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2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．
2．
3．
4．
5．8
6．
7．
8．3
9．2
10．
11．
12． 或
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13 14 15 16
A A B C
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．（1）因为 ， ，（3分）
当 时，则 ，所以 . （6分）
学科网（北京）股份有限公司（2）因为“ ”是“ ”的充分非必要条件，所以 是 的真子集，又 ，
，
所以 ，解得 ，即实数a的取值范围为 . （14分）
18．（1）因为 ，所以 ,即1是方程 的根，
所以 ，解得 ，
所以由方程 解得 或 ，
所以 , （3分）
又由 解得 或 ，
所以 ,所以 . （6分）
（2）由题可知 是方程 的两个根，
因为 ，所以 ，解得 或 ， （8分）
由韦达定理得 ，
因为 ，
即 解得 或 ，
又因为 或 ，所以 . （14分）
19．（1）设定价为 元，则销售量为 万件，
由已知可得， ， （2分）
学科网（北京）股份有限公司整理可得， ，解得 ，
所以，该商品每件定价最多为50元. （6分）
（2）由已知可得， ， .
因为 ，所以 ， （12分）
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以， .
所以，当该商品改革后的销售量 至少应达到 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入
与总投入之和，商品的每件定价为20元. （14分）
20．（1）已知非空实数集 满足：任意 ，均有 ，且 在实数范围内无解，所以
，
所以 ，又 ，
则集合 中的元素是以 的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且 ，
又 ，则S中所有元素之积的所有可能值为 或 ； （4分）
（2）已知非空实数集 满足：任意 ，均有 ，且
所以 ，且 ，又 ，
则集合 中的元素是以 的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且 ，
若 由四个元素组成，则 ，且所有元素之和为3，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，整理得 ，
解得 或 ， （8分）
当 或 或 或 时， ，
综上， ； （10分）
（3）由（1）（2）集合 的元素个数分别是以 和 为最小正周期循环，
且当 时，同一周期内其余元素不相等，
因而 和 互素，所以 和 中的各组最多只能有一个公共元素，
因为 有五个元素，若要使 的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内，
若 ，此时从 中选出5个元素属于 ，此时T包含20个元素，
中包含 ， （14分）
若 ，此时从 中选出5个元素属于 ，此时S包含15个
元素， 中包含 ，
所以 的元素个数最小值为 . （18分）
21．（1）解：对于 ，去掉 后， 不满足题中条件，故 不是“可分集合”，
对于 ，集合 所有元素之和为 .
当去掉元素 时，剩下的元素之和为 ，剩下元素可以组合 、 这两个集合，显然符合
题意；
当去掉元素 时，剩下的元素之和为 ，剩下元素可以组合 、 这两个集合，显然符合
学科网（北京）股份有限公司题意；
当去掉元素 时，剩下的元素之和为 ，剩下元素可以组合 、 这两个集合，显然符合
题意；
当去掉元素 时，剩下的元素之和为 ，剩下元素可以组合 、 这两个集合，显然符合
题意；
当去掉元素 时，剩下的元素之和为 ，剩下元素可以组合 、 这两个集合，显然符合
题意；
当去掉元素 时，剩下的元素之和为 ，剩下元素可以组合 、 这两个集合，显然符合
题意；
当去掉元素 时，剩下的元素之和为 ，剩下元素可以组合 、 这两个集合，显然符合
题意.
综上所述，集合 是“可分集合”. （4分）
（2）证明：不妨设 ，
若去掉元素 ，将集合 分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有 ①，或者 ②，
若去掉元素 ，将集合 分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有 ③，或者 ④，
由①③得 ，矛盾，由①④得 ，矛盾，
由②③得 矛盾，由②④得 矛盾，
故当 时，集合 一定不是“可分集合”． （10分）
学科网（北京）股份有限公司（3）由（1）（2）集合 的元素个数分别是以 和 为最小正周期循环，
且当 时，同一周期内其余元素不相等，
因而 和 互素，所以 和 中的各组最多只能有一个公共元素，
因为 有五个元素，若要使 的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内，
若 ，此时从 中选出5个元素属于 ，此时T包含12个元素，
中包含 个元素， （14
分）
若 ，此时从 中选出5个元素属于 ，此时S包含15个
元素， 中包含 ，
所以 的元素个数最小值为13. （18分）
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