文档内容
商洛市 2024 届高三尖子生学情诊断考试
数学试卷（理科）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题
目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内
作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C.1 D.-1
3.如图所示方格纸上的图形为某几何体的三视图（其中小方格边长为1），则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在 中，满足条件 ，若 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A.8 B.4 C.2 D.
5.已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，点 ，则 周长的最小值为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.13
6.已知等比数列 的前 项和 ，则 （ ）
A.3 B.9 C.-9 D.-3
7.已知双曲线 的一条渐近线为 为 右支上任意一点，且 到 的距离为 ，到左焦点的
距离为 ，则 的最小值为（ ）
A.4 B. C. D.
8.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一个“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳
爻“ ”和阴爻“ ”，如图就是一个重卦.在所有重卦中随机取一个重卦，则该重卦恰有2个阴爻的概
率是（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数 是定义在 上的奇函数，若对于任意两个实数 ，不等式
恒成立，则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司10.已知函数 的图象与 的图象关于 轴对称，若将 的图象向左至少
平移 个单位长度后可得到 的图象，则（ ）
A. 的图象关于原点对称
B.
C. 在 上单调递增
D. 的图象关于点 对称
11.半正多面体亦称“阿基米德体”或者称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，
体现了数学的对称美.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所
示.已知 ，若在该半正多面体内放一个球，则该球体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
12.设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
学科网（北京）股份有限公司13.若 ，则 __________.
14.已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 两点， 是 的中点，则 点的
轨迹方程为__________.
15.若 ，则 __________.
16.设函数 的定义域为 为 的导函数， ，则
__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知 中，角 所对的边分别为 .
（1）求 ；
（2）设 是 边上的点，且满足 ，求 内切圆的半径.
18.（本小题满分12分）
随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销售旺季，某丑橘基地随机抽查了100
个购物群的销售情况，各购物群销售丑橘的数量（都在100箱到600箱之间）情况如下：
丑橘数量（箱）
购物群数量（个） 18 18
（1）求实数 的值，并用组中值估计这100个购物群销售丑橘总量的平均数（箱）；
（2）假设所有购物群销售丑橘的数量 服从正态分布 ，其中 为（1）中的平均数，
100.若参与销售该基地丑橘的购物群约有2000个，销售丑橘的数量在 （单位：箱）内的群为“一
级群”，销售数量小于266箱的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596箱的购物群为“优质群”.该丑
橘基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该丑橘基地大约
需要准备多少元？
附：若 服从正态分布 ，则
.
19.（本小题满分12分）
学科网（北京）股份有限公司如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为平行四边形，
为棱 上一点.
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的大小.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆 的离心率是 ，其左､右焦点分别为 ，过点 且与直线
垂直的直线交 轴负半轴于 .
（1）求证： ；
（2）若点 ，过椭圆 右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 两点，点 是点
关于 轴的对称点，在 轴上是否存在一个定点 ，使得 三点共线？若存在，求出点 的坐标；若
不存在，说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）若 ，函数 .
（i）证明： 在区间 上存在极值点；
（ii）记 在区间 上的极值点为 在区间 上的零点的和为 .证明： .
（二）选考题：共10分.请考生在第22､ 23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
学科网（北京）股份有限公司22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以 为极点， 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 交于 两点，求线段 的长.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知 .
（1）解不等式 ；
（2）令 ，若 的图象与 轴所围成的图形的面积为 ，求实数 的值.
商洛市 2024 届高三尖子生学情诊断考试·数学试卷（理科）
参考答案､提示及评分细则
1.B ，所以 .故选B.
2.D 因为 ，所以 ，则 的虚部为-1.故选D.
3.A 易知三视图所表示的为四棱锥（如图所示），且底面是边长为2的正方形，
一条侧棱 与底面垂直，且 ，易求 ，
，所以该几何体的表面积为 .故选A.
学科网（北京）股份有限公司4.A 因为 ，所以 ，故
.故选A.
5.D 如图，显然 ，记抛物线 的准线为 ，则 ，记点 到 的距离为 ，点 到 的
距离为 ，则 .故选D.
6.D 当 时， ；当 时， .
，又 是等比数列，所以 ，解得 .故选D.
7.C由题可知， ，设右焦点 到渐近线的距离为 ，由图可知，
.故选C.
学科网（北京）股份有限公司8.B 所有“重卦”共有 种，恰有2个阴爻的情况有 种，所以该重卦恰有2个阴爻的概率为
.故选B.
9.A 由任意两个实数 ，不等式 恒成立，
得函数 在 上单调递增.由函数 是定义在 上的奇函数，得 ，
所以不等式 化为 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .故选A.
10.B 由题意，可设 ，因为 与 的
图象关于 轴对称，所以 ，则
的最小值为 ，所以 ，则 .
对于A，因为 的定义域为 ，而 ，所以 不是奇函数，图象不关于原点对
称， 错误；
对于B， ，B正确；
对于C，由 ，得 ，又 在 上不单调，C错误；
学科网（北京）股份有限公司对于D， ，不存在 ，使 ，故 不是 图象的对称中心，
D错误.故选B.
11.A 由题意，半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成， ，
当球的体积最大时，该球的球心即为半正多面体所在正四面体的内切球的球心，记球心为 .在 中，
，该半正多面体所在的正四面体的高
，设点 到正六边形所在平面的距离为 ，过点 作
于 ，由几何知识得， ，所以 ，即 ，解得
，所以当球的体积最大时，该球的半径为 ，则该球的体积为 .故选A.
12.D 设 ，设
0，所以 ，所以函数 在 上单调递增，所以
，即 .根据已知得
，可设 ，则
学科网（北京）股份有限公司，所以函数 在 上单调递增，所以
，即 .综上， .故选D.
13. .
14. 解法一：圆 ，所以圆心为 ，半径为2，设 ，
由线段 的中点为 ，可得 ，即有 ，
即 ，所以点 的轨迹方程为 .解法二：因为 ，所以点 的
轨迹是以 为直径的圆，所以点 的轨迹方程为 .
15.196 由 ，所以 .
16.89 因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，则
.
17.解：（1）结合 及正弦定理得
，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 .
（2）如图所示：
学科网（北京）股份有限公司在 中根据余弦定理得 ，即 ，①
又因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
将 两边平方并整理得 ，②
联立①②得到 ，所以 ，
所以 的面积为 .
设其内切圆半径为 ，则 ，解得 ，
所以 内切圆的半径为 .
18.解：（1）由题意得 ，解得 .
故平均数为 （箱）.
（2）由题意， ，且 ，
故 ，
所以“优质群”约有 （个），
，
所以“一级群”约有 （个），
所以需要资金为 （元），
故至少需要准备373400元.
学科网（北京）股份有限公司19.（1）证明： ，
由余弦定理，得 ，
.
平面 平面 ，
又 平面 ，
平面 .
平面 .
（2）解：以 为原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 .
则 .
，
平面 的一个法向量为 .
设 ，则 .
又 ，
即 ，故 .
设平面 的一个法向量为 ，
学科网（北京）股份有限公司由 得 取 ，可得 .
设二面角 的大小为 ，由图可知 为钝角，
则 ，得 .
故二面角 的大小为 .
20.（1）证明：设椭圆 的半焦距为 ，因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，所以直线 ，
令 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）解：若点 ，则 ，解得 ，则 ，
所以椭圆方程为 .
如图，设直线 的方程为 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司联立 得 ，
则 .
直线 的方程为 ，
令 ，得
.
故在 轴上存在一个定点 ，使得 三点共线.
21.（1）解：因为 ，
所以 .
令 ，所以 ，因为
，所以 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以当 时， ；当 时， ，
即当 时， ；当 时， ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）证明：（i）因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
显然在区间 上 ，即 即 在 上单调递增，
所以 ，
所以 即 在区间 上单调递增，
又 ，
由零点存在性定理可得： 在区间 上存在唯一零点，且在该零点左右两侧 的值符号相反，
故 在区间 上存在极值点.
（ii）由（i）得 在 上小于0，在 上大于0，又当 时， ，
，所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ，即 ，使 ，
又 ，所以 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增， ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，
.
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，即 ，所以 .
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，即 ，
所以 ，
所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，即 .
22.解：（1）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数），
所以曲线 的普通方程为 ；
因为曲线 的极坐标方程为 ，所以 ，
即
学科网（北京）股份有限公司又 ，
所以曲线 的直角坐标方程为 .
（2）曲线 是以 为圆心，1为半径的圆， 为直线，
且圆心 到直线 的距离 ，
所以圆 与直线 相交，
所以 .
23.解：（1）
当 时， ，解得 ，无解；
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， ，解得 ，所以 .
综上所述，不等式 的解集为 .
（2）画出 的图象，由（1）知，阴影部分的面积为 ，
所以 的图象向下平移至阴影部分的上沿与 轴重合时，图形与 轴所围成图形的面积恰为阴影部分
的面积，即为 ，
此时函数 的图象向下平移的距离为3，故 .
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