文档内容
自贡市 2024 年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学
本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．答卷时，须将答案答在答题卡
上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共48分）
注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分．在每题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 在0， ， ， 四个数中，最大的数是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，
两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可，解答此题的关键是要明确：正实数 负实数，两个负
实数绝对值大的反而小．
【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得：
，
∴在0， ， ， 四个数中，最大的数是 ，
故选：C．
2. 据统计，今年“五一”小长假期间，近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界．70000用科学记数法表
示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
1【分析】本题考查科学记数法．科学记数法的一般形式为 ，其中 ，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值 时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：70000用科学记数法表示为 ，
故选：B．
3. 如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交 两边于点M，N，再分别以M、N为圆心， 的
长为半径画弧，两弧交于点B，连接 ．若 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形 是菱形，即可求解．
【详解】解：由作图知 ，
∴四边形 是菱形，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
4. 下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
2【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从上面往下面看到的图形，主视图是从正面看到的图
形，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 的俯视图与主视图分别是带圆心的圆和三角形，故该选项是错误的；
B、 的俯视图与主视图分别是圆和长方形，故该选项是错误的；
C、 的俯视图与主视图都是正方形，故该选项是正确的；
D、 的俯视图与主视图分别是长方形和梯形，故该选项是错误的；
故选：C．
5. 学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位
数和众数分别是（ ）
A. 3，4 B. 4，4 C. 4，5 D. 5，5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中位数和众数．将所给数据从小到大排列，第三和第四个数据的平均数即为中位数，出
现次数最多的即为众数．
【详解】解：将这组数据从小到大排列：3，4，5，5，7．
则这组数据的中位数为5，
5出现次数最多，则众数为5，
故选：D．
6. 如图，在平面直角坐标系中， ，将 绕点O逆时针旋转 到 位置，则点B坐
标为（ ）
3A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到 ，推
出 ， 即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵将 绕点O逆时针旋转 到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点B坐标为 ，
故选：A．
7. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．
“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（
）
A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线
两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转
，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答．
4【详解】解： 是中心对称图形，但不是轴对称图形
故选：B
8. 关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程 中，当
时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】解： △ ，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9. 一次函数 ，二次函数 ，反比例函数 在同一直角坐标系中图
象如图所示，则n的取值范围是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等
式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：
5，
解得： ，
∴ 的取值范围是 ，
故选：C．
10. 如图，在 中， ， ， ．A点P从点A出发、以 的速度
沿 运动，同时点Q从点C出发，以 的速度沿 往复运动，当点P到达端点
D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段 出现的次数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，分四种
情况：当 时，当 时，当 时，四边形 为平行四边形；当 时，四
边形 为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ， ，
∵点P从点A出发、以 的速度沿 运动，
∴点P从点A出发到达D点的时间为： ，
∵点Q从点C出发，以 的速度沿 往复运动，
6∴点Q从点C出发到B点的时间为： ，
∵ ，
∴ ，
当 时，四边形 为平行四边形，
∴ ，
当 时，四边形 为等腰梯形，
∴ ，
设 同时运动的时间为 ，
当 时， ，
∴ ，
此时 ，四边形 为平行四边形， ，
如图：过点 分别作 的垂线，分别交 于点 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵四边形 是等腰梯形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
7∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此时 是等腰梯形， ，
当 时， ，
∴ ，
此时 ，四边形 为平行四边形， ，
当 时， ，
∴ ，
此时 ，四边形 为平行四边形， ，
综上，当 或 或 或 时， ，共4次，
故选：B．
11. 如图，等边 钢架的立柱 于点 D， 长 ．现将钢架立柱缩短成 ，
．则新钢架减少用钢（ ）
8A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得 ，
， ，利用新钢架减少用钢 ，代入数据计算
即可求解．
【详解】解：∵等边 ， 于点D， 长 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴新钢架减少用钢
，
故选：D．
12. 如图，在矩形 中， 平分 ，将矩形沿直线 折叠，使点 A，B 分别落在边
9上的点 ， 处， ， 分别交 于点G，H．若 ， ，则 的长为
（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先证明 ，设
，证明 和 ，推出 和 ，
由 ，列式计算求得 ，在 中，求得 的长，据此求解即可．
【详解】解：如图， 交 于点 ，
∵矩形 ，
∴ ，
由折叠的性质得 ， ，四边形 和四边形 都是矩形，
∴ ，
10∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ①，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ②，
∵ ，
由①②得 ，
解得 ，则 ，
在 中， ，
∵ ，
11∴ ，即 ，
故答案为：A．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可
先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫来黑色墨水签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 分解因式： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据提取公因式法因式分解进行计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
14. 计算： ________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式同分母的减法运算，分母不变，分子直接相减，即可作答．
【详解】解： ．
故答案为：1．
15. 凸七边形的内角和是________度．
【答案】900
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：七边形的内角和 ，
故答案为：900．
1216. 一次函数 的值随 的增大而增大，请写出一个满足条件的 的值________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数)的值随 的增大而增大，得出 ，写一个满足条
件的 的值即可，根据 的正负性判断函数增减性是解题的关键．
【详解】解：∵ 的值随x的增大而增大，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值可以为： ，
故答案为： （答案不唯一）．
17. 龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开
直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条 夹角为 ． 长 ，
扇面的 边长为 ，则扇面面积为________ （结果保留 ）．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形公式进行计算即可．本题考查了扇面面积计算，掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是
解题的关键．
【详解】解：扇面面积 扇形 的面积 扇形 的面积
13，
故答案为： ．
18. 九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙 于点O（如图），
其中 上的 段围墙空缺．同学们测得 m， m， m， m，
m．班长买来可切断的围栏 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是
________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须
尽量使用原来的围墙，观察图形，利用 和 才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积
公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用 和 构成矩形，
设矩形在射线 上的一段长为 ，矩形菜地面积为 ，
当 时，如图，
则在射线 上的长为
14则 ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， 的最大值为 ；
当 时，如图，
则矩形菜园的总长为 ，
则在射线 上的长为
则 ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而减少，
∴当 时， 的值均小于 ；
综上，矩形菜地的最大面积是 ；
故答案为： ．
三、解答题（共8个题，共78分）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简正切值，再运算零次幂，绝对值，算术平方
根，再运算加减，即可作答．
15【详解】解：
．
20. 如图，在 中， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， 平分 ，请直接写出 的形状．
【答案】（1）见解析 （2） 是等腰直角三角形．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定．
（1）由平行证明 ，由等量代换得到 ，利用平行线的判定“内错角相等，两直
线平行”证明 ，即可证明 ；
（2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得 ， ，据此即可得到 是等
腰直角三角形．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
16∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： 是等腰直角三角形．
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
21. 为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时
比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组
同学平均每小时各包多少个粽子．
【答案】甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设乙组每小时包 个粽子，则甲组每小时包 个粽
子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于 的分式方程，解之并检验后即可得出结果．
【详解】解：设乙组平均每小时包 个粽子，则甲组平均每小时包 个粽子，
由题意得：
，解得： ，
经检验： 是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为： ，
∴
17答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
22. 在 中， ， 是 的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）图1中三组相等的线段分别是 ， ________， ________；若 ， ，
则 半径长为________；
（2）如图2，延长 到点M，使 ，过点M作 于点N．
求证： 是 的切线．
【答案】（1） ； ；1
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据切线长定理得到 ， ， ，代入求解即可得到答案；
（ 2 ） 证 明 ， 推 出 ， ， ， 求 得
， ，根据 ，列式求
得 ，根据切线的判定定理，即可得到 是 的切线．
【小问1详解】
解：连接 ，设 半径为 ，
18∵ 是 的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴ ， ， ；
在四边形 中， ，
四边形 为矩形，
又因为 ，
四边形 为正方形．
则 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为： ； ；1；
【小问2详解】
证明：连接 ， ， ，作 于点 ，
设 半径为 ，
19∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ 是 的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题考查切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆及勾股定理，正
确引出辅助线解决问题是解题的关键．
23. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学
生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．
成绩 频数 百分比
不及格 3 a
及格 b
良好 45 c
优秀 32
20图1 学生体质健康统计表
（1）图1中 ________， ________， ________；
（2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加
学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
【答案】（1） ；20；
（2）补全图见解析，估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
（3）选取的2名学生均为“良好”的概率为 ．
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合
事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
（1）用“优秀”等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；再分别求得 的值；
（2）根据（1）的结果，可补全条形统计图，利用样本估计总体可求解；
（3）用列表法表示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人均为“良好”的结果数，然后根据概率公式
求解．
【小问1详解】
解：样本容量为 ，
则 ，
，
，
21故答案为： ；20； ；
【小问2详解】
解：补全条形统计图，如图：
（人），
估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
【小问3详解】
解：设3名“良好”分别用A、B、C表示，1名“优秀”用D表示，列表如下：
A B C D
（B， （C， （D，
A
A） A） A）
（A， （C， （D，
B
B） B） B）
（A， （B， （D，
C
C） C） C）
（A， （B， （C，
D
D） D） D）
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有 种，
∴选取的2名学生均为“良好”的概率为 ．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ，
22两点．
的
（1）求反比例函数和一次函数 解析式；
（2）P是直线 上的一个动点， 的面积为21，求点P坐标；
（3）点Q在反比例函数 位于第四象限的图象上， 的面积为21，请直接写出Q点坐标．
【答案】（1） ，
（2）点P坐标为 或 ；
（3）Q点坐标为 或
【解析】
【分析】（1）先求出 ，再代入 ，得出 ，再运用待定系数法解一次函数的解析式，
即可作答．
（2）先得出直线 与直线 的交点 的坐标，根据求不规则面积运用割补法列式化简得
，解出 ，即可作答．
（3）要进行分类讨论，当点 在点 的右边时和点 在点 的左边时，根据求不规则面积运用割补法列
式，其中运用公式法解方程，注意计算问题，即可作答．
23【小问1详解】
解：依题意把 代入 ，得出
解得
把 代入 中，得出
∴
则把 和 分别代入
得出
解得
∴ ；
【小问2详解】
解：记直线 与直线 的交点为
∵
∴当 时，则
∴
24∵P是直线 上的一个动点，
∴设点 ，
∵ 的面积为21，
∴
即
∴
解得 或
∴点P坐标为 或 ；
【小问3详解】
解：由（1）得出
∵点Q在反比例函数 位于第四象限的图象上，
∴设点Q的坐标为
如图：点 在点 的右边时
∵ 的面积为21， 和
25∴
整理得
解得 （负值已舍去）
经检验 是原方程的解，
∴Q点坐标为
如图：点 在点 的左边时
∵ 的面积为21， 和
∴
整理得
解得 ，符合题意， ，不符合题意，
则 ，故
综上：Q点坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，割
26补法求面积，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
25. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长 恰好等于自己的身高 ．此时，小组同学测
得旗杆 的影长 为 ，据此可得旗杆高度为________m；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测
得小李的眼睛距地面高度 ，小李到镜面距离 ，镜面到旗杆的距离 ．求旗
杆高度；
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明
显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面 M，N两点始终处于同一水
平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线 始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并
标记观测视线 与标高线交点C，测得标高 ， ．将观测点D后移 到 处，
采用同样方法，测得 ， ．求雕塑高度（结果精确到 ）．
【答案】（1）
（2）旗杆高度为 ；
27（3）雕塑高度为 ．
【解析】
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．
（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；
（2）根据镜面反射性质，可求出 ，得出 ，最后根据三角形相似的性质，
即可求出答案；
（3） ，由题意得： ， ，利用相似三角形的性质列出式子，
计算即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得 ，由题意得： ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：如图，由题意得， ，
根据镜面反射可知： ，
， ，
，
，
，即 ，
，
答：旗杆高度为 ；
【小问3详解】
28解：设 ，
由题意得： ， ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ，
整理得 ，
解得 ，经检验符合他
∴ ，
答：雕塑高度为 ．
26. 如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，顶点 P．
为
（1）求抛物线的解析式及P点坐标；
（2）抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段 的长；
（3）过点P的直线 分别与抛物线、直线 交于x轴下方的点M，N，直线 交抛物线对
称轴于点E，点P关于E的对称点为Q， 轴于点H．请判断点H与直线 的位置关系，并证明
你的结论．
29【答案】（1） ，
（2）4 （3）点H在直线 上，见详解
【解析】
【分析】（1）待定系数法即可求解二次函数解析式，再进行配方即可求点P坐标；
（2）先由 与 的正切值相等得到 ，继而可证明 ，再由垂径定
理得到 ；
（3）将点 代入 得直线 表达式为 ， 则
，而点E为 中点，则 ，可求
，联立抛物线与直线 表达式，得： ，可求 ，
可证明 ，得到 ，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与x轴交于 ， 两点，
∴代入得： ，
解得： ，
30∴抛物线解析式为 ，
而 ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图：
当 时， ，
∴点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是经过点A、B、C的 的直径，
31∵ ， 经过圆心，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图：
将点 代入 ，得 ，
∴ ，
把点N横坐标 ，代入得 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，点G为 中点，
∴ ，
∴点E为 中点，
∴ ，
∵点P关于E的对称点为Q，
∴ ，
32∴ ，
联立抛物线与直线 表达式，
得： ，
整理得： ，
∴ ，
解得： ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴点N、Q、H三点共线，
∴点H在直线 上．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，圆周角定理，垂径定
理，平行线分线段成比例定理，三角函数，抛物线与直线的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
33
