文档内容
新高二开学摸底考试卷（湖北专用）
数学·答案及评分标准
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项
是符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8
D D C B C A B A
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9 10 11
AB ACD BCD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．
13．
14．
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题
17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）
【答案】（1）平均年龄 岁，第80百分位数为 ；（2）10.
【详解】解：（1）设这 人的平均年龄为 ，则
. （3分）
设第80百分位数为 ，由 ，解得 . （5分）
（2）由频率分布直方图得各组人数之比为 ，
故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取 人和 人， （7分）
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为 ， ，方差分别为 ， ，
则 ， ， ， ， （9分）
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为 ，方差为 .则 ， （11分）
，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这 人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10. （13分）
16．（15分）
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）由条件可知：
， （3分）
的最小正周期为 ，令 ， ，解得 ， ，
的对称中心为 ； （5分）
（2）由正弦定理得 ， （6分）
由（1） ，而 ，得 ，
， ，解得 ， ，又 ，可得 ， （8分）
， ， （9分）
代入上式化简得： ，（11
分）又在锐角 中，有 ， ， （13分）
，则有 ， . （15分）
17．（15分）
【答案】(1)① ；② ；
(2) .
【详解】（1）①若A和B都进入卓越组，则胜者需要赢得优胜组组内比赛的胜利，负者需要赢得奋斗
组组内比赛和超越组组内比赛的胜利，
则A和B都进入卓越组的概率为 ． （3分）
②D参加了四轮比赛并获得冠军的情况有两种：
第一种情况：D在C，D组内比赛获胜，D进入优胜组后进入超越组并获胜，再进入卓越组并获胜，其
概率为 ； （5分）
第二种情况：D在C，D组内比赛后进入奋斗组并获胜，再进入超越组并获胜，最后进入卓越组并获胜，
其概率为 ， （7分）
所以D参加了四轮比赛并获得冠军的概率为 ． （8分）
（2）A，C进入卓越组且A，C之前赛过一场的情况有两种：
第一种情况：A，C在第一轮比赛中均获胜并进入优胜组，负者进入超越组与D比赛并获胜，其概率为
； （11分）
第二种情况：A，C在第一轮比赛中均获胜并进入优胜组，负者进入超越组与B比赛并获胜，其概率为
， （13分）
所以A，C进入卓越组且A，C之前赛过一场的概率为 ． （15分）
18．（17分）
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
(3)存在， .
【详解】（1）连接 与 ，两线交于点 ，连接 ，
在 中 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ， （2分）
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . （4分）
（2）因为 底面 ， 平面 ，所以 . （5分）
又 为棱 的中点， ，所以 . （6分）
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 . （7分）
因为 ，所以 .又 ，
在 和 中， ，
所以 ，即 ，
所以 ， （9分）
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 . （10分）
（3）当点 为 的中点，即 时，平面 平面 . （12分）
证明如下：设 的中点为 ，连接 ， ，因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 且 ， （13分）
又 为 的中点，
所以 且 ， （14分）
所以四边形 为平行四边形，故 ， （15分）
由（2）知： 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 . （17分）
19．（17分）
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；② ．
【详解】（1）因为 ， ，所以 为等边三角形，
因为 为 的中点，所以 ． （1分）
取 的中点 ，连接 ， ，则 ， （2分）
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ． （3分）
因为 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ， （4分）
又因为 , ， ， 平面 ，所以 平面 ． （5分）
（2）①过点 作 ，垂足为 ．如图所示，由（1）知， 平面 ．因为 平面 ，所以 ．
，所以 平面 ，
所以 就是 与平面 所成角的平面角． （6分）
由（1）知， 平面 ， 平面 ，所以 ．
在 中， ， ， ，
因为 为 的中点，所以 ．
在 中， ，
在 中， ， （8分）
在 中， ，
所以由同角三角函数的基本关系得 ．
所以 与平面 所成角的正弦值为 ． （10分）
②取 的中点为 ，连接 ，因为 为线段 的中点，
所以 ， （11分）
由（1）知， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ．
所以 ．
过点 作 ，垂足为 ，连接 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ． 平面 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角． （12分）
在 中， ，
由（1）知， 为等边三角形， 为线段 的中点，
所以 （13分）由（1）知， 平面 ， 平面 ．所以 ，
在 中， ，由（2）知， ，
即 ，解得 ． （15分）
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
在 中， ． ，
所以二面角 的平面角的余弦值为 ． （17分）
