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2019 年陕西中考数学
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.计算： （ ）
A. 1 B. 0 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据0指数幂的含义进行解答即可.
【详解】 1，
故选A.
【点睛】本题考查了0指数幂，熟练掌握“任何非0数的0次幂都等于1”是解题的关键.
2.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据俯视图是从上面看得到的图形进行求解即可.
【详解】俯视图为从上往下看，
所以小正方形应在大正方形的右上角，
故选D.【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟知俯视图是从上方看得到的图形是解题的关键.
3.如图，OC是∠AOB的角平分线，l//OB,若∠1=52°，则∠2的度数为（ ）
A. 52° B. 54° C. 64° D. 69°
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOB=128°，再根据角平分线的定义得到∠BOC=64°，继而根据平
行线的性质即可求得答案.
【详解】∵l//OB，
∴∠1+∠AOB=180°，
∴∠AOB=128°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC=64°，
又∵l//OB，
∴∠2=∠BOC=64°，
故选C.
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.
4.若正比例函数 的图象经过点O（a-1,4）,则a的值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
把点(a-1，4)直接代入正比例函数y=-2x中求解即可.【详解】∵函数 过O(a-1,4)，
∴ ，
∴ ，
故选A.
【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足正比例
函数的解析式是解题的关键.
5.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据单项式乘法法则、积的乘方法则、完全平方公式，合并同类项法则逐一进行计算即可.
【详解】A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，正确，
故选D.
【点睛】本题考查了单项式乘法、积的乘方、完全平方公式、合并同类项等运算，熟练掌握各运算的运算
法则是解题的关键.
6.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则
BC的长为（ ）A. 2+ B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，过点D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DF=DE=1，在Rt△BED中，根据30度角所对直角
边等于斜边一半可得BD长，在Rt△CDF中，由∠C=45°，可知△CDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可
求得CD的长，继而由BC=BD+CD即可求得答案.
【详解】如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF=DE=1，
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
在Rt△CDF中，∠C=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CF=DF=1，
∴CD= = ，
∴BC=BD+CD= ，
故选A.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线，
熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.7.在平面直角坐标系中，将函数 的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为
（ ）
A. (2,0) B. (-2,0) C. (6,0) D. (-6,0)
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出平移后的解析式，继而令y=0，可得关于x的方程，解方程即可求得答案.
【详解】根据函数图象平移规律，可知 向上平移6个单位后得函数解析式应为 ，
此时与 轴相交，则 ，
∴ ，即 ，
∴点坐标为(-2，0)，
故选B.
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，先出平移后的解析式是解
题的关键.
8.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若点E，F分别在AB,CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分
别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】如图，延长FH交AB于点M，由BE＝2AE，DF＝2FC，G、H分别是AC的三等分点，证明EG//BC，
FH//AD，进而证明△AEG∽△ABC，△CFH∽△CAD，进而证明四边形EHFG为平行四边形，再根据平行
四边形的面积公式求解即可.
【详解】如图，延长FH交AB于点M，
∵BE＝2AE，DF＝2FC，AB=AE+BE，CD=CF+DF，
∴AE：AB=1：3，CF：CD=1：3，
又∵G、H分别是AC的三等分点，
∴AG：AC=CH：AC=1：3，
∴AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，
∴EG//BC，FH//AD，
∴△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，BM：AB=CF：CD=1：3，∠EMH=∠B，
∴EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=6，
∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，
∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，
∴EM=3-1-1=1，EG=FH，
∴EG FH，
∴四边形EHFG为平行四边形，
∴S ＝2×1=2，
四边形EHFG
故选C.
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握和灵活
运用相关内容是解题的关键.
9.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若
∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）A. 20° B. 35° C. 40° D. 55°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出
∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案.
【详解】连接FB，
则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，
∴∠FEB＝ ∠FOB=70°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，
∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，
故选B.
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关
知识是解题的关键.10.在同一平面直角坐标系中，若抛物线 与 关于y轴对
称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A. m= ,n= B. m=5，n= -6 C. m= -1，n=6 D. m=1，n= -2
【答案】D
【解析】
【分析】
由两抛物线关于y轴对称，可知两抛物线的对称轴也关于y轴对称，与y轴交于同一点，由此可得二次项
系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，由此可得关于m、n的方程组，解方程组即可得.
【详解】关于y轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，
∴ ，
解之得 ，
故选D.
【点睛】本题考查了关于y轴对称的抛物线的解析式间的关系，弄清系数间的关系是解题的关键.
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
11.已知实数 ，0.16， ， ， ， ，其中为无理数的是___.
【答案】
【解析】
【分析】
根据无理数概念结合有理数概念逐一进行分析即可.
【详解】 是有理数，0.16是有理数， 是无理数， 是无理数， =5是有理数， 是无理数，
是
所有无理数 ， ， ，故答案为： ， ， .
【点睛】本题主要考查了无理数定义．初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开
方开不尽的数，如 ， 等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等.注意解答此类
问题时，常常要结合有理数概念来求解.
12.若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为___.
【答案】6.
【解析】
【分析】
根据正六边形的半径就是其外接圆半径，则最长的对角线就是外接圆的直径，据此进行求解即可.
【详解】正六边形的中心角为 =60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=3，
∴BE=2OB=6，
即正六边形最长的对角线为6，
故答案为：6.
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确把握正六边形的中心角、半径与正六边形的最长对角线的关系是
解题的关键.
13.如图，D是矩形AOBC的对称中心，A(0,4)，B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于
点M，则点M的坐标为___.【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接AB，作DE⊥OB于E，根据矩形是中心对称图形可得D是AB的中点，继而求出点D的坐标，
D(3,2)，设反比例函数的解析式为 ，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据点MM的
纵坐标和A的纵坐标相同，继而可求得点M的横坐标，由此即可得答案.
【详解】如图，连接AB，作DE⊥OB于E，
∴DE∥y轴，
∵D是矩形AOBC的中心，
∴D是AB的中点，
∴DE是△AOB的中位线，
∵OA=4，OB=6，
∴DE= OA=2，OE= OB=3，
∴D(3,2)，
设反比例函数的解析式为 ，∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ，
∵AM∥x轴，
∴M的纵坐标和A的纵坐标相等为4，
把y=4代入 ，得4= ，解得：x= ，
∴M点的横坐标为 ，
∴点M的坐标为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了矩形的对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线等知识，熟练掌握
和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
14.如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6.
P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为___.
【答案】2.
【解析】
【分析】
如图所示，以BD为对称轴作N的对称点 ，连接 ，根据对称性质可知， ，由此可得，当 三点共线时，取“=”，此时即PM—PN的值最大，由正方形的性质求出
AC的长，继而可得 ， ，再证明 ，可得PM∥AB∥CD，∠
90°，判断出△ 为等腰直角三角形，求得 长即可得答案.
【详解】如图所示，以BD为对称轴作N的对称点 ，连接 ，根据对称性质可知， ，∴
，当 三点共线时，取“=”，
为
∵正方形边长 8，
∴AC= AB= ，
∵O为AC中点，
∴AO=OC= ，
∵N为OA中点，
∴ON= ，
∴ ，
∴ ，
∵BM=6，
∴CM=AB-BM=8-6=2，
∴ ，
∴PM∥AB∥CD，∠ 90°，
∵∠ =45°，∴△ 为等腰直角三角形，
∴CM= =2，
故答案为：2.
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题
等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
三、解答题（共78分）
15.计算：
【答案】1＋
【解析】
【分析】
按顺序先分别进行立方根的运算、绝对值的化简、负指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】原式＝－2×(－3)＋ －1－4
＝1＋ .
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了立方根、负整数指数幂等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的
关键.
16.化简：
【答案】a【解析】
【分析】
括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除运算即可.
【详解】原式＝
=
=a.
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
17.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高。请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆。（保留作
图痕迹，不写做法）
【答案】如图所示见解析.
【解析】
【分析】
分别以A、C为圆心，大于AC的一半长为半径画弧，两弧在AC的两侧分别交于两点，过这两点作直线，
与AD交于点O，然后以点O为圆心，以AO长为半径画圆即可.
【详解】如图所示，⊙O即为△ABC的外接圆.【点睛】本题考查了尺规作图——三角形的外接圆，正确把握三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分
线的交点是解题的关键.
18.如图，点A，E，F在直线l上，AE=BF，AC//BF，且AC=BD，求证：CF=DE
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
利用SAS证明△ACF≌△BDE，根据全等三角形的性质即可得.
【详解】∵AE＝BF，
∴AF＝BE，
∵AC∥BD，
∴∠CAF＝∠DBE，
又AC＝BD，
∴△ACF≌△BDE(SAS)，
∴CF＝DE.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键.19.本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时
代”为主题的读书活动。校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：
“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所
示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为 ；
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数。
【答案】（1）如图所示，众数为3（本）；（2）平均数为3；（3）四月份“读书量”为5本的学生人数为
120人.
【解析】
【分析】
(1)根据读书量为1本 的人数以及所占的百分比求出本次所抽取的学生数，然后乘以读书量为4本的百分比
求出4本的人数，据此补全条形图，用1减去其余的百分比求出3本的百分比，据此补全扇形图，根据条
形图即可求得众数；
(2)根据条形图利用加权平均数公式进行求解即可；
(3)用1200乘以5本所占的比例即可得.
【详解】(1)抽取的学生数为：3÷5%=60人，
读书量为4本的人数为：60×20%=12(人)，
读书量为3本的人数所占的百分比为：1-5%-30%-20%-10%=35%，
补全统计图如图所示：读书量为3本的人数最多，所以“读书量”的众数为：3，
故答案为：3.
(2)平均数= ；
(3)四月份“读书量”为5本的学生人数= (人).
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体等，从不同的统计图中获取必要的信息是
解题的关键.
的
20.小明利用刚学过 测量知识来测量学校内一棵古树的高度。一天下午，他和学习小组的同学带着测量工
具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示。于是他们先在古树周围的
空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上
确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动
带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距
离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米。已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直
于FB，求这棵古树的高度AB。（小平面镜的大小忽略不计）【答案】这棵古树的高AB为18m．
【解析】
【分析】
如图，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，则 CH＝BD，BH＝CD＝0.5，继而可得 AB＝BD＋0.5，再证明
△EFG∽△ABC，根据相似三角形的性质得 ，即 ，由此求得BD长，即可求
得AB长.
【详解】如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5，
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°，
由题意，易知∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴ ，即 ，
解得：BD＝17.5，
∴AB=17.5＋0.5＝18(m)，
∴这棵古树的高AB为18m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建直角三角形是
解题的关键.21.根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温
几乎不变。若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）
（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；
（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞
机外气温为－26℃时，飞机距离地面的高度为7km,求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当
时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的
气温。
【答案】(1)y＝m－6x；(2)当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为－50℃
【解析】
【分析】
(1)根据从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃即可写出函数表达式；
(2)将x＝7，y＝－26代入(1)中的解析式可求得当时地面的气温；根据地面气温以及飞机的高度利用(1)中的
解析式即可求得飞机距离地面12km时，飞机外的气温.
【详解】(1) ∵从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃，地面气温为m(℃)，距地面的高度为
x(km)处的气温为y(℃)，
∴y与x之间的函数表达式为：y＝m－6x(0≤x≤11)；
(2)将x＝7，y＝－26代入y＝m－6x，得－26＝m－42，
∴m＝16，
∴当时地面气温为16℃；
∵x＝12＞11，
∴y＝16－6×11＝－50(℃)，
假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为－50℃.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键.
22.现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球。其中，A袋装有2个白球，1个
红球；B袋装有2个红球，1个白球。
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，
若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜。请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则
对双方是否公平。【答案】(1)P(摸出白球)＝ ；(2)这个游戏规则对双方不公平.
【解析】
【分析】
(1)根据A袋中共有3个球 ，其中2个是白球，直接利用概率公式求解即可；
(2)列表得到所有等可能的结果，然后分别求出小林获胜和小华获胜的概率进行比较即可.
【详解】(1)A袋中共有3个球，其中有2个白球，
∴P(摸出白球)＝ ；
(2)根据题意，列表如下：
红1 红2 白
白1 (白1，红1) (白1，红2) (白1，白)
白2 (白2，红1) (白2，红2) (白2，白)
红 (红，红1) (红，红2) (红，白)
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种，
∴P(颜色相同)＝ ，P(颜色不同)＝ ，
∵ ＜ ，
∴这个游戏规则对双方不公平.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数
与总情况数之比．
23.如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，
交⊙O于点D，连接AD.
（1）求证：AB=BE；
（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.【答案】(1)见解析；(2) AD＝ 。
【解析】
【分析】
(1)由切线的性质可得∠BAE＋∠MAB＝90°，进而得∠AEB＋∠AMB＝90°，由等腰三角形的性质得∠MAB＝
∠AMB，继而得到∠BAE＝∠AEB，根据等角对等边即可得结论；
(2)连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC＝90°，利用勾股定理可求得BC=8，证明
△ABC∽△EAM，可得∠C＝∠AME， ，可求得AM＝ ，再由圆周角定理以及等量代换可得
∠D＝∠AMD，继而根据等角对等边即可求得AD＝AM＝ .
【详解】(1)∵AP是⊙O的切线，
∴∠EAM＝90°，
∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，
又∵AB＝BM，
∴∠MAB＝∠AMB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE；
(2)连接BC，∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°
在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，
∴BC＝ =8，
由(1)知，∠BAE＝∠AEB，
又∠ABC=∠EAM=90°，
∴△ABC∽△EAM，
∴∠C＝∠AME， ，
即 ，
∴AM＝ ，
又∵∠D＝∠C，
∴∠D＝∠AMD，
∴AD＝AM＝ .
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知
识，准确识图，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
24.在平面直角坐标系中，已知抛物线L： 经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为 .
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线 上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符
合条件的点P的坐标.
【答案】(1) y=－x2－5x－6；(2)符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或( ， )或(4，2)。
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法进行求解即可得；
(2)由关于原点对称的点的坐标特征可知点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，
利用待定系数法求得抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，根据PD⊥y轴，可
得点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，可得PD＝m，OD＝m2－5m＋6，再由Rt△POD与Rt△AOB相似，分
Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，根据相似三角形的性质分别进行求解即可得.
【详解】(1)由题意，得 ，
解得： ，
∴L：y=－x2－5x－6；
(2)∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为 ，
∴点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，
∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6，
将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，
∵A(－3，0)，B(0，－6)，
∴AO＝3，OB＝6，
设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，
∵PD⊥y轴，
∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，
∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，
∵Rt△PDO与Rt△AOB相似，
∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，
①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则 ，即 ，
解得m＝1，m＝6，
1 2
∴P(1，2)，P(6，12)；
1 2
②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则 ，即 ，
解得m＝ ，m＝4，
3 4
∴P( ， )，P(4，2)，
3 4
∵P 、P、P、P 均在第一象限，
1 2 3 4
∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或( ， )或(4，2).【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及了待定系数法、关于原点对称的抛物线的特点、相似三角形
的判定与性质等，综合性较强，难度较大，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键.
25.问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这
个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC
＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形
的草根景区BCDE。根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，
是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形
BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由。（塔A的占地面积忽略不计）【答案】（1）点D所在的位置见解析；（2）AP的长为2或8；（3）可以，符合要求的□BCDE的最大面
积为 .
【解析】
【分析】
(1)根据平行四边形的特点，分三种情况利用平移的性质得到点D的位置即可；
(2)由题意可知点P在边AD上时，△BPC的面积最大，为满足∠BPC＝90°，根据AB比BC的一半小，以
BC为直径画圆，圆与AD的交点即可满足条件的点P，然后根据已知条件利用勾股定理进行求解即可；
(3)可以，如图所示，连接BD，由已知可得BD=100，∠BED=60°，作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧
上，取 的中点 ，连接 ，则可得△ 为正三角形，连接 并延长，经过点A至
，使 ，连接 ，可得四边形 为菱形，且∠ °，作EF⊥BD，垂足
为F，连接EO，则 ，则有 ，
据此即可求得答案.
【详解】(1)如图所示，有三个符合条件的平行四边形；
(2)如图，∵AB=4，BC=10，
∴取BC的中点O，则OB＞AB，
∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于 两点，
连接 ，
∵∠BPC=90°，点P不能在矩形外；
∴△BPC的顶点P在 或 位置时，△BPC的面积最大，
作 ⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴ ，
由对称性得 ，
综上可知AP的长为2或8；
(3)可以，如图所示，连接BD，
∵A为平行四边形BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，
∴BD=100，∠BED=60°，作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧 上，取 的中点 ，连接 ，
则 ，且∠ =60°，∴△ 为正三角形，
连接 并延长，经过点A至 ，使 ，连接 ，
∵ ⊥BD，
∴四边形 为菱形，且∠ °，
作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则 ，
∴ ，
∴ ，
所以符合要求的□BCDE的最大面积为 .
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性
质等，综合性较强，难度较大，正确画出符合题意的图形是解题的关键.
