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年高考考前适应性测试（押题卷
2025
数学参考答案详解及评分说明
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分
8 5 40 .
1.A
{
m
【解析】因为B A，所以 − 1≥ 0，解得 m 所以m的取值范围是［ ，］
⊆ m 1≤ ≤ 2. 1 2 .
+ 1≤ 3
2.B
【解析】( )
2
( )
2
1+ i + 1− i =2i − 2i=0.
3.C
【解析】由余弦定理BC 2 = AB 2 AC 2 - AB AC A，得 9 AC 2 AC 2 - 3 2 AC AC π = ，解得
+ 2 ⋅ ⋅ cos + 2 × ⋅ ⋅ cos 10
2 2 4
AC ，AB 所以 ABC的面积S = 1 AB AC A 1 2
= 2 = 3 2. △ △ ABC ⋅ ⋅ sin = × 2 × 3 2 × = 3.
2 2 2
4.D
【解析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为 ，方差为σ 的随机变量的观测值，在残差
2
0
图中显示应均匀分布在以取值为 的横轴为对称轴的水平带状区域内 图中的残差与观测时间有线性关系，说
0 .
明均值不为 ，残差的方差不是一个常数，所以不满足一元线性回归模型的所有假设
0 .
5.C
【解析】由P在以FF 为直径的圆上，得PF PF 设 PF F θ，则由直线PF 的斜率为 1，得 θ 1，所以
1 2 1⊥ 2. ∠ 1 2 = 1 tan =
| | | | c | | c 2 2
θ 1 ， θ 2 ，设 F F c，则有 PF c θ 4 ，PF c θ 2 又P在椭圆上，有
sin = cos = 1 2 = 2 1 = 2 cos = 2 = 2 sin = .
5 5 5 5
c
| | | |
PF 1 + PF 2 = 2 a，得 6 = 2 a，c = 5 a . 又因为a 2 - c 2 = b 2 = 4 ，解得a =3 ，故椭圆C的长轴长为 6.
5 3
6.B
【解析】方法一：因为AB AC，所以AE和BD在CD上的投影向量分别为 1CD和 1CD，所以（AE BD）·CD
⊥ - - + =
4 2
1 1 CD 3
(- - ) 2= - × 16 = -12.
4 2 4
方法二：以A为原点，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（ ，），D（ ，），C（ ，），
0 0 2 0 6 0
b b
B（ ，b），所以E ，AE ，BD b ，CD （ ，），所以（AE BD）·CD 1b
0 (1, ) = (1, ) = (2, - ) = -4 0 + = = (3, - )⋅(-4,0) = -12.
2 2 2
7.C
2
e
x
【解析】设f (x) （x ），则a 2 f e 2 ，b 2 4 f ，c e f ，
= x ≥ e = = ( ) = = = (4) = e = = (e)
2
ln e 2 ln2 ln4 lne
ln
2
x
f (x)= ln - 1，当x 时，f x ，所以f (x)在（ ， ）上单调递增
′ x > e ′( ) > 0 e +∞ .
2
(ln )
2
又 e ，所以c a b
e < < 4 < < .
2
数学试题答案 第 页（共 页）
1 68.A
( ) ( )
y y y y
2 2 2 2
【解析】设A 1 y ，B 2 y ，则抛物线C在AB处的切线方程分别为：y y x 1 ，y y x 2 ，联立得
( , 1) ( , 2) , 1 = 2 + 2 = 2 +
4 4 4 4
y y y y y y y y
点P坐标为 1 2 1 + 2 又因为直线AB的斜率k 1 - 2 1 - 2 4 ，所以直线AB的方程为y
( , ). AB = x x = y y = y y -
2 2
4 2 1 - 2 1 2 1 + 2
-
4 4
y 4 x x ，化简得： ( y y ) y x y y ，将点M( )代入直线AB的方程得：y y y y ，设
1 = y y ( - 1) 1 + 2 = 4 + 1 2 2,1 1 + 2 = 8 + 1 2①
1 + 2
点P坐标为 xy），则 式可整理为：y x，即：x y ，所以点P的轨迹为一条直线 所以线段PM的
( , ① 2 = 8 + 4 2 − + 4 = 0 .
最小值为点M到直线y x 的距离，即为7 5
= 2 + 4 .
5
二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分
3 6 18 .
9.ABD
【解析】 选项，令x y ，则（f ） （f ） （f ） （f ），所以（f ） ， 正确；
A = =1 1 = 1 + 1 =2 1 1 =0 A
选项，令x y ，则（f ） （f ） （f ） ，所以（f ） ，令y ，则（f x） （f x） （f ） （f x），所以
B = =-1 1 = -1 + -1 = 0 -1 = 0 =-1 - = + -1 =
f x 是偶函数，正确；
( ) B
x
选项，任取x ，x 且x x ，则f x f x f 1 ，
CD 1 2 1 > 2>0 ( 1)- ( 2)= ( x )
2
x x
( ) ( )
因为x x ，所以 1 ，因此，f x f x f 1 ，即f x f x ，
1 > 2>0 x > 1 ( 1)- ( 2)= ( x ) < 0 1 < 2
2 2
所以f x 在区间（ ， ）上单调递减，错误， 正确
( ) 0 +∞ C D .
10.BC
【解析】因为B D与B C不垂直，又B C EF，所以B D与EF不垂直，故 错误；平面A EF与侧面AA D D的交线
1 1 1 ∥ 1 A 1 1 1
为A D，由正方体棱长为 ，得A D ，故 正确；以D为坐标原点，建立如图所示坐标系 则C( )，
1 2 1 = 2 2 B . 0,2,0
B ( , , ) ，A ( , , ) ，E( , , ) ，F( , , ) ，所以A F ( , , ) ，EF ( , , ) ，B D ( , , ) ，CE ( , , ) ，
1 2 2 2 1 2 0 2 0 2 1 1 2 2 1 = -1 2 0 = 1 0 1 1 = -2 -2 -2 = 0 0 1
z
{ n EF { x z
设平面A EF的一个法向量为n ( x,y,z ) ，由 ⋅ = 0, 得 + = 0, 令x 则 D C
1 = n A F x y = 1, 1 F 1
⋅ 1 = 0, − + 2 = 0.
A B
E
1 1
( ) |n CE|
y 1 z ，得n ,1 , ，所以点C到平面A EF的距离d ⋅ 2，故
= , = -1 = 1 -1 1 = |n| = C D C
2 2 3 y
| | A B
| n B D |
α || ⋅ 1 || 3 x
正确；设B 1 D与平面A 1 EF所成角为α，则sin = | | |n|| B 1 D | | |= 9 ，故 D 错误 . （第 10 题答图）
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2 611.BD
【解析】对于 选项进行逆推：a a a a 或 a 或 ，故 错误；
A 5=1→ 4=2→ 3=4→ 2=8 1→ 1=16 2 A
对于 选项，当m 时，即a a a a a a a a a a
BC =13 1=13→ 2=40→ 3=20→ 4=10→ 5=5→ 6=16→ 7=8→ 8=4→ 9=2→ 10=
，共需经过 个步骤变成 ，故 正确，错误；
1 9 1 B C
对于 选项，当m 时，a ，a ，a ，以后进入循环，因此S S 2025- 9 ，故 正确
D =13 10=1 11=4 12=2 2025= 9+ × 7=4822 D .
3
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分
3 5 15 .
（ ）［ ）
12. -∞,0 ⋃ 1, +∞
【解析】因为当x 时，x 解得x ，函数（f x）有一个零点；因此，要使函数（f x）有两个零点，只需x
>1 2 -3=0 =log23 ≤1
时，函数（f x）有一个零点 当x 时，函数（f x）对称轴为x 3 ，若a ，只需（f ） a a ，解得a ；
. ≤1 = > 1 >0 1 = -3 +2≤0 ≥1
2
若a ，只需f ，得a ；若a ，（f x）有且只有一个零点，不满足条件，综上，a的取值范围为（ ，）［ ， ）
<0 (1)≥0 <0 =0 -∞ 0 ⋃ 1 +∞ .
13.80π
【解析】由题意知，主动轮的转速为 ，则被动轮 转过的角度大小为20 10 ，所以弧长为
4r/s 1s × 4 × 2π = π 24 ×
48 3
10
π = 80π(cm).
3
4
14.
5
【解析】设“第 次取出的球为红球”为事件A，则P A 2 P A 3，ξ的可能取值为 ，，
1 ( ) = , ( ˉ) = 0 1 2.
5 5
P ( ξ = 0) = P ( A ) P ( ξ = 0 |A ) + P ( A ˉ) P ( ξ = 0 | A ˉ) = 2 × C 2 3 + 3 × C 2 4 = 8 ，
2 2
5 C6 5 C6 25
P ( ξ = 1) = P ( A ) P ( ξ = 1 |A ) + P ( A ˉ) P ( ξ = 1 | A ˉ) = 2 × C 1 3C 1 3 + 3 × C 1 4C 1 2 = 14，
2 2
5 C6 5 C6 25
P ( ξ = 2) = P ( A ) P ( ξ = 2 |A ) + P ( A ˉ) P ( ξ = 2 | A ˉ) = 2 × C 2 3 + 3 × C 2 2 = 3 .
2 2
5 C6 5 C6 25
所以E ξ 8 14 3 4
( ) = 0 × + 1× + 2 × = .
25 25 25 5
四、解答题：本题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5 77 . .
x
解：（）f x x x x 1- cos2 3 x x π 1，…………………………… 分
15. 1 ( ) = sin (sin + 3cos ) = + sin2 = sin(2 - ) + 2
2 2 6 2
所以函数（f x）的最小正周期为 ……………………………………………………………………………… 分
π. 3
由 k π x π k π k Z ……………………………………………………………………… 分
2 π - ≤ 2 - ≤ 2 π + , ∈ , 4
2 6 2
得k π x k π k Z ………………………………………………………………………………… 分
π - ≤ ≤ π + , ∈ , 5
6 3
所以（f x）的单调递增区间为 k π k π k Z ……………………………………………………… 分
[ π - , π + ], ∈ . 6
6 3
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3 6（）当x π ，得 π x π 5π
2 ∈[0, ] - ≤ 2 - ≤ ,
2 6 6 6
所以y （f x）在 π 上的最大值为3，
= [0, ]
2 2
则y （f x a）在 π 上的最大值也是3 …………………………………………………………………… 分
= + [0, ] . 8
2 2
由 x a π k π k Z 得a k π x k Z，………………………………………………… 分
2( + ) - = 2 π + , ∈ , = π + - , ∈ 10
6 2 3
因为x ［ π］，所以k π a k π k Z，…………………………………………………………… 分
∈ 0, π - ≤ ≤ π + , ∈ 11
2 6 3
又a ，所以 a π或5 a
∈[0,π] 0 ≤ ≤ π ≤ ≤ π.
3 6
综上，a的取值范围为 π 5π ……………………………………………………………………… 分
[0, ]⋃[ ,π]. 13
3 6
c
解：（）由已知可得e ，所以c a，又因为c a b，得b a ； …………………………… 分
2 2 2 2 2
16. 1 = a = 5 = 5 = + = 4 2
( )
将点A 代入双曲线方程，得 2 4 ，化简得a 2 ，所以b 2 ，………………………………… 分
2,2 a − a = 1 = 1 = 4 4
2 2
4
y
2
所以双曲线方程为：x ………………………………………………………………………………… 分
2
− = 1. 5
4
（）证明：由（）得双曲线渐近线方程为
2 1
l y x，l y x， …………………………………………………………………………………………… 分
1: = 2 2: =− 2 7
设M(m n)，则l y x n m，l y x n m，
, MQ: = 2 + − 2 MP: = -2 + + 2
( )
n m n m
联立l 和l ，解得交点P + 2 + 2 ，…………………………………………………………………… 分
1 MP , 9
4 2
|n m|
则平行线l 和l 之间的距离d − 2 ， ………………………………………………………………… 分
1 MQ = 11
5
| |
|n m| ( n m ) 2 ( n m ) 2 |n m| n m
则 平 行 四 边 形 MPOQ 的 面 积 S |OP|d −2 +2 +2 −2 5 ( +2 )
= = ⋅ + = ⋅ =
5 4 2 5 4
|n m |
2 2
−4 ，……………………………………………………………………………………………………… 分
13
4
n
2
由于M在双曲线上，则m ，所以 m n ，所以平行四边形MPOQ的面积为定值 ………… 分
2 2 2
− = 1 4 − = 4 1. 15
4
解 ：（）证 明 ：因 为 AB 平面EFG，AB 平面ABC，AB 平面EFG，平面ABC 平面EFG EF，所 以
17. 1 ∥ ⊂ ⊄ ∩ =
AB EF，同理CD FG ………………………………………………………………………………………… 分
∥ ∥ . 1
连接AM BM， AC AD BC BD，所以 ACD BCD，又因为M，N分别是线段CD和AB的中点，所以
, ∵ = = = △ ≅ △
AM BM，所以MN AB 所以MN EF；……………………………………………………………………… 分
= ⊥ , ⊥ 3
又因为 AM CD BM CD，AM 平面AMB，BM 平面AMB，AM BM M，所以 CD 平面AMB，所以
⊥ , ⊥ ⊂ ⊂ ∩ = ⊥
CD MN，所以FG MN；……………………………………………………………………………………… 分
⊥ ⊥ 5
因为EF 平面EFG，FG 平面EFG，EF FG F所以MN 平面EFG ………………………………… 分
⊂ ⊂ ∩ = , ⊥ . 6
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4 6CF AF EF CF FG AF
（）由（）及已知可得 ，因为 ， ，
2 1 CA + CA = 1 AB = CA CD = AC
EF FG
所以 又因为AB CD，所以EF FG AB，……………………………………………………… 分
AB + CD = 1, = + = 8
又因为CD 平面AMB，所以CD AB，
⊥ ⊥
所以CD EF，所以FG EF， ………………………………………………………………………………… 分
⊥ ⊥ 9
( )
EF FG 2 AB 2
所以S 1 EF FG 1 + 1 1，当且仅当EF FG时等号成立，
△ EFG = ⋅ ≤ = × = =
2 2 2 2 4 2
所以AB ，AC AD BC BD ，………………………………………………………………………… 分
= 2 = = = = 4 11
因为CD 平面AMB，所以V V V 1 S CD
⊥ A - BCD = C - ABM + D - ABM = △ ABM ⋅
3
因为AM BM 所以MN ，……………………………………………………………………… 分
= = 15, = 14 12
所以V 1 1 2 14 ……………………………………………………………… 分
A − BCD = × × 2 × 14 × 2 = ⋅ 14
3 2 3
所以三棱锥A BCD的体积为2 14 ………………………………………………………………………… 分
− . 15
3
解：（）设这 件零件尺寸误差的平均数为x，方差为s，则
2
18. 1 50 ˉ
x 30 × 0.2 + 20 ×(-0.3) ………………………………………………………………………………… 分
ˉ= = 0, 1
50
s 2 3 2 2 2 2 2 ，………………………………………………… 分
= ×[(0.2 - 0) + 2.1 ]+ ×[(-0.3- 0) + 1.1 ]= 3.19 3
5 5
所以s
≈ 1.79.
所以这 件零件尺寸的误差的平均数为 ，标准差为 …………………………………………………… 分
50 0 1.79. 4
（）（ ）由（）得零件尺寸的误差X服从正态分布N ，………………………………………………… 分
2
2 ⅰ 1 (0,1.79 ) 5
则P X ，………………………………………………………………………………… 分
(-1.79 < < 1.79) ≈ 0.68 6
零件是一等品的概率估计为 ， ，
0.68 1000×0.68=680
所以估计其中一等品的件数约为 件 ……………………………………………………………………… 分
680 . 8
（ ）第n n n N 次检测停止，即前n 次抽到 件二等品，第n次抽到第 件二等品，则
*
ⅱ (4 ≤ ≤ 19, ∈ ) -1 3 4
当 n 时，a n …………………………………………………………………… 分
4 ≤ ≤ 19 n = C 3n -10.32 4 × 0.68 -4 . 11
a n n
当 n 时，由 n C 3n -10.32 4 × 0.68 -4 0.68( - 1) ，………………………………………… 分
5≤ ≤ 19 a = n = n > 1 13
n -1 C 3n -20.32 4 × 0.68 -5 - 4
解得n …………………………………………………………………………………………………… 分
<10.4. 15
所以当 n 时，a 单调递增；当 n 时，a 单调递减 ………………………………………… 分
4 ≤ ≤ 10 n 10 ≤ ≤ 19 n . 16
综上，当n 时，a 取得最大值 ……………………………………………………………………………… 分
=10 n . 17
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5 6解：（）当a 时，（f x） （x ） x-x，x ，
2
19. 1 = 1 =ln +1 - >-1
则f x 1 x， ……………………………………………………………………………………… 分
′( ) = x - 1- 2 1
+ 1
f f ，……………………………………………………………………………………………… 分
′(0) = 0, (0) = 0 3
所以f (x)在x 处的切线方程为y ……………………………………………………………………… 分
= 0 =0. 4
a
x x + 2
a -2 ( + )
（）f x 的定义域为 ∞ ，f x a x 2 ，
2 ( ) (-1, + ) ′( ) = x - - 2 = x
+ 1 + 1
a
令f x ，得x ，或x + 2，…………………………………………………………………………… 分
′( ) = 0 = 0 = - 5
2
a
当 + 2 ，即a 时，若x ，则f x ，f x 单调递增；若x ∞ ，则f x ，f x 单调
① - ≤ -1 ≥ 0 ∈(-1,0) ′( ) > 0 ( ) ∈(0, + ) ′( ) < 0 ( )
2
递减，函数（f x）有 个极值点；…………………………………………………………………………………… 分
1 6
a a
当 + 2 ，即 a 时，若x + 2 ，则f x ，f x 单调递减；
② -1< - < 0 -2 < < 0 ∈(-1, - ) ′( ) < 0 ( )
2 2
a
若x + 2 ，则 f x ，f x 单调递增；若x ∞ ，则 f x ，f x 单调递减，因此函数（f x）有
∈(- ,0) ′( ) > 0 ( ) ∈(0, + ) ′( ) < 0 ( ) 2
2
个极值点 ………………………………………………………………………………………………………… 分
. 8
综上所述，当 a 时，函数（f x）有 个极值点；
-2 < < 0 2
当a 时，函数（f x）有 个极值点 ……………………………………………………………………………… 分
≥ 0 1 . 9
（）由（）知当a 时，f x 在 ∞ 上单调递减，
3 2 = 1 ( ) (0, + )
f x f ，即 x x x ，……………………………………………………………………… 分
2
∴ ( ) < (0)=0 ln( + 1) < + 10
i i
因为1 ，所以 + 1 1 1 1 + 1 i ，，…，n， …………………………………… 分
i > 0 ln( i ) = ln(1+ i ) < i + i = i , =2 3 11
2 2
n n
累加得 3 4 + 1 3 4 + 1，…………………………………………………… 分
ln + ln + ⋯+ ln n < + + ⋯+ n 12
2
2 3 4 9
n n n
所以 3 4 + 1 + 1 3 4 + 1 …………………………………………… 分
ln( × × ⋯× n ) = ln < + + ⋯+ n . 13
2
2 3 2 4 9
再证x x x π ，
，
( ) = tan - (0 < < ) ′( ) = x 0
2
2 cos
所以φ x 在区间 π 上单调递增，
( ) (0, )
2
所以当 x π时，φ x φ ，即 x x …………………………………………………………… 分
0 < < ( ) > (0) = 0 tan > . 15
2
i i
所以 + 1 + 1 i n，
i < tan i , = 2,3,⋯,
2 2
n n
累加得3 4 + 1 3 4 + 1， ……………………………………………… 分
+ + ⋯+ n < tan + tan + ⋯+ tan n 16
2 2
4 9 4 9
n n
所以， + 1 3 + 1，命题得证 …………………………………………………………… 分
ln < tan + ⋯+ tan n . 17
2
2 4
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6 6
