文档内容
2020 年定西市中考数学试卷
一、选择题
1.下列实数是无理数的是（ ）
A. -2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【详解】解：-2是负整数， 是分数， =3是整数，都是有理数. 开方开不尽，是无理数.
故选:D.
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；
以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.若 ，则 的补角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据补角的定义即可得．
【详解】
的补角的度数是
故选：B．
【点睛】本题考查了补角的定义，熟记定义是解题关键．
的
3.若一个正方形 面积是12，则它的边长是（ ）
A. B. 3 C. D. 4
【答案】A
【解析】【分析】
根据正方形的面积公式即可求解．
【详解】解：由题意知：正方形的面积等于边长×边长，设边长为a，
故a²=12，
∴a=± ，又边长大于0
∴边长a= ．
故选：A.
【点睛】本题考查了正方形的面积公式，开平方运算等，属于基础题．
4.下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解．
【详解】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误；
选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误；
选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确；
选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往
右边看，熟练三视图的概念即可求解.
5.下列各式中计算结果为 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类项，同底数幂的乘法、除法，即可解答．【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，不符合题意；
B 不是同类项，不能合并，不符合题意；
C． =x6,符合题意；
D. =x10,不符合题意；
故选:C.
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法，解决本题的关键是熟记合并同类项，同底数幂
的乘法、除法的法则．
6.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 与全身 的高度比值接
近0．618，可以增加视觉美感，若图中 为2米，则 约为（ ）
A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米
【答案】A
【解析】
【分析】
根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
7.已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为（ ）
A. -1或2 B. -1 C. 2 D. 0
【答案】B
【解析】【分析】
首先把x=1代入 ，解方程可得m=2，m=-1，再结合一元二次方程定义可得m的
1 2
值
【详解】解：把x=1代入 得：
=0，
，
解得：m=2，m=﹣1
1 2
∵ 是一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．
8.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节 间的距离，若 间
的距离调节到60 ，菱形的边长 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
如 图 （ 见 解 析 ） ， 先 根 据 菱 形 的 性 质 可 得 ， 再 根 据 全 等 的 性 质 可 得，然后根据等边三角形的判定与性质可得 ，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】如图，连接AC
四边形ABCD是菱形
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
是等边三角形
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌
握菱形的性质是解题关键．
9.如图， 是圆 上一点， 是直径， ， ，点 在圆 上且平分弧 ，则 的长
为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 是圆O的直径，可得∠A=∠D=90°，又 在圆 上且平分弧 ，则∠CBD=∠BCD=45°，即
△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC长，从而可求DC的长.
【详解】解：∵ 是圆O的直径，
∴∠A=∠D=90°.
又 在圆 上且平分弧 ，
∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.
在Rt△ABC中， ， ，根据勾股定理，得BC= =2 .
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CD= = .
故选:D.
【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合
思想的应用．
10.如图①，正方形 中， ， 相交于点 ， 是 的中点，动点 从点 出发，沿着
的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点 ，在此过程中线段 的长度 随着运动
时间 的函数关系如图②所示，则 的长为（ ）A. B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据函数图象可知 ，再设正方形的边长为 ，从而可得
，然后根据线段中点的定义可得 ，最后在 中，利用勾股
定理可求出a的值，由此即可得出答案．
【详解】如图，连接AE
由函数图象可知，
设正方形ABCD的边长为 ，则
四边形ABCD是正方形
，
是 的中点
则在 ，由勾股定理得：
因此有
解得
则
故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出 是解题
关键．
二、填空题
11.如果盈利100元记作+100元，那么亏损50元记作__________元．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正数与负数的意义即可得．
【详解】由正数与负数的意义得：亏损50元记作 元
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正数与负数的意义，掌握理解正数与负数的意义是解题关键．
12.分解因式： __________
【答案】
【解析】
【分析】
提取公因式 ，即可得解.
【详解】
故答案为： .
【点睛】此题主要考查对分解因式的理解，熟练掌握，即可解题.
13.暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌填上原价．原价：
_________元【答案】200
【解析】
【分析】
设原价为x元，根据八折优惠，现价为160元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原价．
【详解】解：设原价为x元.
根据题意，得0.8x=160.
解得x=200.
∴原价为200元.
故答案为：200.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确“现价=原价×折扣”，本题属于基础题，难度
不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．
14.要使分式 有意义，则x应满足条件____．
【答案】x≠1．
【解析】
【分析】
当分式的分母不为零时，分式有意义，即x−1≠0．
【详解】当x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1．
故答案为：x≠1．
【点睛】本题考查分式有意义的条件；熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键．
15.在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除
颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸
球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有_____个．
【答案】17
【解析】
【分析】
根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，
∵假设有x个红球，∴ ＝0.85，
解得：x＝17，
经检验x＝17是分式方程的解，
∴口袋中有红球约有17个．
故答案为：17．
【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等
是解决问题的关键．
16.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ， 的坐标分别为 ， ，把 沿 轴向
右平移得到 ，如果点 的坐标为 ，则点 的坐标为__________．
【答案】(7,0)
【解析】
【分析】
根据B点横坐标与A点横坐标之差和E点横坐标与D点横坐标之差相等即可求解．
【详解】解：由题意知：A、B两点之间的横坐标差为： ，
由平移性质可知：E、D两点横坐标之差与B、A两点横坐标之差相等，
设E点横坐标为a，
则a-6=1，∴a=7，
∴E点坐标为(7,0) ．
故答案为：(7,0) ．
【点睛】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解
决此题的关键.
17.若一个扇形的圆心角为 ，面积为 ，则这个扇形的弧长为__________ （结果保留 ）【答案】
【解析】
【分析】
先利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式即可得．
【详解】设扇形的半径为
则
解得 或 （不符题意，舍去）
则这个扇形的弧长为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，熟记公式是解题关键．
18.已知 ，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应 值的总和是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】
当 时，
当 时，
则所求的总和为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．三、解答题
19.计算：
【答案】 ．
【解析】
【分析】
先计算平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键．
20.解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】-2 x<3，解集在数轴上表示见解析.
【解析】
【分析】
先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【详解】解：
解不等式①，得x<3.
解不等式②，得x -2.
所以原不等式组的解集为-2 x<3.
在数轴上表示如下：
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的
口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．21.如图，在 中， 是 边上一点，且 ．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作 的角平分线交 于点 ；
②作线段 的垂直平分线交 于点 ．
（2）连接 ，直接写出线段 和 的数量关系及位置关系．
【答案】（1）①作图见解析，②作图见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）①根据角平分线的作图方法直接作图即可；②根据垂直平分线的作图方法直接作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明 是 的中位线，根据中位线的性质可得答
案．
【详解】解：（1）如图，① 即为所求作的 的角平分线，
②过 的垂线是所求作的线段 的垂直平分线．
（2）如图，连接 ，平分
由作图可知：
是 的中位线，
【点睛】本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握以上
知识是解题的关键．
22.图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉
墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某
学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制
定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：
课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度
如图，雕塑的最高点 到地面的高度为
，在测点 用仪器测得点 的仰角为
，前进一段距离到达测点 ，再用该
测量示意图
仪器测得点 的仰角为 ，且点 ，
， ， ， ， 均在同一竖直平面
内，点 ， ， 在同一条直线上．
仪器 （ ）
的度数 的度数 的长度
的高度
测量数据
5米 米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
【答案】
【解析】
【分析】
如图，延长 交 于 ，设 利用锐角三角函数表示 ，再表示 ，再利用锐角三角函
数列方程求解 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，
由题意得：
设
由由
经检验： 符合题意，
“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为
【点睛】本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键．
23.2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一，截至2020年1月，甘肃省已
有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景
区；D：敦煌鸣沙月牙泉景区：E：张掖七彩舟霞景区，张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区
游玩．
（1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？
（2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从 ， ， ， 四个景区中任选两个景区去旅
游，求选 ， 两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】(1) 张帆一家共有5种可能的选择方式，由此即可出选择景区E的概率为 ；
(2) 画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选到A，D两个景区的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：(1)由题意可知：张帆一家共有5种可能的选择方式，
故选择张掖七彩丹霞景区的概率为 ，
故答案为 ．
(2)由题意知，画出树状图如下：
的
共有12种等可能 结果数，其中选到A，C两个景区的结果数为2，
∴所以选到A，C两个景区的概率= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件的概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A的结果数m，然后利用概率公式计 ，即可求出事件A的概率．
24.习近平总书记于2019年8月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”，兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是
黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”，近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量
得到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片，下图是根据兰州市环境保护局公布的
2013-2019年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．请结合统计图解答下列问题：
（1）2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了 天；
（2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 天；
（3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数；
（4）《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达
80%以上，试计算2020年（共366天）兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标．
【答案】(1)26;（2）254；（3）261；（4）293.
【解析】
【分析】
（1）用2019年全年空气质量优良天数减去2013年全年空气质量优良天数即可；
（2）把这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中位数的定义解答；
（3）根据平均数的求解方法列式计算即可得解．
（4）用366乘以80%，即可解答．
【详解】解：（1）由折线图可知2019年全年空气质量优良天数为296，2013年全年空气质量优良天数为
270，
296-270=26，
故2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了26天；
故答案为：26.
(2)这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下：213，233，250，254，270，296，313，
所以中位数是254；
故答案为：254；
（3）这七年的全年空气质量优良天数的平均数= 261天；（4）366 80%=292.8 (天).
所以2020年（共366天）兰州市空气质量优良天数至少需要293天才能达标.
【点睛】本题考查了折线统计图，要理解中位数的定义，以及算术平均数的求解方法，能够根据计算的数
据进行综合分析，熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算是解题的关键．
25.通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，下表是一个函数的自变量 与函数值 的部分对
应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：
… 0 1 2 3 4 5 …
… 6 3 2 1.5 1.2 1 …
（1）当 时， ；
（2）根据表中数值描点 ，并画出函数图象；
（3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质： ．
【答案】（1）3；（2）见解析；（3）函数图像与 轴无限接近，但没有交点．
【解析】
【分析】
（1）观察列表即可得出答案；
（2）依照表格中的数据描出各个点，然后利用光滑的曲线连接各点即可；
（3）观察函数图像，写出一条符合函数图像的性质即可．
【详解】解：（1）通过观察表格发现：当 时， ，
故答案为：3；（2）如下图：
（3）观察第（2）问中的图像可以得出一个结论：函数图像与 轴无限接近，但没有交点；
【点睛】本题考查的是函数图象，主要让学生通过描点画出函数图象，从图象中读取相关的信息．
26.如图，圆 是 的外接圆，其切线 与直径 的延长线相交于点 ，且 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求圆 的半径．
【答案】（1） 的度数为 ；（2）圆O的半径为2．
【解析】
【分析】
（1）如图（见解析），设 ，先根据等腰三角形的性质得出 ，再根据圆的性质可
得 ，从而可得 ，然后根据圆的切线的性质可得 ，又根据三角形的内角和定理可求出x的值，从而可得 的度数，最后根据圆周角定理即可得；
（2）如图（见解析），设圆O的半径为 ，先根据圆周角定理得出 ，再根据直角三角形的
性质可得 ，从而可得 ，然后在 中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）如图，连接OA
设
，
AE是圆O的切线
，即
在 中，由三角形的内角和定理得：
即
解得
则由圆周角定理得：
故 的度数为 ；
（2）如图，连接AD
设圆O的半径为 ，则
BD是圆O的直径由（1）可知，
则在 中，
在 中，由勾股定理得： ，即
解得 或 （不符题意，舍去）
则圆O的半径为2．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题
（2），通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键．
27.如图，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上，且 ，把 绕点 顺时
针旋转 得到 ．
（1）求证： ≌ ．
（2）若 ， ，求正方形 的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）正方形 的边长为6．
【解析】
【分析】
（1）先根据旋转的性质可得 ，再根据正方形的性质、角的和差可得
，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）设正方形 的边长为x，从而可得 ，再根据旋转的性质可得
，从而可得 ，然后根据三角形全等的性质可得 ，最后在
中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在 和 中，
；
（2）设正方形 的边长为x，则
由旋转的性质得：由（1）已证：
又 四边形ABCD是正方形
则在 中， ，即
解得 或 （不符题意，舍去）
故正方形 的边长为6．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较
难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，且
，点 是第三象限内抛物线上 的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若 ，求点 的坐标；
（3）连接 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标．
【答案】（1） ；（2）（ ， ）；（3） 面积的最大值是8；点 的坐标为（
， ）．
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；（2）由 ，则点P的纵坐标为 ，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则 ，设点P为（
， ），则点D为（ ， ），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积
的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）在抛物线 中，
令 ，则 ，
∴点C的坐标为（0， ），
∴OC=2，
∵ ，
∴ ， ，
∴点A为（ ，0），点B为（ ，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得： ，
∴ ；
（2）由题意，∵ ，点C为（0， ），
∴点P的纵坐标为 ，
令 ，则 ，
解得： ， ，∴点P的坐标为（ ， ）；
（3）设直线AC的解析式为 ，则
把点A、C代入，得
，解得： ，
∴直线AC的解析式为 ；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P 为（ ， ），则点D为（ ， ），
∴ ，
∵OA=4，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取最大值8；
∴ ，的
∴点P 坐标为（ ， ）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二
次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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