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乌鲁木齐市实验学校 2023-2024 学年高三上学期 1 月考
数学试题
总分150分 考试时间120分钟
一、单项选择题（8小题每题5分共40分）
1. 已知复数z满足 ，则在复平面内，复数 所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据等式化简出 ，即可得到 ，则可选出答案.
【详解】因为 .
所以 .
所以 ，其在复平面对应的点为 在第二象限.
故选：B.
2. 已知集合 ， ，若 ，则
A. B. C. 或 D. 或 或
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：∵集合 ， ， ，∴ 或 才能满足集合的互异性.
故选C.
考点：集合中子集的概念与集合中元素的互异性.
3. 某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为
了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年
职工人数为( )
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【详解】试题分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老
年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，
得到结果．
设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，
即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率
是
用分层抽样的比例应抽取 ×90=18人．故选B．
考点：分层抽样
点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中
的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过
4. 若函数 是周期为 的偶函数，当 时 ，则 =( )
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数周期性与奇偶性，将 转化到 范围内，再代入解析式即可.
的
【详解】因为函数 是周期为 偶函数，
且当 时， ，
则 ，
故选:B．
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知椭圆C ： =1（a＞b＞0）与双曲线C ：x2﹣ =1有公共的焦点，C 的一条渐近线与以C
1 2 2 1
的长轴为直径的圆相交于A，B两点.若C 恰好将线段AB三等分，则（ ）
1
A. a2= B. a2=3 C. b2= D. b2=2
【答案】C
【解析】
的
【分析】由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆 直径且AB=2a，利用椭圆
与双曲线有公共的焦点，得方程 ，再结合条件可得 ，即可得结论．
【详解】
由题意, C 的焦点为 ，一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知 AB为圆的直径且AB=2a，
2
∴C 的半焦距 ,于是得 ①
1
设C 与y=2x在第一象限的交点的坐标为(m,2m),代入C 的方程得： ②，
1 1
由对称性知直线y=2x被C 截得的弦长 ，
1
由题得： ,所以 ③
由②③得 ④
由①④得
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学科网（北京）股份有限公司故选：C.
6. 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】参变分离，得到 在区间 上恒成立，求出 ，
从而得到答案.
【详解】由题意，知 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立．
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：C．
7. 若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函数 的基本关系与半角公式求解即可
【详解】因为 ， ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
，
所以 ，
则 ，
故选：B.
8. 已知等比数列 的前 项和为 ，则下列判断一定正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件及取等比数列进行验证，利用等比数列的性质即可求解.
【详解】对于A，等比数列 满足 ，但是 ，故A错误；
对于B，等比数列 满足 ，但是 ，故B错
误，
对于C，等比数列 满足 ，但是 ，
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学科网（北京）股份有限公司故C错误，
对于D，若 ，由 ，所以等比数列 为递减数列，故
正确；
若 ，由 或 ，当 时，等比数列 为递减数列，
故 正确；当 时，偶数项为正，奇数项为负，故 正确；故D正确.
故选：D.
二、多选题（共4小题每题五分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 如图1，在 中， ， ， ，DE是 的中位线，沿DE将
进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥 （如图2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正
确的是（ ）
A. 当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为
B. 四棱锥 的体积的最大值为
C. 若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为
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学科网（北京）股份有限公司D. 若异面直线AC与BD所成角的余弦值为 ，则A、C两点间的距离为2
【答案】AB
【解析】
【分析】根据圆锥的表面积公式即可判断A,由锐角三角函数结合锥体的体积公式可表达出体积关系式,结
合三角函数的性质即可判断B,根据长度关系可得垂直以及平行，结合等面积法得 即可
求解C,由线线角的几何法求解，结合余弦定理即可判断D.
【详解】由题意，
在 中， ， ， ，DE是 的中位线，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
对于A项，当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体为底面半径为 ，高为
的半个圆锥，∴三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为：
，
故A正确；
对于B项，
设 ，则 ，设点 到 的距离为 ，则 ，
∴四棱锥 的体积为：
，
在 中， ，∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴四棱锥 的体积的最大值为 ，故B正确；
对于C，D项，
当三角形ACE为正三角形时， ， ，
取 中点为 , 的中点 ，连接 ， ，
连接 ，
在 中， ，点F为AB的中点，
由于 分别是 的中点，所以 , ,
,因此四边形 为平行四边形，故
由于 平面 ,所以 平面 ,
平面 ,所以 ,因此四边形 为矩形，则
由于 ,所以 平面 , 平面 ,所以 ，
在 中， ，
∴ ， 为 的中点，
在 中， 为 的中点，点F为AB的中点， ，
∴ ，而 平面 ，即有 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 平面 ，因此平面 平面 ，而平面 平面 ，
所以点F到平面ACD的距离等于点F到直线DG的距离，
则 ， ，
在 中，
在矩形 中， ， ，
，
设点F到平面ACD的距离为 ，
在 中， ，即 ，解得： ，故C错误，
对于D,由于 ,所以四边形 为平行四边形，故 ，又
，此时 即为异面直线AC与BD所成的角或补角，
由于 ， , ,
由余弦定理 ，解得 ，
则A,C两点间的距离为 ，故D错误；
故选：AB.
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学科网（北京）股份有限公司10. 设抛物线 的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到 时， ，直线l与抛
物线相交于A，B两点，点 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的方程为
B. 的最小值为6
C. 若线段AB中点的纵坐标为4，则直线l的斜率为2
D. 当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，利用抛物线的定义结合题意可求出 的值，从而可得抛物线方程，对于B，过P作PE
垂直于准线于E，结合图形利用抛物线的定义求解，对于C，利用点差法求解，对于D，利用抛物线的定
义求解
【详解】 ，故 ， ，故 ，A错误；
过P作PE垂直于准线于E，则 ，当P，E，M三点共线时等号成立，故B
正确；
设 ， ，若AB中点的纵坐标为4，则 ，则 ， ，相减得到
，所以直线l的斜率 ，故C错误；
如图所示：G为AF中点，故 ，故AF为直径的
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学科网（北京）股份有限公司圆与y轴相切，故D正确．
故选：BD．
11. 下列四个命题是真命题的是（ ）
A. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
B. 函数 的值域为
C. 若函数 的两个零点都在区间为 内，则实数 的取值范围为
D. 已知 在 上是增函数，则实数 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A根据抽象函数的定义域可得；选项B运用换元法可求函数的值域；
选项C根据二次函数区间根问题求参数可得；选项D根据分段函数在 上增函数可得.
【详解】选项A：函数 的定义域为 ，则函数 的中 ，得 ，故
A正确；
选项B：设 ，得 ，则 ，
对称轴为 ，故函数在 上单调递增，故 ，故B错误；
选项C：若函数 的两个零点都在区间为 内，则
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学科网（北京）股份有限公司，得 ，故C正确；
选项D：若 在 上是增函数，则
，得 ，故D正确.
故选：ACD
12. 从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋各摸出一个球，下列
结论正确的是（ ）
A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球中恰有一个红球的概率为
C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球不都是红球的概率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项直接乘法公式计算；B选项分甲袋红球和乙袋红球两种情况；C、D选项先计算对立事件概
率.
【详解】对于A， ，正确；对于B， ，正确；对于C，
，错误；对于D， ，正确.
故选：ABD.
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知向量 为单位向量，向量 ，且 ，则向量 、 的夹角为________.
【答案】
【解析】
【分析】
对 两边平方解出 ，代入数量积的定义式解出夹角.
【详解】 向量 为单位向量，向量 ， ， ，
， ，即 ，解得 .
设向量 、 的夹角为 ，则 ，
，因此， .
故答案为： .
【点睛】求解平面向量的夹角主要是平面向量数量积的定义式，在涉及到平面向量模的等式时，一般将等
式进行平方，结合平面向量数量积的运算性质求解.
14. 已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为 ，则其体积为________.
【答案】112
【解析】
【分析】根据已知条件，分别计算出上、下底面面积以及棱台的高，代入棱台体积公式进行计算即可得解.
【详解】因为正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为 ，
所以棱台的下底面积 ，上底面积 ，高 ，
所以正四棱台的体积 .
故答案为：112.
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知圆 内有一点 ，AB为过点P且倾斜角为 的弦，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】求出直线 的方程后，利用点到直线的距离求出弦心距，再根据勾股定理可得结果.
【详解】依题意可得直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为： ，即 ，
由圆心到直线的距离可得弦心距 ，
所以 .
故答案为：
16. 集合 的子集的个数是__________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据正弦函数分别给k在一个周期内的值，并求出对应的x值，即求出集合A，再由集合A中元
素的个数求出它的子集的个数．
【详解】由题意 的周期为6，,令k分别为0、1、2、3、4、5、6，
∴x＝sin 的值对应为：0、 ， ，0， ， ，0，
根据正弦函数的周期性知，A＝{ ，0， }，
故它的子集的个数是23＝8个，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了正弦函数的周期性和特殊角的正弦值，以及集合的子集个数的确定，主要利用结论：
若集合中元素的个数是n，则它的子集个数是2n个．
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答
题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.）
17. 如图，在△ 中， ， ，点 ， 是线段 （含端点）上的动点，且点
在点 的右下方，在运动的过程中，始终保持 不变，设 ．
（1）写出 的取值范围，并分别求线段 ， 关于 的函数关系式；
（2）求△ 面积 的最小值．
【答案】（1） ， ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由题设可得 ，在△ 、△ 中应用正弦定理即可求得线段 ， 关于
的函数关系式；
（2）由（1）及倍角正余弦公式、辅助角公式可得 ，结合 的范围及正弦型函
数的值域求最小值.
【小问1详解】
由题设， ，
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学科网（北京）股份有限公司在△ 中 ，而 ，
所以 ，
同理 ， ，则 .
【小问2详解】
由（1）知： ，
所以 ，则 ，
当 时，△ 面积 的最小值为 .
18. 已知数列 的前 项和 ，对于 ，都满足 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明数列 是首项为1，公差为1的等差数列，再求出 即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）裂项相消求和可解.
【小问1详解】
时， ， ，
又 ， 数列 是首项为1，公差为1的等差数列．
，经验证， 时也成立， ．
【小问2详解】
，
．
19. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 ，
… 后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数.
（2）从被抽取的数学成绩是 分以上（包括 分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.
（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取 个学生，设这四个学生中数学成绩为80分
以上（包括 分）的人数为 （以该校学生的成绩的频率估计概率），求 的分布列和数学期望.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） 分（2） （3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）通过各组的频率和等于 ，求出第四组的频率，考查直方图，求出中位数即可；
（2）分别求出 ， ， 的人数是 ， ， ，然后利用古典概型概率求解即可；
（3）判断概率类型 ，即可写出 的分布列和数学期望
【详解】（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：
.
直方图如图所示.
中位数是 ，
估计这次考试的中位数是 分.
（2） ， ， 的人数是 ， ， ，所以从成绩是 分以上（包括 分）的学
生中选两人，他们在同一分数段的概率：
.
（3）因为 ， ， ，
所以其分布列为：
0 1 2 3 4
0.240 0.411 0.264 0.075 0.008
1 6 6 6 1
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学科网（北京）股份有限公司数学期望为 .
20. 如图，在四棱台 中，底面为矩形，平面 ⊥平面 ，且
.
（1）证明: 面
（2）若 与平面 所成角为 ，求锐二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【小问1详解】
如图在梯形 中，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司作 于 ，则 ，所以 ，
所以 ，连结 ，由余弦定理可求得 ，
因为 ，所以 ，
因为平面 平面 且交于 ， 面
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
连结 ，由（1）可知， 平面 ，
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为 平面 ，所以 在平面 内的射影为 ，
所以 与平面 所成的角为 ，即 ，
在△ 中，由余弦定理可得： ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，解得 .
在 中，因为 ，所以 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，即
令 ，则 ， ，故 ， …
设平面 的法向量为 ，
则有 ，即 ，
令 ，则 ， ，故 ，
所以 ，
故锐二面角 的余弦值为 .
21. 已知椭圆 的上顶点到右顶点的距离为 ，离心率为 ，过椭圆左焦点 作不与x轴
重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线m的方程为： ，过点M作ME垂直于直线m交直线
m于点E．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点O为坐标原点，求 面积的最大值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列出关于a，b的方程组，再求解作答.
（2）设出直线MN的方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理确定直线EN过的定点，再求出面积的函
数关系求解作答.
【小问1详解】
椭圆 上顶点 ，右顶点 ，则 ，离心率 ，
即 ，联立解得 ，
所以椭圆C的标准方程为 .
【小问2详解】
由（1）知，左焦点 ，直线MN不垂直于y轴，设其方程为 ，
由 消去x并整理得： ，设 ，
， ，则有 ，
直线m： ，即有点 ，直线EN： ，
令 ，则 ，
因此，直线EN恒过定点 ，而
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学科网（北京）股份有限公司，
则 ，
令 ，有 在 上单调递增，则 ，即 时 ，
取最小值4，
于是当 时， ，
所以 面积的最大值是 .
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形
上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
22. 函数 ， .
（1）求函数 的单调区间及极值；
（2）若 是函数 的两个不同零点，求证：① ；② .
【答案】（1）递减区间为 ，递增区间为 ， ，无极大值；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出 ，解不等式 得增区间，解不等式 得减区间，从而也可得到
极值；
（2）①先确定函数的变化趋势，由函数式，知 或 时，都有 ，
从而函数要有两个零点，则必有 ，从而得 ．因此有两个零点 ，不妨设 ，通
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学科网（北京）股份有限公司过构造函数 ，由 的单调性可证 ，即 ，最后由
的单调性，得证 ；
②令 ，然后证明 ，由 ，得 ，计
算 ，由 ,结合 得 ，再由 在 上
的单调性可证结论．
【小问1详解】
定义域为 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
∴ 递减区间为 ，递增区间为 ，
∴ ，无极大值；
【小问2详解】
由（1）知 时， ； 时， ，
要使 有两个不同零点 ，则 即 ，
不妨设 ，
①证明：令 ，
则 ，
由于 ， ，故 ，
在 递增，而 ，∴ ，
∴ 即 ，
∵ ，∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 且 在 递减，
∴ ，即 ；
②证明：令 ，
下面先证明 ， ，令 ，
∵ ， ，∴ 在 递增，
∴ ，∴ 在 递增，∴ ，
即 在 总成立，
∵ ，∴ ，
又 ，
∵ ，由 知 ，则 ，
又 ， 且 及 在 递减，
∴ ，即 .
【点睛】本题考查函数的单调性、极值、零点、函数与方程、不等式证明等知识，考查运算求解、推理论
证能力，考查转化与化归等数学思想，属于难题．解题的关键是构造新函数，通过新函数的单调性过渡到
原函数的单调性，转化与化归思想在这里有着充分的体现．
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学科网（北京）股份有限公司
