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秘密★启用前 【考试时间：1月15日 15∶00—17∶00】
昆明市 2024 届高三“三诊一模”摸底诊断测试
数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在
答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规
定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案
写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设全集 ，集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知 是抛物线 的焦点，点 在 上，且 的纵坐标为 ，则
A． B． C． D．
4．在 中，点 满足 ，则
A． B．
C． D．
5．某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位： ）分别为： ， ，
， ， ， ， ， ，则下列说法错误的是
A．若该八名选手成绩的第 百分位数为 ，则
B．若该八名选手成绩的众数仅为 ，则
C．若该八名选手成绩的极差为 ，则
D．若该八名选手成绩的平均数为 ，则
数学试卷·第1页（共7页）
学科网（北京）股份有限公司f(x)m
．已知函数 ，若存在 ，使得方程 有三个不等的实根
6
，
，则
， 且
A． B． C． D．
7．若将函数 的图象平移后能与函数 的图象重合，则称函数 和
互为“平行函数”．已知 ， 互为“平行函数”，则
A． B． C． D．
8．第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的．如图所示，作
， ， ，再依次作相似三角形 ， ， ，
……，直至最后一个三角形的斜边 与 第一次重叠为止．则所作的所有三角形
的面积和为
E D
A．
C
B
B． 30°30°
30°
30°
A
O
C．
D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项
是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9．在正四棱柱 中，已知 与平面 所成的角为 ，则
数学试卷·第2页（共7页）
学科网（北京）股份有限公司A． B． 与平面 所成的角为
C． D． 平面
10．已知圆 ，直线 ，点 在直线 上运动，过点 作圆 的两
条切线，切点分别为 ， ，当 最大时，则
A．直线 的斜率为1 B．四边形 的面积为
C． D．
11．古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出
角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的 作为一
个度量单位来度量弦长，将圆心角 （ ）所对的弦长记为 ．例如
圆
心角所对弦长等于60个度量单位，即 ．则
A．
B．若 ，则
C．
D． （ ）
12．已知函数 ，则
A．当 时， 有2个零点
B．当 时， 有2个零点
C．存在 ，使得 有3个零点
D．存在 ，使得 有5个零点
数学试卷·第3页（共7页）
学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
3．已知角 的顶点为坐标原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，点 （ ）在角
1
终边上，且 ，则 的值可以是 .（写一个即可）
14．春节前夕，某社区安排小王、小李等5名志愿者到三个敬老院做义工，每个敬老院至
少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一个敬老院，且这5名志愿者全部
安排完，则所有不同的安排方式种数为 .（用数字作答）
15．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，以 为圆心作与
的渐近线相切的圆，该圆与 的一个交点为 ，若 为等腰三角形，则 的
离心率为 ．
16．已知球 的表面积为 ，正四棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，则该
正四棱锥 体积的最大值为 ．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在 中， ， ， .
（1）求 的面积；
（2）如图， ， ，求 .
C D
A B
数学试卷·第4页（共7页）
学科网（北京）股份有限公司18．（12分）
记 为数列 的前 项和， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，
求数列 的前 项和.
19．（12分）
如图，在三棱锥 中， 平面 ， 是线段 的中点， 是线段 上
一点， ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）是否存在点 ，使平面 与平面 的夹角为 ？若存在，求 ；若不存在，
说明理由．
P
E
A B
数学试卷·第5页（共7页） F
学科网（北京）股份有限公司 C20．（12分）
聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题
输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人
进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错
误，则应答被采纳的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．
（1）求一个问题的应答被采纳的概率；
（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答
被采纳的个数为 ，事件 （ ）的概率为 ，求当
最大时 的值.
21．（12分）
已知 是椭圆 的右焦点，点 在不过原点 的直线 上，
交 于 ， 两点.当 与 互补时， ， .
（1）求 的方程；
（2）证明： 为定值.
数学试卷·第6页（共7页）
学科网（北京）股份有限公司22．（12分）
1
f(x)(x2 2ax)lnx x2 2ax
已知函数 2 ， .
f(x)
（1）讨论 的单调性；
1
f(x) a2(1lna)
（2）当a0时，若 2 恒成立，求a的取值范围.
数学试卷·第7页（共7页）
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