文档内容
2024 年河南省普通高中招生考试试卷
数学
注意事项：
1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。答在试
卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．
根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为 ，从而求解．
【详解】解：根据题意可知点P表示的数为 ，
故选：A．
2. 据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达 5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为 ，其中 ，确定a和
n的值是解题的关键．
用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为 ，其中 ，且n比原来的整数位数少
1，据此判断即可．
【详解】解：5784亿 ．
故选：C．
13. 如图，乙地在甲地的北偏东 方向上，则∠1的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案．
【详解】解：如图，
由题意得， ， ，
∴ ，
故选：B．
4. 信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ）
A. B.
2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，根据主视图的定义求解即可． 从正面看，在后面的部分会被
遮挡，看见的为矩形，注意有两条侧棱出现在正面．
【详解】解：主视图从前往后看（即从正面看）时，能看得见的棱，则主视图中对应为实线，且图形为矩
形，左右两边各有一个小矩形；
故选A．
5. 下列不等式中，与 组成的不等式组无解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找
不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可．
【详解】根据题意 ，可得 ，
A、此不等式组无解，符合题意；
B、此不等式组解集为 ，不符合题意；
C、此不等式组解集为 ，不符合题意；
D、此不等式组解集为 ，不符合题意；
故选：A
6. 如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，点E为 的中点， 交 于点F．若
，则 的长为（ ）
3A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段
中点定义可得出 ，证明 ，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解∶∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：B．
7. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法
则可得答案．
4【详解】解： ，
故选D
8. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片
如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从
中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．
根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．
【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为 ．
故选∶D．
9. 如图， 是边长为 的等边三角形 的外接圆，点D是 的中点，连接 ， ．以点D
5为圆心， 的长为半径在 内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过D作 于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出 ，利
用弧、弦的关系证明 ，利用三线合一性质求出 ， ，
在 中，利用正弦定义求出 ，最后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解∶过D作 于E，
∵ 是边长为 的等边三角形 的外接圆，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点D是 的中点，
6∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直
角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键．
10. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全
隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功
率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是
（ ）
A. 当 时， B. Q随I的增大而增大
C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．
【详解】解∶根据图1知：当 时， ，故选项A正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合
7题意；
根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，
故选项D正确，但不符合题意；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出 的一个同类项：_______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案．
【详解】解： 的一个同类项为 ，
故答案为：
12. 2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.
某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的
众数为___________分．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了众数的概念，解题的关键是熟知相关概念，出现次数最多的数叫做众数．
根据众数 的概念求解即可．
【详解】解：根据得分情况图可知：9分数的班级数最多，即得分的众数为9．
故答案为：9．
13. 若关于 的方程 有两个相等的实数根，则c的值为___________．
【答案】 ##
【解析】
8【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程 的根的判
别式为 ，且当 时，该方程有两个不相等的实数根；当 时，该方程有两个相等的
实数根；当 时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：
，再求解即可．
【详解】解∶∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在x轴上，点A的坐标为 ，点E在边
上．将 沿 折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为 ，则点E的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设正方形 的边长为a， 与y轴相交于G，先判断四边形 是矩形，得出
9， ， ，根据折叠的性质得出 ， ，在
中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在 中，利用勾股定理构建关于
的方程，求出 的值，即可求解．
【详解】解∶设正方形 的边长为a， 与y轴相交于G，
则四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵折叠，
∴ ， ，
∵点A的坐标为 ，点F的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
在 中， ，
10∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴点E的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利
用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．
15. 如图，在 中， ， ，线段 绕点C在平面内旋转，过点B作
的垂线，交射线 于点E．若 ，则 的最大值为_________，最小值为_________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以 为直径的圆上，根据
，得出当 最大时， 最大， 最小时， 最小，根据当
与 相切于点D，且点D在 内部时， 最小， 最大，当 与 相切于点D，
且点D在 外部时， 最大， 最小，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
11∵线段 绕点C在平面内旋转， ，
∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，
∵ ，
∴ ，
∴点E在以 为直径的圆上，
在 中， ，
∵ 为定值，
∴当 最大时， 最大， 最小时， 最小，
∴当 与 相切于点D，且点D在 内部时， 最小， 最大，连接 ， ，如图
所示：
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
12∴ ，
即 的最大值为 ；
当 与 相切于点D，且点D在 外部时， 最大， 最小，连接 ， ，如图所
示：
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为 ；
13故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，
解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出 取最大值和最小值
时，点D的位置．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算： ；
（2）化简： ．
【答案】（1）9（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：
（1）利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，零指数幂的意义化简计算即可；
（2）先把括号里的式子通分相加，然后把除数的分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果
相乘，最后约分化简即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织
的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结
果如下．
14技术统计表
队 平均每场得 平均每场篮 平均每场失
员 分 板 误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题．
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5
分，乙队员得分的中位数为________分．
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误 ，且综合得分越高
表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
【答案】（1）甲 29
（2）甲 （3）乙队员表现更好
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶
（1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可；
（2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可；
（3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可．
【小问1详解】
解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的的得分上下波动幅度，
∴得分更稳定的队员是甲，
乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30，
15∴中位数为 ，
故答案为∶乙，29；
【小问2详解】
解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，
所以甲队员表现更好；
【小问3详解】
解∶甲的综合得分为 ，
乙的综合得分为 ，
∵ ，
∴乙队员表现更好．
18. 如图，矩形 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线 ， 相交于点E，反比例
函数 的图象经过点A．
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
（3）将矩形 向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．
【答案】（1）
16（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键
是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出 ， ， 对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；
（3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解．
【小问1详解】
解：反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴这个反比例函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴反比例函数 图的象经过 ， ， ，
画图如下：
17【小问3详解】
解：∵ 向左平移后，E在反比例函数的图象上，
∴平移后点E对应点的纵坐标为4，
当 时， ，
解得 ，
∴平移距离为 ．
故答案为： ．
19. 如图，在 中， 是斜边 上的中线， 交 的延长线于点E．
18（1）请用无刻度的直尺和圆规作 ，使 ，且射线 交 于点F（保留作图痕迹，
不写作法）．
（2）证明（1）中得到的四边形 是菱形
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据作一个角等于已知角 的方法作图即可；
（2）先证明四边形 是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出 ，
最后根据菱形的判定即可得证．
【小问1详解】
解：如图，
；
【小问2详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵在 中， 是斜边 上的中线，
∴ ，
19∴平行四边形 是菱形．
20. 如图1，塑像 在底座 上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线 时，由远及近
看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过 A，B两点的圆与水平
视线 相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时 为最大视角．
（1）请仅就图2的情形证明 ．
（2）经测量，最大视角 为 ，在点P处看塑像顶部点A的仰角 为 ，点P到塑像的水
平距离 为 ．求塑像 的高（结果精确到 ．参考数据： ）．
【答案】（1）见解析 （2）塑像 的高约为
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：
（1）连接 ，根据圆周角定理得出 ，根据三角形外角的性质得出 ，
然后等量代换即可得证；
（2）在 中，利用正切的定义求出 ，在 中，利用正切的定义求出 ，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ．
20则 ．
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：在 中， ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
∴ ．
答：塑像 的高约为 ．
21. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了
A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为 ，营养成分表如下．
21（1）若要从这两种食品中摄入 热量和 蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐
中的蛋白质含量不低于 ，且热量最低，应如何选用这两种食品？
【答案】（1）选用A种食品4包，B种食品2包
（2）选用A种食品3包，B种食品4包
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入 热量和 蛋白质”列方
程组求解即可；
（2）设选用A种食品 包，则选用B种食品 包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于 ”列
不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用A种食品4包，B种食品2包．
【小问2详解】
22解：设选用A种食品 包，则选用B种食品 包，
根据题意，得 ．
∴ ．
设总热量为 ，则 ．
∵ ，
∴w随a的增大而减小．
∴当 时，w最小．
∴ ．
答：选用A种食品3包，B种食品4包．
22. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 满足关系式 ，其中 是物体运动的时
间， 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
（1）小球被发射后_________ 时离地面的高度最大（用含 的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为 ，求小球被发射时的速度．
的
（3）按（2）中 速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔
的时间为 ．”已知实验楼高 ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）小明 的说法不正确，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；
23（2）把 ， 代入 求解即可；
（3）由（2），得 ，把 代入，求出t的值，即可作出判断.
【小问1详解】
解：
，
∴当 时，h最大，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：根据题意，得
当 时， ，
∴ ，
∴ （负值舍去）；
【小问3详解】
解：小明的说法不正确．
理由如下：
由（2），得 ，
当 时， ，
解方程，得 ， ，
∴两次间隔的时间为 ，
24∴小明的说法不正确．
23. 综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行
研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）操作判断
用分别含有 和 角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有
________（填序号）．
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形 是邻等对补四边形， ， 是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若 ， ， ，求AC的长（用含m，n， 的式子表示）．
（3）拓展应用
如图3，在 中， ， ， ，分别在边 ， 上取点M，N，使四边形
是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 的长．
【答案】（1）②④ （2）① ．理由见解析；②
25（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可；
（2）①延长 至点E，使 ，连接 ，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出
，证明 ，得出 ， ，根据等边对等角得出
，即可得出结论；
②过A作 于F，根据三线合一性质可求出 ，由①可得 ，在
中，根据余弦的定义求解即可；
（3）分 ， ， ， 四种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，
故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：②④；
【小问2详解】
解：① ，理由：
延长 至点E，使 ，连接 ，
∵四边形 是邻等对补四边形，
∴ ，
26∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②过A作 于F，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
27∵四边形 是邻等对补四边形，
∴ ，
∴ ，
当 时，如图，连接 ，过N作 于H，
∴ ，
在 中 ，
在 中 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
28∴ ，
∴ ；
当 时，如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故不符合题意，舍去；
当 时，连接 ，过N作 于H，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∵ ， ，
29∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故不符合题意，舍去；
综上， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三
角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题
的关键．
30
