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湖北省荆门市 2020 年中考数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1. 的平方是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算 ，然后再计算平方．
【详解】∵
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值和平方的计算，按照顺序进行计算即可．
2.据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支
持，据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元，82.6亿用科
学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的
绝对值＜1时，n是负数．
【详解】82.6亿＝ ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.如图，菱形 中，E，F分别是 ， 的中点，若 ，则菱形 的周长为（ ）
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知EF为△ABD的中位线，可求出AB的长，由于菱形四条边相等即可得到周长．
【详解】解：∵E，F分别是 ， 的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴菱形 的周长为
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，菱形的性质，发现EF为△ABD的中位线是解题的关键．
4.下列等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据幂的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则计算即可．
【详解】解：A、 ，
故选项A错误；B、
，
故选项B错误；
C、
，
故选项C错误；
D、
，
故选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则，熟练掌握相
关运算法则是解决本题的关键．
5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，根据体积=底面积×高，把相关数值代入
即可求解．
【详解】解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角
边长为1，高为2，
则，等腰直角三角形的底面积 ，
体积=底面积×高 ，
故选：A
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及求三棱柱的体积，读懂题意，得出该几何体的形状是
解决本题的关键．
6. 中， ，D为 的中点， ，则 的面积
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
连接 AD，用等腰三角形的“三线合一”，得到 的度数，及 ，由 得
，得 ，计算 的面积即可．
【详解】连接AD，如图所示：
∵ ，且D为BC中点
∴ ，且 ，
∴ 中，
∵
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及解直角三角形和三角形面积的计算，熟知以上知识是解题的关
键．
7.如图， 中， ，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由垂径定理都出 ，然后根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】∵OC⊥AB，
∴ ，
∴∠APC= ∠BOC，
∵∠APC=28°，
∴∠BOC=56°，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，得出 是解题关键．
8.为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组10名学生的单元测试成绩如下：78，86，60，108，112，
116，90，120，54，116这组数据的平均数和中位数分别为（ ）
A. 95，99 B. 94，99 C. 94，90 D. 95，108
【答案】B
【解析】
【分析】
按照平均数和中位数的计算方法进行计算即可．
【详解】平均数为：
将数据按照从小到大进行排列为：54，60，78，86，90，108，112，116，116，120
中位数为：故选：B．
【点睛】本题考查了平均数，中位数的计算，熟知以上计算方法是解题的关键．
9.在平面直角坐标系 中， 的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为 ，将 沿直
线 翻折，得到 ，过 作 垂直于 交y轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出OA，然后证明△ ∽△ 即可得出答案．
【详解】由题意可得AB=1，OB= ，
∵△ABC为直角三角形，
∴OA=2，
由翻折性质可得 =1， = ， =2，∠ =90°，
∵∠ +∠ =90°，∠ +∠ =90°，
∴∠ =∠ ，
∵ ⊥ ，∠ =90°，
∴△ ∽△ ，
∴ ，即
∴OC=4，∴点C的坐标为（0，-4），
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理，证明△ ∽△ 是解题
关键．
10.若抛物线 经过第四象限的点 ），则关于x的方程 的根的
情况是（ ）
A. 有两个大于1的不相等实数根 B. 有两个小于1的不相等实数根
C. 有一个大于1另一个小于1的实数根 D. 没有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的图像进行判断即可．
【详解】∵a>0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线经过第四象限的点（1，-1）
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，一个大于1另一个小于1，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，判断出抛物线的图像是解题关键．
11.已知关于x的分式方程 的解满足 ，且k为整数，则符合条件的
所有k值的乘积为（ ）
A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
先解出关于x的分式方程得到x= ，代入 求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．
【详解】关于x的分式方程得x= ，
∵
∴
解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3
∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,
故选A．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．
12.在平面直角坐标系中，长为2的线段 （点D在点C右侧）在x轴上移动 ， ，连接
、 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2），再过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，连接BE交x轴与D点，
过A’作A’C∥DE交x轴于点C，得到四边形CDEA’为平行四边形，故可知AC+BD最短等于BE的长，再
利用勾股定理即可求解．
【详解】作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2）
过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，故E（2，-2）连接BE交x轴与D点
过A’作A’C∥DE交x轴于点C，
∴四边形CDEA’为平行四边形，
此时AC+BD最短等于BE的长，
即AC+BD=A’C+BD=DE+BD=BE= =
故选B．
【点睛】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
13.计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】
原式第一项运用算术平方根的性质进行化简，第二项代入特殊角三角函数值，第三项运用零指数幂运算法
则计算，第四项运用负整数指数幂的运算法则进行计算，最后根据实数的运算法则得出结果即可.
【详解】
=
=
故答案为：
【点睛】此题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解答此题的关键.
14.已知关于x的一元二次方程 的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．【答案】1
【解析】
【分析】
利用因式分解法求出x,x，再根据根的关系即可求解．
1 2
【详解】解
（x-3m）（x-m）=0
∴x-3m=0或x-m=0
解得x=3m,x =m，
1 2
∴3m-m=2
解得m=1
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
15.如图所示的扇形 中， ，C为 上一点， ，连接 ，
过C作 的垂线交 于点D，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题目条件计算出OD，CD的长度，判断 为等边三角形，之后表示出阴影面积的计算公式进
行计算即可．
【详解】在 中，
∴∵
∴
∵
∴ 为等边三角形
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键．
16.如图，矩形 的顶点A、C分别在x轴、y轴上， ，将 绕点O顺时针旋转，点B落
在y轴上的点D处，得到 ， 交 于点G，若反比例函数 的图象经过点G，则k
的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意证明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，根据相似三角形的性质求出CG的长度，即可求解．【详解】解： 由B（-2，1）可得，AB=OC=1，OA=2，OB=
由旋转可得：△AOB≌△EOD，∠E=∠OAB=90°，
∴OE=OA=2，DE=AB=1，
∵∠COG=∠EOD，∠GCO=∠E=90°，
∴△COG∽△EOD，
∴ ，即 ，
解得：CG= ，
∴点G（ ，1），
代入 可得：k= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质和反比例函数，解题的关键是利用相似三角形的
性质求出OG的长度．
17.如图，抛物线 与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线 ，给出下列结
论：① ；②若点C的坐标为 ，则 的面积可以等于2；③ 是抛
物线上两点 ，若 ，则 ；④若抛物线经过点 ，则方程
的两根为 ，3其中正确结论的序号为_______．【答案】①④
【解析】
【分析】
①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可．
②根据图形可知AB的值大于4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2．
③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大．
④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解．
【详解】解：① 开口向下， a<0， 对称轴x=1,a<0, b>0， 抛物线与y轴的交点在y的正半轴上，
c>0， abc<0，正确．
②从图像可知，AB>4, > ， ，故错误．
③ ， 从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数
值越大； ，故错误．
④把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，∴ ，即x=3，
是方程 的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方
程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解．
三、解答题（本大题共7小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
18.先化简，再求值：
，其中 ．
【答案】 ； ．
【解析】
【分析】
利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．
【详解】解：
原式当 时，
原式
。
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相关的性质和运算
法则是解题的关键．
19.如图， 中， ， 的平分线交 于D， 交 的延长线于点E，
交 于点F．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出 ， ，再根据垂直与外角的性质即可求出 ；
（2）根据题意证明 ，再得到 为等边三角形，故可得到 ，可根据三
角函数的性质即可求出AF．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三角函
数的应用．
20.如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条
形统计图．
根据图中信息解答下列问题：
（1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；
（2）补全条形统计图；
（3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件
XL号运动服装，将它们放在一起，现从这 件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装
的概率为 ，求x，y的值．
【答案】（1）XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；（2）补全条形图如图所示，见
解析；（3） ．
【解析】【分析】
（1）先求出抽取的总数，然后分别求出对应的百分比即可；
（2）分别求出S、L、XL的数量，然后补全条形图即可；
（3）由销量比，则 ，结合概率的意义列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：（1）抽取的总数为： （件），
∴XXL的百分比： ，
XL的百分比： ；
∴XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%．
（2）根据题意，
S号的数量： （件），
L号的数量： （件），
XL号数量： （件），
补全条形图如图所示．
（3）由题意，按照M号，XL号运动服装的销量比，则 ，
根据概率的意义，有 ，∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了概率的意义，频数分布直方图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计
图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21.如图，海岛B在海岛A的北偏东 方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海
里/时的速度沿北偏东 方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达
C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（1）求 的度数；
（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．
（参考数据： ）
【答案】（1） ；（2）快艇的速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．
【解析】
【分析】
（1）过点B作 于点D，作 于点E，根据题意求出∠ABD和∠ADE 的度数，即可求解；
（2）求出BE的长度，根据解直角三角形求出BF和EF的长度，在 中，求出AD、BD的长度，
证出四边形 为矩形，可求得快艇的速度和CE之间的距离．
【详解】（1）过点B作 于点D，作 于点E．
由题意得： ， ，∵ ，
∴ ，
而
∴ ．
（2） （海里）
在 中， ，
（海里），
（海里），
在 中， ，
（海里），
（海里），
∵ ， ， ，∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴
，设快艇的速度为v海里/时，则 （海里时）
的
答：快艇 速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用−方位角问题，理清题中各个角的度数，
熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
22.如图， 为 的直径， 为 的切线，M是 上一点，过点M的直线与 交于点B，D两
点，与 交于点E，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析；（2） 的半径为2.5．
【解析】
【分析】
（1）根据切线的性质得到 ，可得 ，再根据等腰三角形的性质与角度等量替换得到
，故可证明；
（2）解法1，先连接BC,证明 ，得到EM=6，根据勾股定理求出AE，再根据
列出比例式求出直径，故可求出；解法2，连接CD，同理得到 ，根据勾
股定理求出AE，设 ，根据等腰三角形的性质得到CD=CE=x,再利用Rt△ACD列出方程故可求出x,再得到直径即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 为 的切线， 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴ ．
（2）方法1：解：如图，连接 ，
∵ 为直径，∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
又： ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 的半径为2.5．
方法2：解：如图，连接CD，
∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ 为直径，∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ，
在 中，
，∴ ，解得
∴ ，
∴ 的半径为2.5．
【点睛】此题主要考查切线的综合运用，解题的关键是熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与
性质及等腰三角形的性质．
23.2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫
力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为 ，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？
（销售额=销售量×销售价格）
【答案】（1） ；（2）当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是
500元．
【解析】
【分析】
（1）分为 和 ，用待定系数法确定解析式即可；
（2）分别计算出 和 时的最大值，进行比较，最大的作为最大值即可．
【详解】（1）当 时，设 ，由图象得：
解得：
∴
当 时，设 ，由图象得：
解得：
∴综上， ．
（2）设当月该农产品的销售额为w元，则 ．
当 时，
∵ ，由二次函数的性质可知：
∴当 时，
当 时，
∵ ，由二次函数的性质可知：
当 时，
∵
∴当 时，w取得最大值，该最大值为500．
答：当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元．
【点睛】本题考查了一次函数，二次函数在实际问题中的应用，能根据实际问题提供的关系式快速列式并
进行准确的计算是解题的关键．
24.如图，抛物线 与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线 的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作 轴，垂足为C， 交
于点D，求 的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线 向右平移得到抛物线 ，直线 与抛物线 交于M，N
两点，若点A是线段 的中点，求抛物线 的解析式．
【答案】（1）直线 的解析式为 ，抛物线顶点坐标为 ；（2）当 时，
的最大值为 ； ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线 的解析式为 ，利用待定系数法求出
AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）过点D作 轴于E，则 ．求得AB=5，设点P的坐标为
，则点D的坐标为 ，ED=x，证明 ，由相似三角形的性质求出 ，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点P的坐标；
（3）设平移后抛物线 的解析式 ，将L′的解析式和直线AB联立，得到关于x的方
程，设 ，则 是方程 的两根，得到
，点A为 的中点， ，可求得m的值，即可求得L′的函数解析式．
【详解】（1）在 中，
令 ，则 ，解得 ，
∴ ．
令 ，则 ，∴ ．
设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
，
∴抛物线顶点坐标为
（2）如图，过点D作 轴于E，则 ．
∵ ，∴ ，
设点P的坐标为 ，
则点D 的坐标为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
而 ，
∴ ，
∵ ， ，由二次函数的性质可知：
当 时， 的最大值为 ．
，
∴ ．（3）设平移后抛物线 的解析式 ，
联立 ，
∴ ，
整理，得： ，
设 ，则 是方程 的两根，
∴ ．
而A为 的中点，∴ ，
∴ ，解得： ．∴抛物线 的解析式 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解
题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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