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2020 年丹东市初中毕业升学考试
数学试卷
一、选择题
1. －5的绝对值等于（ ）
A. －5 B. 5 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的概念即可得出答案．
【详解】解：因为－5的绝对值等于5，所以B正确；
故选：B．
【点睛】本题考查绝对值的算法，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值
为0．
2. 下面计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式的计算法则依次计算即可得出正确选项.
【详解】解：A. ，所以A错误；
B. ，所以B错误；
C. ，所以C错误；
D. ，所以D正确；
故答案选：D.
【点睛】本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是
底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算.【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
3. 如图所示，该几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看是一些等宽的矩形，其中有两条宽是虚线，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
4. 在函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式有意义，列不等式9-3x≥0，求出x的取值范围即可．
【详解】解：根据二次根式有意义，
所以，9-3x≥0，
解得，x≤3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围的知识点，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次
根式无意义．
5. 四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面
向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六
边形四个图案．中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，直接利用概率公式求解即可求得答案．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解：∵四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、
正六边形四个图案．中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，
∴从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为： ．
故选：C．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6. 如图， 是 的角平分线，过点 作 交 延长线于点 ，若 ，
，则 的度数为（ ）
A. 100° B. 110° C. 125° D. 135°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据三角形的外角性质可求出 ，再根据角平分线的定义、平行线的性质可得
，然后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】 ，
是 的角平分线
则在 中，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练运【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
用各定理与性质是解题关键．
7. 如图，在四边形 中， ， ， ， ，分别以 和 为圆心，
以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，直线 与 延长线交于点 ，连接 ，则
的内切圆半径是（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别以 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，连接P，Q则PQ
为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又∠B=60°，所以 EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，
△
设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在Rt BMH中，BH= BC=
△
AD= ，∠MBH= ∠B=30°，通过解直角三角形可得出MH的值即为 BCE的内切圆半径的长．
△
【详解】解：有题意得PQ为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∵∠B=60°，
∴ EBC为等边三角形，
作△等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，
∴M在直线PQ上，
连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵
∴BH= BC= AD= ，
∵∠MBH= ∠B=30°，
∴在Rt△BMH中,MH=BH×tan30°= × =4．
∴ 的内切圆半径是4．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理，等边三角形的判定，等边三角形内切圆半径的求法，解直角三
角形，解题关键在于理解题意，运用正确的方法求三角形内切圆半径．
8. 如图，二次函数 （ ）的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 坐
标为 ，点 在 与 之间（不包括这两点），抛物线的顶点为 ，对称轴为直线 ，有
以下结论：① ；②若点 ，点 是函数图象上的两点，则 ；③
；④ 可以是等腰直角三形．其中正确的有（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x=− ＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②由于 ＜2＜ ，且（ ，y）关于直线x=2的对称点的坐标为（ ，y），
1 1
∵ ＜ ，
∴y＜y，故②正确，
1 2
③∵− =2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴ ，故③正确【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
④根据抛物线的对称性可知，AB=6，
∴ ，
假定抛物线经过（0，2），（-1，0），（5，0），
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，则a=- ，
∴y=- (x-2)2+
∵ ＞3
∴ 不可以是等腰直角三形．故④错误．
所以正确的是②③，共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
二、填空题
9. 据有关报道，2020年某市斥资约5 800 000元改造老旧小区，数据5 800 000科学记数法表示为
_________．
【答案】5.8×106．
【解析】
【分析】绝对值较大的数利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，指数n=原数位数-1，且1≤a＜10．
【详解】解：5800 000=5.8×106，
故答案为：5.8×106．
【点睛】此题主要考查了科学记数法-表示较大的数，关键是掌握把一个大于10的数记成a×10n的形式，
其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数．
10. 因式分解： _________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】解： ；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
11. 一次函数 ，且 ，则它的图象不经过第_________象限．
【答案】三
【解析】
【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案．
【详解】解：在一次函数 中，
∵ ， ，
∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；
故答案为：三
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握 ， ，经过第一、二、四象限是解题的关键．
12. 甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数
如下：2，3，5，7，8，那么成绩较稳定的是_________（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【解析】
【分析】求出乙所得环数的方差，然后和甲所得环数的方差进行比较即可．
【详解】解：∵乙所得环数为：2，3，5，7，8，
∴乙所得环数的平均数为 ，
∴乙所得环数的方差为 ，
∵ ，
∴成绩较稳定的是甲，
为
故答案 ：甲．
【点睛】本题考查了方差，掌握方差的计算方法，了解方差越小数据越稳定是解题的关键．
13. 关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是_________．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】 且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得．
【详解】由题意得：这个方程是一元二次方程
解得
又 关于 的方程 有两个实数根
此方程的根的判别式
解得
综上，m的取值范围是 且
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，理解题意，掌握一元二次方程的定义与根的判别
式是解题关键．
14. 如图，矩形 的边 在 轴上，点 在反比例函数 的图象上，点 在反比例函数
的图象上，若 ， ，则 _________．
【答案】-10【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】设C（x， ），根据 求出OB，BC，再根据 求出AC，由勾股
定理求出AB，从而得出AO，得到D的坐标，进而求出k的值．
【详解】解：设C（x， ）（x＞0），
， ，
∵四边形ABCD是矩形，
， ，
，
，
，即 ，
解得， ， （舍去），
， ，
，
，即 ，
，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
，
∵D在函数 的图象上，
．
故答案为：-10．
【点睛】此题是一道综合性较强 的题目，将解直角三角形和用待定系数法求函数解析式结合起来，有一定
难度．
15. 如图，在四边形 中， ， ， ， ，点 和点 分
别是 和 的中点，连接 ， ， ，若 ，则 的面积是_________．
【答案】 ．
【解析】
【分析】由题可得 ACD为等腰直角三角形，CD=8，可求出AD=AC= ，点 和点 分别是 和
△
的中点，根据中位线定理和直角三角形斜边中线定理可得到 EF= AD，BE= AC，从而得到
EF=EB，又 ，得∠CAB=15°，∠CEB=30°进一步得到∠FEB=120°，又 EFB为等腰三角形，
△
所以∠EFB=∠EBF=30°，过E作EH垂直于BF于H点，在Rt EFH中，解直角三角形求出EH，FH,以BF
△【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
为底，EH为高，即可求出 BEF的面积．
△
【详解】解：∵ ， ，
∴ ADC为等腰直角三角，
∵△CD=8，
∴AD=AC= CD= ，
∵E,F为AC，DC的中点，
∴FE∥AD，EF= AD= ，
∴BE= AC= ，
∵AD=AC，
∴EF=EB， EFB为等腰三角形，
又∵EF∥AD△，
∴EF⊥AC，
∴∠FEC=90°，
又EB=EA，
∴∠EAB=∠EBA=105°－90°=15°，
∴∠CEB=30°，
∴∠FEB=120°，
∴∠EFB=∠EBF=30°，
过E作EH垂直于BF于H点，
∴BH=FH，
在Rt EFH中，
∵∠E△FH=30°，
∴EH=EF·sin30°= × = ，
FH=EF·cos30°= × = ，
∴BF=2× = ，
∴S = BF·EH= × × = ，
BEF【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，解直角三角形。
正确的运用解题方法求出相关线段长度是解题的关键．
16. 如图，在矩形 中， ， ，连接 ，以 为边，作矩形 使
，连接 交 于点 ；以 为边，作矩形 ，使 ，连接 交
于点 ；以 为边，作矩形 ，使 ，连接 交 于点 ；…按照这个
规律进行下去，则 的面积为_________．
【答案】 ．
【解析】
【分析】先寻找规律求得 的面积，再结合勾股定理以及三角形中线平分三角形的面积求得三角【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
形面积是它所在矩形面积的 ，依此即可求得 的面积．
【详解】解：∵四边形 为矩形，
∴∠A=∠B=90°， ， ， ，
∴ ，
∴ , ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证 ， ，
依次类推 ， ，
故 ，
在矩形 中，设 ，则 ，
根据勾股定理 ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
即 ，解得 ，
∵ ，即 ，
同理可证 ，
∴
同理可证
故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形 的性质，勾股定理，三角形中线有关的面积计算，探索与表达规律，解直角三角形．
解决此题的关键有两个：①寻找规律，求得 ；②得出三角形面积是它所在矩形
面积的 ．需注意标序号的时候不要混淆了．
三、解答题
17. 先化简，再求代数式的值： ，其中 ．
【答案】 ，12．
【解析】
【分析】先利用分式的减法与除法法则化简分式，再根据特殊角的余弦值、负整数指数幂求出x的值，然
后代入求值即可．
【详解】原式【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
将 代入得：原式 ．
【点睛】本题考查了分式的减法与除法、特殊角的余弦值、负整数指数幂等知识点，熟记各运算法则是解
题关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点 ， ， 的
坐标分别为 ， ， ，先以原点 为位似中心在第三象限内画一个 ，使它与
位似，且相似比为2：1，然后再把 绕原点 逆时针旋转90°得到 ．
（1）画出 ，并直接写出点 的坐标；
（2）画出 ，直接写出在旋转过程中，点 到点 所经过的路径长．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】（1）见解析，A(-2，-4)；（2）见解析， ．
1
【解析】
【分析】（1）连接AO、BO、CO，并延长到2AO、2BO、2CO，长度找到各点的对应点，顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°后的对应点A、B 、C 的位置，然后顺次连
2 2 2
接即可，再根据勾股定理列式求出OA，然后利用弧长公式列式计算即可得解．
【详解】（1）如图所示，A(-2，-4)；
1
（2）如图所示，
∵OA=
∴ 的长为： ．
【点睛】本题考查了平移变换作图和轴对称图形的作法及画位似图形．注意：画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的
位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
19. 某校为了解疫情期间学生居家学习情况，以问卷调查的形式随机调查了部分学生居家学习的主要方式
（每名学生只选最主要的一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
种类
老师直播 国家教育云平台 电视台播放 第三方
学习方式 其他
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根据以上信息回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生共有_________人，其中选择 类型的有_________人；
（2）在扇形统计图中，求 所对应的圆心角度数，并补全条形统计图；
（3）该校学生人数为1250人，选择 、 、 三种学习方式大约共有多少人？
【答案】（1）400，40；（2） ，图见解析；（3）选择 、 、 三种学习方式大约共有1125人．
【解析】
【分析】（1）根据A类型的条形统计图和扇形统计图信息可得参与调查的学生总人数，再利用总人数乘
以 即可得；
（2）先求出D类型的学生的占比，再乘以 可得圆心角的度数，然后利用总人数乘以 可得C类
型的学生人数，由此补全条形统计图即可；
（3）先求出选择 、 、 三种学习方式的学生的占比，再乘以1250即可得．
【详解】（1）参与调查的学生总人数为 （人）
选择 类型的学生人数为 （人）
故答案为：400，40；
（2）D类型的学生的占比为
则 所对应的圆心角度数为
C类型的学生人数为 （人）
补全条形统计图如下所示：【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（3）选择 、 、 三种学习方式的学生的占比为
则 （人）
答：选择 、 、 三种学习方式大约共有1125人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，熟练掌握统计调查的
相关知识是解题关键．
20. 在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前
都将小球摇匀．
（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是_________；
（2）若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的
数字和恰好是偶数的概率．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据口袋中数字不大于3的小球有3个，即可确定概率；
（2）通过列表或画树状图写出所有的等可能结果，然后数出两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的结果，
即可得到概率．
【详解】解：（1）一共有4个小球，不大于3的小球有3个，
因此从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是 ；
为
（2）列表 ：【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
1 2 3 4
1 （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4）
一共有12种等可能结果，两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的有（1，3），（2，4），（3，1），
（4，2），共4中结果，
因此两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率为 ．
【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握画树状图或列表法求概率是解题的关键．
21. 为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八
年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，求八年级捐书人
数是多少？
【答案】八年级捐书人数 是450人．
【解析】
【分析】设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据七年级人均捐书数量是八年级人均
捐书数量的1.5倍，列出方程求解并检验即可．
【详解】设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据题意得，
，
解得， ，
经检验， 是原方程的解，
∴ x+150=300+150=450，
答：八年级捐书人数是450人．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的
等量关系，列出方程求解并检验．
22. 如图，已知 ，以 为直径的 交 于点 ，连接 ， 的平分线交 于点 ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
交 于点 ，且 ．
（1）判断 所在直线与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见详解；（2） 的半径为 ．
【解析】
【分析】（1）由AB为直径，则∠ADB=90°，由等边对等角，三角形的外角性质，得到 ，
然后得到 ，即可得到结论成立；
（2）由 ，DF=2，则求出BD=6，然后利用勾股定理，求出AB的长度，即可
得到半径．
【详解】解：（1）∵ 为直径，
∴∠ADB=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵BE平分∠CBD，
∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
∴∠ABC=90°，
∴BC是 的切线；
（2）∵ ，
∴ ，
∵∠BDF=90°，
∴ ，
∴ ，
∴BD=6，
设 ，则AD= ，
在Rt△ABD中，由勾股定理得
，
解得： ，
∴ ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，等边对等角，三角形的外角性质，以
及等角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题．
23. 如图，小岛 和 都在码头 的正北方向上，它们之间距离为 ，一艘渔船自西向东匀速航行，
行驶到位于码头 的正西方向 处时，测得 ，渔船速度为 ，经过 ，渔船行【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
驶到了 处，测得 ，求渔船在 处时距离码头 有多远？（结果精确到 ）
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
【答案】14.2 km.
【解析】
【分析】根据题意，可求出 km, km，则可得 km,在 中利用三角
函数可得 ，所以 km,然后在 中，根据三角函数列出关于 的方
程，解方程即可得出答案.
【详解】解：依题可得， km,
设 km，则 km,
在 中，
，
，
，
，
km,【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
km,
在 中，
，
，
解得：
即渔船在 处时距离码头 约14.2km.
【点睛】本题考查锐角三角函数的实际应用，根据题目所给的已知条件，先找出要用到的直角三角形，然
后再逐一去分析，需要设未知数的一般求谁设谁，或者选择计算量较小的线段设为未知数，注意题目要求
的精确度.
24. 某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，
每月的销售量 （件）与每件的售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/件） 60 65 70
销售量 （件） 1400 1300 1200
（1）求出 与 之间的函数表达式；（不需要求自变量 的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为 （元），
那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1） 与 之间的函数表达式为 ；（2）这种衬衫定价为每件70元；（3）价
定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【解析】
【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的
函数表达式；
（2）根据“总利润=每件商品的利润 销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解
进行取舍即可； ×【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大
利润，最大利润是多少．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
，
解得， ，
∴ 与 之间的函数表达式为 ；
（2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000
解得， ， ，
∵批发商场想尽量给客户实惠，
∴ ，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）设售价定为x元，则有：
=
∵
∴
∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）．
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数
的性质和二次函数的顶点式解答．
25. 已知：菱形 和菱形 ， ，起始位置点 在边 上，点 在【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
所在直线上，点 在点 的右侧，点 在点 的右侧，连接 和 ，将菱形 以 为旋转中
心逆时针旋转 角（ ）．
（1）如图1，若点 与 重合，且 ，求证： ；
（2）若点 与 不重合， 是 上一点，当 时，连接 和 ， 和 所在直
线相交于点 ；
①如图2，当 时，请猜想线段 和线段 的数量关系及 的度数；
②如图3，当 时，请求出线段 和线段 的数量关系及 的度数；
③在②的条件下，若点 与 的中点重合， ， ，在整个旋转过程中，当点 与点
重合时，请直接写出线段 的长．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】（1）见详解；（2）①A′C＝ BM，∠BPC＝45°；②A′C＝ BM，∠BPC＝30°；③1＋
．
【解析】
【分析】（1）证明△ADD′≌△BAB′（SAS）可得结论；
（2）①证明△AA′C∽△MAB，可得结论；
②证明方法类似①，即证明△AA′C∽△MAB即可得出结论；
③求出A′C，利用②中结论计算即可．
【详解】（1）证明：如图1，在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，
∴四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形，
∵∠DAB＝∠D′AB′＝90°，
∴∠DAD′＝∠BAB′，
∵AD＝AB，AD′＝AB′，
∴△ADD′≌△BAB′（SAS），
∴DD′＝BB′；
（2）①解：如图2中，结论：A′C＝ BM，∠BPC＝45°；
理由：设AC交BP于O，
∵四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形，
∴∠MA′A＝∠DAC＝45°，
∴∠A′AC＝∠MAB，
∵MA′＝MA，
∴∠MA′A＝∠MAA′＝45°，
∴∠AMA′＝90°，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴AA′＝ AM，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∵AC＝ AB，
∴ = ，
∵∠A′AC＝∠MAB，
∴△AA′C∽△MAB，
∴ = ，∠A′CA＝∠ABM，
∴A′C＝ BM，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠OAB＝45°，即∠BPC＝45°；
②解：如图3中，设AC交BP于O，
在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝60°，
∴∠C′A′B′＝∠CAB＝30°，
∴∠A′AC＝∠MAB，
∵MA′＝MA，
∴∠MA′A＝∠MAA′＝30°，
∴AA′＝ AM，
在△ABC中，∵BA＝BC，∠CAB＝30°，
∴AC＝ AB，
∴ = ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵∠A′AC＝∠MAB，
∴△A′AC∽△MAB，
∴ = ，∠ACA′＝∠ABM，
∴A′C＝ BM，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠OAB＝30°，即∠BPC＝30°；
③如图4中，过点A作AH⊥A′C于H，
由题意AB＝BC＝CD＝AD＝2，可得AC＝ AB＝2 ，
在Rt△A′AH中，A′H＝ AA′＝1，A′H＝ AH＝ ，
在Rt△AHC中，CH＝ = = ，
∴A′C＝A′H＋CH＝ ＋ ，
由②可知，A′C＝ BM，
∴BM＝1＋ ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三
角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点， 点坐标为【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，与 轴交于点 ，直线 与抛物线交于 ， 两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求 的值和 点坐标；
（3）点 是直线 上方抛物线上的动点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交直线 于点 ，过点
作 轴的平行线，交 于点 ，当 是线段 的三等分点时，求 点坐标；
（4）如图2， 是 轴上一点，其坐标为 ，动点 从 出发，沿 轴正方向以每秒5个单位的
速度运动，设 的运动时间为 （ ），连接 ，过 作 于点 ，以 所在直线为
对称轴，线段 经轴对称变换后的图形为 ，点 在运动过程中，线段 的位置也随之变化，
请直接写出运动过程中线段 与抛物线有公共点时 的取值范围．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】（1） ；（2）m=2，D(﹣1， )；（3）P（ ， ）或P(1， )；
（4）0＜t≤ ．
【解析】
【分析】(1)根据A，C两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解．
(2)通过(1)中的二次函数解析式求出B点坐标，代入一次函数 ,即可求出m的值，联立二次函
数与一次函数可求出D点坐标．
(3)设出P点坐标，通过P点坐标表示出N，F坐标，再分类讨论PN=2NF，NF=2PN，即可求出P点(4)由
A，D两点坐标求出AD的函数关系式，因为以 所在直线为对称轴，线段 经轴对称变换后的图形
为 ，所以 ∥AD，即可求出 的函数关系式，设直线 与抛物线交于第一象限P点，所以
当 与P重合时，t有最大值，利用中点坐标公式求出PQ中点H点坐标,进而求出MH的函数关系式，令
y=0求出函数与x轴交点坐标，从而可求出t的值,求出t的取值范围．
【详解】解：(1)∵A ，
把A,C代入抛物线 ，
得：
解得
∴ ．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）令y=0即 ，
解得 ，
∴B（4,0）
把B（4,0）代入
得
m=2
，
∴ 得 或
∴B(4,0),D(﹣1， )
∴,m=2，D(﹣1， )．
（3）设P（a， ），则F（a， ），
∵DN⊥PH，
∴N点纵坐标等于D点的纵坐标
∴N(a， )
FN= －（ ）= ，PN= － = ，
∵ 是线段 的三等分点，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴①当FN=2PN时，
=2（ ），
解得：a= 或a=﹣1（舍去），
∴P（ ， ）．
②当2FN=PN时，
2（ ）=（ ），
得a=1或a=﹣1（舍去），
∴P(1, )，
综上P点坐标为P（ ， ）或P(1, )，
(4)由（2）问得D(﹣1， )，又A ，
设AD：y=kx+b，
，
∴ ，
∴AD：y= x+5，
又GM⊥AD，
∴可设GM： y= x+p，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
以 所在直线为对称轴，线段 经轴对称变换后的图形为 ，
∴ ∥AD，
可设 ：y= x+q，又Q ，代入 ，
得： × +q=0，
q=2，
∴ ：y= x+2，
设直线 与抛物线交于第一象限N点,,所以当 与N点重合时,t有最大值，
∴ ，
解得： 或 ，
∴N(1, )又Q ，
设H为N,Q中点，
则H（ ， ），
又∵H在直线GM上，
∴把H代入GM y= x+p ，
得： ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
P= ，
∴y= x+ ，
令y=0得：0= x+ ，
∴x= ，
即QM= + = ，
∵M的速度为5，
∴t= ÷5= ，
∴0＜t≤ ．
【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性
质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求法，翻折问题等，
解题关键在于正确理解题意，仔细分析题目，通过相关条件得出等量关系求出结论．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
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