2024学年第二学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考
高三数学 试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1.已知集合M={xly=√1-x},集合N={yly=2*,xeM},则M∩N=
A.?
B.{x|0<x≤1} c.{x|x≤1} D.{x|x≥1}
2.直线kx-y-2k+3=0(k∈R)与圆x2+y2-2x-4y=0的位置关系是
A.相离 B.相切 C.相交 D.都有可能
3.已知函数f(x)满足：Vx∈R,f(x)·f(x+4)=2,且f(1)=2,则f(29)=
A.1 B.2 C.3 D.4
4.某个简谐运动可以用函数f(x)=sin(ox+4)(w>0,|p|<π),x∈[0,+o]来表示，部分图象如图所示，则
A.w=2,?=6 以心
B.xa-xa=3 A. B
o
12 戈
x=3
C.直线 是曲线y=f(x)的一条对称轴
第4题图
v=f(2x+3)
D.点(0,0)是曲线 的一个对称中心
5.已知α,β是关于x的方程x2+x+a=0(a∈R)的两根，不正确的是
A.若a>4 ,则α,β是一对共轭复数 B.若a=1,则α3=β3=1
C.对Va∈R,α+β=-1 D.对Va∈R,|a|=|βl
6.已知P,Q,R是长方体ABCD-A?B?C?D?表面上任意三点，且AB=6,AD=4,AA=2,则PQ·PR
的最小值为
A.-14 B.-13 C.-10 D.-5
7.已知P为椭圆C:+=Ka>b>0)上一点(非顶点),A,B为椭圆的左右顶点，令∠PAB=α,
)
∠PBA=β,∠APB=γ(其中α,β,y均不为 △PAB的面积为S,则下列表达式不可能为定值的是A. tanatanβ B. S·tany c.csL2B+) D. sin2α·sin2β
8.已知数列{an}满足a?=1,=1+J(neN).记数列{an}的前n项和为S,,则
A.√o?>+ B.am≥n+3 c.3<Sas<3
D.4<S202s<5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得6分， 分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.根据气象学上的标准，从冬季进入春季的标志为连续5天的日平均温度均超过10℃.现将连续5天的日
平均气温的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，则下列样本中一定符合入春指标的有
A.平均数为13,极差为3 B.中位数为13,众数为11
C.众数为15,极差为6 D.平均数为16,方差为6
P(@)=4,PB)=3,P(41B)=4
10.随机事件A,B满足 ,则下列说法正确的是
B.P(IB)=
A.P(AB)≠P(A)P(B)
c.P(A+B)=5 D.P(AB(4+B))=4
11.已知抛物线T:y2=4x,直线l过厂的焦点F且与T交于A,B两点.以AB为直径的圆与x轴交于
P(x?,0),Q(x?,0),与y轴交于M(0,y),N(0,y?)两点，则有
A. y?y2为定值 B.xx?不是定值
C.∠MAN有最小值 D.∠MAN有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.随机变量X服从正态分布ξ~N(10,o2),P(8≤ξ≤10)=a,P(ξ>12)=b,则a+b=___,+
的最小值为_____.
13.已知a=370,b=10√10,则a,b的大小关系为：a_____b(填>,=,<)
14.已知t=x+(x∈R,x≠0),若函数f(1)=t+°-2+a(a,b∈R)
)有零点，则a2+b2的取值范围是_____
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
asin2f+csim22-2(a+b+c)
15.(13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
(1)求角B的大小；(2)设D是边AC上一点，满足AD=2DC,且BD平分∠ABC,若a=2,求△ABC的面积.
16.(15分)如图，四边形ABCD是正方形，四边形AEPD是直角梯形且PD// EA,PD⊥CD,PD⊥AD,
AD=PD=2EA=2,BP,BE,PC的中点分别为F,G,H P
(1)证明：平面FGH//平面ADPE,并求直线CE与平面FGH所成角的正弦
H
值；
成
EK
D
(2)设截面FGH与平面ABCD的交线为1,确定l的位置并说明理由. ℃
G
A B
第16题图
17.(15分)已知函数f(x)=e*-ax-cosx,x∈(0,+∞).
(1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；
8(x)=
(2)判断 的单调性，并说明理由；
sxx>I-x
(3)证明： ,x∈(0,1).(证明时可使用下列结论：当x∈(0,+)时，e*>x+1,sinx<x<tan x
成立)18.(17分)已知圆C?:x2+y2=1,0为坐标原点，过C?上任意一点P(x?,yo)(xo·yo≠0)作圆C?的切线1.
+342=1
(1)若1与椭圆C?: 1相交于A,B两点，证明：OA⊥OB;
+=1
(2)若1与椭圆C?:
1相交于A,B两点，恒有OA⊥OB,判断C?是否过定点?请说明理由.
19.(17分)材料1:埃及分数是指分子为1的分数，也叫单位分数.古埃及人进行运算时，擅长使用分子
2=2+4+6=2+3+立
为1的分数进行运算，如 埃及分数是埃及文明中
具有独特魅力的一部分.
l-n
份
+?+3+…+1+…却会无限增
材料2:数列 的发散性：随着n的不断增大，虽然 无限接近于0,但
>a.
大(发散),即任意给一个正数a,一定存在一个正整数N?,当n>N?时，
材料3:对于任意正整数n,都存在唯一的整数a,b,,使得n=an×2其中a,为奇数，b,为自然数.
,(@)=兰keN)
定义： .结合上述材料解决下列问题.
718
(1)将 表示成不同的埃及分数的和(写出一种表示形式即可);
(2)试判断是否存在正整数n,使得w,(1)=2025,并证明你的结论；
<3.
(3)求证：高三数学 参考答案及解析
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.)
1.【答案】B
【解析】M=(-,1),N=(0,2),M∩N=(0,1),选B.
2.【答案】C
【解析】将圆的方程化为标准方程(x-1)2+(y-2)2=5,所以圆心坐标为(1,2),圆的半径为√5,
直线hx-y-2k+3=0(k∈R)恒过定点(2,3),(2-1)2+(3-2)2=2<5,点(2,3)在圆内，所以直线与
圆相交，故选：C.
3.【答案】A
f(x+4)=)
【解析】根据题意， f(x)·f(x+4)=2,显然f(x)≠0,所以
r+)-高-9
所以 所以函数f(x)的一个周期为8
所以f(29)=f(8×3+5)=f(65)=0=1
.故选：A.
4.【答案】C
yA
12
A B.
o
12
恐 交
【解析】由图知f(0)=sinp=-2
,由图象知?=-6+2km,keZ,又|p|<π,所以φ=-6,
2°-6=π
,0,所以 f(x)=sin(2x--),
又由五点作图知，第三个点 ,得到W=2,所以
A错设A(x,2),Bx,?),由f(x)=sn(2x--)=2,到2x--=6+2kmkeZ,
2x?-6=6+2m,keZ,所以4B}=1x?-x1=3
,B错误.
x=2+3,
v=r 2x+3)=cos4x,由
令2x-6=kπ+2
,解得 ,所以C正确；因为4x=2+a,keZ,得到x=g+4,keZ,所以点(8+智，0))是曲线y=f{2x+3)
对称中心，
D错误.选C.
5.【答案】D
a>4
时，△<0,则方程有两个共轭虚根，所以α=β,A正确若a=1,
【解析】△=1-4a.当
则△<0,a,β是x2+x+1=0的两个共轭虚根，又x3-1=(x-1)(x2+x+1),所以α3=β3=1,
-IA,或=±-
B正确.由求根公式可知，x2+x+a=0的两根分别为
,所以α+β=-1,
所以C正确.当△>0时，比如a=-2,则α=1,β=-2,所以D错误.
6.【答案】B
PQ·PR=PM2-OR
【解析】取QR中点为M,由极化恒等式， 又P,Q,R是长方体
QR2最大，最大值
ABCD-A?B?C?D?表面上任意三点，所以当Q,R位于体对角线的两个端点时，
PM2
为56.此时M为长方体的中心，则当P位于长方形ABCD中心时， 的值最小，最小值为1,
所以PQ·PR的最小值为-13,选B.
7.【答案】D
+8=1.
【解析】设P(x?,yo),则：
tanc tan B==kakm--o+a xo-a----
为定值，A正确.
由对称性，不妨设y。>0,则S=ay。,
v--m+)-D-
+a+a-x。)--&---&a--2B--be,
所以Stany=ay.(-e)=-2b
为定值 B正确.
s2B+)-osIB+7)-A-oSsn-a-B)-csa-B)-cscs B-shnasm s--ancen
为定值，C正确
sm2a-sn2B=1+tan2c 1+tan2BI+tan2a+tan2Atm2acn2B
如果sin 2α·sin 2β为定值，则tan α+tanβ也是定值，则tana,tanβ均为定值，不可能，故
D错误.
8.【答案】C
=1+Ja,所以a,>0,a?=2,所以S20s>a?+a?=2
【解析】因为a?=1,
(司，广方，故方应方
而
后后<(m-1)=1+"21=“=>(74)
由累加法可得当n≥2时， ,又因为当
所
(4)
n=1时， 也成立，所以
sn+2sn+1a≤2
故- ,由累乘法可得当n≥2时，
a.=asn+2×n+×”-2×…×3×4-(Q+2)(2+1)=6(+-n+2),
Suss1+6(3-4+4-5+5-6…20262027)=1+6(3-2027)<1+2=3,
所以
3<Sms<3
所以 故选：C
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.)
9.【答案】ABD
【解析】“连续5天的日平均温度均超过10℃”,将5天数据从小到大排序为：xj,X?,x?,x?,x5,
x+x?+x?+X?+Xs=13,x+x?+x?+x?+x=65,x?-x=3,x?=x+3,若
A选项，
x?=x?-3≤10,则x?≤13,则x?+x?+x?+x?+x?<65,所以A选项正确.
B选项，中位数是13,众数是11,所以将数据从小到大排序后，第3个数是13,第1,2个数
为11,所以5个数据都超过10,所以B选项正确.
C选项，众数是15,极差为6,如9,9,15,15,15,第1天低于10,不符合，所以C选项错误.
D选项，x+X?+S+x+×=16,x+x?+x+x?+x=80,X-0)+(x-10)+(x-0)+(x-16)+(x-0°=6'
(x?-162+(x?-162+(x?-10)2+(x?-16)2+(x-162=30,若x≤10,则(x?-16)2≥36,
矛盾，所以D选
项正确.故选：ABD
10.【答案】BC, P(AB)=P(AB)-P(D)=2,
P(4)=3,P(B)=3,因为P(AD)=POD-3,
【解析由已知可得：
所以P(AB)=P(4)-P(AB)=4
,所以P(AB)=P(A)P(B),A错；P(AB)=P(B)-P(AB)=6,B
(aK4+)----
正确.P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=6,C正确.
D错.选BC.
11.【答案】AD
【解析】设直线I的方程为x=my+1,与y2=4x联立可得y2-4my-4=0,设A(xA,yA),B(xg,yB),
则vwa=-4,xx=44=1
1 |AB|=x?+xg+2,以AB为直径的 圆可 表 示为
(x-x+×a)2+(y-2va)2=(2×e+12, (y-a2e)2=xa+xa+1,
,令x=0可得：
即y2-(va+ys)y++2y?s+v=xa+xg+1,即y2-(va+ye)y-3=0,所以y?+v?=Va+yg,
Y?y?=-3.由相交弦定理可知：|OP|OQ|=|OM|ON|,即|xx?|=|v?v?|,所以x?x?=y?y?=-3,
A对，B错
对C、D选项：
方法一：
R+x-C++-+-yrsx++)+-
25--5c5
(其中，
方法二：弦AB的中点为C,则∠MCN=2∠MAN,取MN中点R,则CR是MN的中垂线，
所以∠MCN=2∠MCR,所以∠MAN=∠MCR,则cos∠MAN=cos∠MCR=-1=1-1≥{因为22),所以∠MAN≤3
.所以C错D对.
选AD
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12
6+4√2(第一空2分。第二空3分)
12.【答案】
a+b=_,且
【解析】结合正态曲线可知：
a>0,b>0.1+2=21+3(a+b)=6+2+2)≥6+4√2贺=6+42,当且仅当
=2-1,n=2-√2
-,即
时 号成立.
13.【答案】>
【解析】同时取e为底的对数，得In3=√10In3,In10√10=In(√10)°=3In√10,
则转换为比较√10ln3和3In√10的大小，设f(x)=,则f(x)=,当x∈(e,+0)时，
3>则
f'(x)<0,即f(x)在(e,+o)上单调递减，由3<√10,所以：
√10In3>3In√10,即3ho>10√10,所以在数字30和10√10中,更大的数字是310
5,+o)
14.【答案】
【解析】由题意可知，方程t2+at+b-2=0有实数根，将关于t的方程看成关于a,b的直线方程
ta+b+t2-2=0,则a2+b2可视为直线上的点(a,b)到原点的距离的平方，其最小值即为原点到
c-=2-2Y-e+)-6P2+)+9
直线的距离的平方，所以距离的平方
=2+1+?+-6,
d=m+9-6,因为t=x+,所以H=A+贵2,当
,令m=t2+1,则(
且仅当网=岗 v=m+9-6在
,即x=±1时取等号，则m≥5,由对勾函数的单调性可知，函数-
a =5+9-6=5 5,+
[5,+o]上单调递增，所以( ,所以a2+b2的最小值为 故答案为：
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.【解析】
(1)
asin2+sim24-al-csC+d-2sA)=atc-acsC-co……2分
在△ABC中，
=a2c-(sC-0o8)-t°-{ax220-2+cxb22-a)-at2-
,……4分
因为asin2 +sin2-2(a+b+) a2b-2(a+b+0’
,所以
化简得a2+c2-b2=ac,……6分
cosB=2+0-b2=1,
由余弦定理得
又B∈(0,π),所以B=-;……9分
BC==2,
(2)由题意， ,又BC=2,所以BA=4……11分
R
则Sac=-acsinB=2√3……13分
H
16.【解析】 F
E
D
(1)证明：∵F是BP中点，H是PC中点，∴FH//BC,又BC// AD,
℃
G
∴FH// AD,∴FH //平面AEPD,同理FG//平面AEPD,∴平
A B
面FGH //平面ADPE.……4分
第16题解图
CD⊥AD,CD⊥PD,则CD⊥平面PDAE,则∠CED就是CE与
平面ADPE所成的角，又平面FGH //平面ADPE,所以∠CED就是直线CE与平面FGH
所成角……8分
在Rt△CDE中，CE=3,CD=2,所以sin∠CED=CE=3……9分
(2)延长PE交DA于点Q连接BQ,延长FG与BQ交于点R,则由F,G分别为中点，则R是BQ
中点，取CD中点M,则RM就是所求的直线l.……11分
理由：平面FGHO平面ABCD=1,平面ADPE O平面ABCD=AD,又平面FGH//平
面ADPE,所以L// AD.……13分设平面FGH与棱CD的交点为M,又H为PC中点，所
以M为棱CD中点，所以RM就是所求的直线l……15分
17.【解析】(1)f(x)=e*-ax-cosx,x≥0,f(0)=e?-a×0-cos0=0,f'(x)=e*-a+sinx,
f'(0)=e?-a+sin0=1-a,令m(x)=e*-a+sinx
m'(x)=e+cosx≥1+cosx≥0,等号不同时取，所以当x≥0时，m'(x)>0,f'(x)在
[0,+∞]上单调递增，f'(x)≥f'(0)=1-a……3分
①若1-a≥0,即a≤1,f'(x)≥1-a≥0,f(x)在[0,+0]上单调递增，所以f(x)在
[0,+0]上的最小值为f(0)=0,符合题意……4分
②若1-a<0,即a>1,此时f'(0)=1-a<0,f'[In(a+2)]=2+sin[ln(a+2)]>2-1>0,
又函数f'(x)在[0,+0]的图象不间断，据零点存在性定理可知，存在x?∈(0,In(a+2)),
使得f'(x)=0,且当x∈(0,x?)时，f'(x)<0,f(x)在(0,x?)上单调递减，所以
f'(x?)<f(O)=0,微 题意矛盾，舍去.
综上所述，实数a的取值范围是(-○,1).……7分
(2)8(x)=f(C)-x-fx)
,令h(x)=f(x)·x-f(x),则
h(x)=x·(e*-a+sinx)-(e*-ax-cosx),即h(x)=(x-1)e*+xsinx+cosx,x>0,……
h(x)=x(e*,+cosx)>0,所以h(x)在(0,+o)上单调递增，h(x)>h(O)=0.……9
8分
8(x)=)
分 即当x>0时，x·f'(x)-f(x)>0,所以 在[0,+o]内单调递增.……10分
(3)法一：由(2)得，当x>0时，(x-1)e*+xsinx+cosx>0,所以当x>0时，
(1-x)e*<xsinx+cosx.又当x∈(0,+)时，e×>x+1,sin x<x< tan x成立，所以当
xe(0.1)时，(1-x)e2<xsinx+cox< x+1)sinx,……13分
ix×+)e(-x)(+x)(-+)(+x)=-
即si .所以当x∈(0,1)时，x>I-x.……15分
法二：令h(x)=sinx-×4+2),xe[0,]……11分 所以H(x)=o-2P+1
n(x)=sm++,所以h(x)=-2<0,H()在[0]
上单调递减，
(0.
h"(x)≥h②)=27-sin>0,H(x)在
所以 上单调递增，所以
0
h(x)>h'(0)=0,……13分 h(x)在 上单调递增，所以h(x)>h(0)=0,即当
112
xe(0, sinx>×(-14分 类似可证,不等式对(1
时，:
(一，1)成立。……15分
2
18.【解析】
(1)圆C?:x2+y2=1在点P(x?,y。)的切线I的方程为x?x+y?y=1,
与C?:x2+3y2=4联立消去y可得(3x2+y?)x2-6x?x+3-4y?=0,……2分
x?+x?=3x6+,xx=3-4
设A(x?,y?),B(x2,y?)由韦达定理可知：
ww=-x-x1-(x+X+X?,4分
所以
而1-(x+x,)x+xx8=1-3x6+83-+638+x),……6分
所以ws-3-4,所以xX+ws-3=4G3x484-346+=0……7分
C?&+g=1,
(2)设椭圆( ,又过点P的圆C?的切线方程为x?x+y?y=1 .联立
bx+d==aB
得(b2y2+a2x2)x2-2a2x?x+a2-a2b2y2=0,设ACson),B?,)则
y?y?y?=(1-x?x?)(1-x?x?)=1-x?(x?+x?)+x2xix?
y
由OA⊥OB,得y:(xx?+y?y?)=0 .即 BA
y?x?x?+1-x?(x?+x?)+x2x?x?=0,又x2+y2=1.所以
x
O C?
C
A
x?x?-x。(x?+x?)+1=0……13分
bG+axB++1=0
6+d)=0,
所以 .化简可得 所以
(a2+b2-a2b2)y2=0……15分
+=1
又上式对任意的y。∈[-1,1] 均成立故a2+b2-a2b2=0,即
.所以椭圆
C?+=1
必过定点(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1).……17分
19.【解析】
1)8=2+4+8=2+3+24……2分
(2)方法一： 殊到一般
2=2+2<z++z+2+22+3+…2*+2<22+可知：1+?+33<2,
利用
+2+3+4>2,又1+2+3+6=2,
则各分母不是连续正整数；
?<+2+3+4+5+6+今+8,1+2+3+4+…5+16>3,
,则若存在
+1+3+4+5++-+8…+1=3,
,则各分母不是连续正整数，由此可推测
@,(1)=2025不可能成立.若有同学这样回答，酌情给分。
方法二：不存在，证明如下：
证明：设n=a,×2,其中a,为奇数，b,为自然数，设r=max{b},n=1,2,…,k,设j=max{n|b?=r,n≤k},j=a,×2°,则a,=1.否则，当a,≥3时，2°,1<a,×2=j,
与r的定义矛盾，故j=2,……5分
则
++÷++22
=9+aa0,2
c=aa.22”,……8分
,其中
则c,为奇数，i≠j时c;为偶数，从而@,(1)分子为奇数，分母为偶数，则@,(1)不可能为整数，
故不存在这样的k,使w,(1)=2025.……10分
(3)证明：对任意正整数n,当n≥2时， 意到
2n3-n(n+1)n+2)=n(zn2-3n-1)=n[2n(n-2)+n-1]>0……11分
故
×(na+)("+)-((r(a+)+(7+Y),a+)-yJ+)-(而+A+)、o0+)·……14分
故 从而
)·……16分
()-2一=1+2—<+22(π)=1+22(在)s37分
则或：当n≥2时，4n3>n(n+1)(2n+1)=n2(n+1)+n(n+1)2,则
(a+)+(+)所+方—,即
)·
类似其它放缩方法酌情给分
