文档内容
奉化中学 2024 分班考数学
一、单选题
1. 已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B.
2. “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解.
【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所
以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件．
故选：B．
3. 已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则满足要求的有序数对
有（ ）
.
A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个
【答案】B【解析】
【分析】由题意有 ，通过分析得到 ， 是满足题意的唯一解，注意
检验.
【详解】由题意若不等式 在 上恒成立，
则必须满足 ，即 ，
由 ，两式相加得 ，
再由 ，两式相加得 ，
结合（4），（5）两式可知 ，代入不等式组得 ，
解得 ，
经检验，当 ， 时， ，
有 ， ，满足 在 上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对 为： ，共一个.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到 ，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.
的
4. 已知 ，且 ，则下列不等式中恒成立 是（ ）A. B.
.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．
【详解】解：①已知 ， ，且 ，所以 ，则 ，故 错误．
②利用分析法：要证 ，只需证明 即可，即 ，由于 ， ，且 ，
所以： ， ，故 正确．
③ ，故 错误．
④由于 ， ，且 ，
利用分析法：要证 成立，只需对关系式进行平方，整理得 ，即 ，故
，当且仅当 时，等号成立．故 错误．
故选： ．
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
5. 已知集合 ， ，定义集合
，则 中元素的个数为
A. 77 B. 49 C. 45 D. 30【答案】C
【解析】
【详解】因为集合 ，所以集合 中有5个元素（即5个点），即图中圆
中的整点，集合 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形
中的整点，集合 的元素可看作正方形 中的
整点（除去四个顶点），即 个．
考点：1．集合的相关知识，2．新定义题型．
二、多选题
6. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数
成为狄利克雷函数，则关于 ，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数 是偶函数
C. 任意一个非零有理数 ， 对任意 恒成立
D. 存在三个点 ，使得ΔABC为等边三角形【答案】ABCD
【解析】
【分析】依次判断每个选项： ，故 ；判断 ，为偶函数；判断
；取 为等边三角形，得到答案.
【详解】 ， 正确；
，偶函数， 正确；
， 正确；
易知 三点构成等边三角形， 正确；
故选：
【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数性质的应用能力.
7. 已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则（ ）
A. B.
C. 函数 是偶函数 D. 函数 是减函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】对抽象函数采用赋值法，令 、 ，结合题意可得 ，对A：令 、 ，代入计算即可得；对 B、C、D：令 ，可得 ，即可得函数 及函数
函数 的性质，代入 ，即可得 .
【详解】令 、 ，则有 ，
又 ，故 ，即 ，
令 、 ，则有 ，
即 ，由 ，可得 ，
又 ，故 ，故A正确；
令 ，则有 ，
即 ，故函数 是奇函数，
有 ，即 ，
即函数 是减函数，
令 ，有 ，
故B正确、C错误、D正确.
故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到 ，再重新
赋值，得到 ，再得到 .
三、填空题
8. ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件等式可设 ，代入所求式子，利用二倍角公式和辅助角公式化简，根
据三角函数的性质可求出最值.
【详解】 ，则 ，即 ，
设 ，则 ，，其中 是辅助角，且 ，
当 时，原式取得最小值 .
为
故答案为： .
【点睛】本题考查条件等式求最值，解题的关键是设 ，利用三角恒等变换化
简可求出.
9. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60
元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达
到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为
__________．
【答案】 ①. 130. ②. 15.
【解析】
【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得 的
最大值.
【详解】(1) ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为 元,
元时,李明得到的金额为 ,符合要求.
元时,有 恒成立,即 ,即 元.
所以 的最大值为 .
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活
为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
四、解答题10. 已知集合 ，集合 ．
（1）当 时，求 和 ；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 或 ， ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）当 时，得出集合 ，解分式不等式即可得集合 ，再根据补集和并集的运算，从而可求出
；
(2)由题意知 ，当 时， ；当 时， 或 ，从而
可求出实数 的取值范围.
【详解】解：（1）由题可知，当 时，则 ，
或 ，
则 ，
所以 .
（2）由题可知， 是 的必要不充分条件，则 ，
当 时， ，解得： ；
当 时， 或 ，
解得： 或 ；
综上所得： 或 .【点睛】结论点睛：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2） 是 的充分不必要条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3） 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等；
（4） 是 的既不充分又不必要条件， 对的集合与 对应集合互不包含
