一个，那么选择哪
个方案更合适，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关；（3）从节约养
殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二.
【解析】
【分析】（1）根据题意写出函数关系式即可；
（2）根据 列联表，代入公式计算 ，比较临界值得出结论即可；
（3）分别按不同方案计算总费用，比较大小即可求解.
【详解】（1）方案一， ，
方案二，
（2） ，
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学科网（北京）股份有限公司所以有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关；
（3）若采用方案一，则这100天的总费用为
40×100+2×(42×20+44×40+46×20+48×10+50×10)=13000元，
若采用方案二，则这100天的总费用为
120×100+(46-45)×20×8+(48-45)×10×8+(50-45)×10×8=12800元，
所以，从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二
【点睛】本题主要考查了实际问题中的函数问题，独立性检验，频率分布直方图，属于中档题.
21. 已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处与 轴相切，求 的值；
（2）求函数 在区间 上的零点个数．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；
（2）由 ，求得 ，分类讨论 与 的位置关系，结合函数的单调性，以及零点存在
定理，即可判断出函数的零点个数.
【小问1详解】
由题意得 定义域为 ，
，
因为 在点 处与x轴相切，且 ．
所以 ，解得 ．经检验 符合题意．
【小问2详解】
由（1）知 ，令 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，当 时， ，
（i）当 时， ， ，函数 在区间 上单调递增．
所以 ，所以函数 在区间 上无零点；
（ii）当 时，若 ，则 ，若 ，则 ．
函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
且 ，则 ，而 ．
当 ，即 时，函数 在区间 上有一个零点；
当 时，印当 时，函数 在区间 上无零点；
（iii）当 时， ， ，函数 在区间 上单调递减．
所以 ，所以函数 在区间 上无零点．
综上：当 或 时，函数 在区间 上无零点；
当 时，函数 在区间 上有一个零点．
【点睛】方法点睛：求解函数 在区间 上的零点个数时，利用导数可求得函数的极值点，因此
要分类讨论极值点与所给区间的位置关系，再结合函数的单调性，即可求解得结论.
22. 给定椭圆 ，称圆心在原点 、半径为 的圆是椭圆 的“卫星圆”，
若椭圆 的离心率为 ，点 在 上.
（1）求椭圆 的方程和其“卫星圆”方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）点 是椭圆 的“卫星圆”上的一个动点，过点 作直线 、 使得 ，与椭圆 都只有一个
交点，且 、 分别交其“卫星圆”于点 、 ，证明：弦长 为定值.
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）本题可根据题意得出 以及 ，然后通过计算得出 、 的值以及椭
圆方程，最后根据 即可求出卫星圆的方程；
（2）本题可先讨论 、 中有一条无斜率的情况，通过求出 与 的方程即可求出 的值，然后讨论
、 都有斜率的情况，设点 以及经过点 且与椭圆只有一个公共点的直线为
，再然后通过联立方程以及韦达定理的应用得出满足条件的两直线 、 垂直，判断出
此时线段 应为“卫星圆”的直径以及 的值，最后综合两种情况即可得出结果.
【详解】（1）因为椭圆 的离心率为 ，点 在 上，
所以 ，解得 ， ，椭圆方程为 ，
因为 ，圆心为原点 ，
的
所以卫星圆 方程为 .
（2）①当 、 中有一条无斜率时，不妨设 无斜率，
因为 与椭圆只有一个公共点，所以其方程为 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 方程为 时，此时 与“卫星圆”交于点 和 ，
此时经过点 或 且与椭圆只有一个公共点的直线是 或 ，
即 为 或 ，此时 ，线段 应为“卫星圆”的直径， ，
②当 、 都有斜率时，设点 ，其中 ，
设经过点 与椭圆只有一个公共点的直线为 ，
联立方程 ，
消去 得到 ，
则 ，
，满足条件的两直线 、 垂直，
此时线段 应为“卫星圆”的直径， ，
综合①②可知， 为定值， .
【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及圆的方程的求法，考查椭圆、直线以及圆相交的综合问题的求解，
考查韦达定理以及判别式的灵活应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
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学科网（北京）股份有限公司
