文档内容
柳州市2025届高三第二次模拟考试
数学
（考试时间120分钟满分150分）
注意事项：
1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷
上无效.
3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1 .设全集U=&,3,6,8.9}, 4 = {1,6},8={3,6,8},则（34加5=（ ）
A. {6} B. {3,8} C. {8,9} D. {3,6,8}
2 .命题“Vz>0./-故+2>0”的否定是（ ）
A. Vr>0 , x2-3Lr+2^0 B. VxMO ,/一舐+2m0
C. 3r>0 , x2 - 舐+2Mo D. Hr MO 一舐+2 MO
3 .若点A（2.1）在抛物线/=2皆S>0）上，F为抛物线的焦点.则|AF|=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4 .若 cos(a—取=/，则 sin2a=( )
A- -8 B. f C. 7 7
D.
8
5 . 180的不同正因数的个数为()
A. 8 B. 10 C. 12 D. 18
6.若(1—%)5=% + 0］力 + 42/ + ・・・+。5>2：5,则&+04=( )
A. -16 B. 10 C. 15 D. 16
7.在平面直角坐标系MX中，点P在直线2r+3y+l=°上,若向址a =（2,3） ,则而在;;
上的投影向俄为（）
A•（一卷-揖 B.（一看看） （-睿-嚼 D. (_嚼普
柳州市2025届高三第二次模拟考试 数学 第1天（共4页）8 .已知/(矽是定义在R上的偶函数，且/3+2］也是偶函数，且则实数a
的范围是()
A. (l,+oo) B. (-00,1) C. (1,1) D.(-oo l)U(L+oo)
0 Q J
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9 .已知.牙，丁£夫，15］=3,|夕=5,则()
A. y>x B. x+j>1 C. xy<^ D.丘+ 石<及
10 .如图,直四棱柱 ABCD-AtBtCiDi 的底面是梯形，AB//CD , ADxDC, BC=CD=2 ,
DD】=AB=1, P是棱CG的中点，Q是棱GDi上一动点(不包含端点)，则()
A. AC与平面BPQ有可能平行
B.场功与平面BPQ有可能平行
C.三角形BPQ周长的最小值为遮手型
W
D.三棱锥A-8PQ的体积为定值
第10题图
11 .已知函数/S)=cosZr+|sinH|』i］()
A. /(力在(0,3上单调递增
B. /⑵关于直线］=》对称
C. /U)的值域为［。曲
D.关于x的方程fS=a在区间［0述］上有实根,则所有根之和组成的集合为 加,2k}
三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分
12 .设A, B是一个随机试验中的两个事件，若RB)= 1, P(A|B)= |，则P(AB)=.
13 .记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c，若3=三,6=2 , a2+c2=3ac，则
△ABC的面积为.
14 .已知函数/⑶=3-lXz+3X?+az+碰UGR)关于直线1=-2对称，则函数/⑶的
所有零点之和为,/(1)的最小值为.
柳州市2025届南三第二次模拟考试 数学 第2页(共4页)四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・
15.(13分)某公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调企了
500名消费者.得到下表:
满意度 —
性别 合计
满意 不满意
男 220 30 250
女 230 20 250
合计 450 50 500
⑴依据小概率值a=0.1的独立性检验,能否认为消费者对新产品的满意度与性别有关；
(2)若用频率估计概率,从该地区消费者中随机选取3人，用X表示不满意的人数，求X的分
布列与数学期望.
ii(ad-bcf
附：/ = 其中?i=a + b+c+d.
(a + b)[c+d)[a+c)(jb+d)
a 0.1 0.05 0.01
% 2.706 3.841 6.635
, 2
16.(15分)已知双曲线C的方程为芍一A=13>0,6>0),虚轴长为2m,点A(2,3)在曲线
a b
C上.
(1)求双曲线C的离心率
(2)过原点O的直线与双曲线C交于S, 7两点，已知直线AS和人丁的斜率存在.
证明:直线AS和AT的斜率之积为定值.
17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，ZB4D=90°, APAB , APAD与ABCD均为等这
三角形.
⑴证明：PGBD;
(2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
第17题图
柳州市2025届南三第二次模拟考试 数学 第3页(共4页)18.(17分)已知函数 /Cr)= 0), g(x)=AJ7.
(1)求/U)在(0./。)处的切线；
(2)若/U)与g。)的图象有交点.
①当a=0时,求。的取值范围；
②证明：/+小> 津..
19.(17分)对于数列｛%｝，规定｛△%｝为数列｛%｝的一阶差分数列，其中△%=%+】一%伍GN'),
规定｛△?%｝为数列｛%｝的二阶差分数列，其中/%=△%+】 -式"e N).
(1)数列｛%｝的通项公式为%=仇-疗•试判断数列｛△%｝, ｛△?%｝是否为等差数列？请说明
理由.
⑵正项等比数列例｝的公比为由>2)，对于任意的力WN'，都存在"WN•，使得
及bn = bm，求9的值；
⑶设C产期F+21同为数列匕｝的一阶差分数列,令”=华:.其中"y3 ,
证明
Ml *
柳州市2025届高三第二次模拟考试 敬学 第4页(共4页)柳州市2025届数学高三第二次模拟考试
参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C D C A C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对的得部分分.
9. ACD 10. ACD 11. BCD
9 10 11
选2个 选2个
选1个 选1个 选1个 选2个
(AC 选3个 (AC 选3个 选3个
（A或 （A或 （B或C (BC或
或AD ACD 或AD (ACD) (BCD)
C或D） C或D） 或D） BD 或 CD)
或CD) 或CD)
2分 4分 6分 2分 4分 6分 2分 4分 6分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 1 13.2 14. -8 , -16
4 2
四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（13分）解：（1）零假设为“。：消费者对新产品的满意度与性别无关，则
2 = 500x(220x20-230x30X = 20%222<27()6 =
“ 250x250x50x450 9 010
所以，根据小概率值a = 0』。的独立性检验，没有充分证据推断“。不成立,
因此可以认为“0成立，即认为消费者对新产品的满意度与消费者性别无关
（2） X的可能取值为0,1,2,3,且X〜8（3,需）
9 , 729
则 P(X = 0) = (》=
1000尸(X = l) = C；x e x(^)2 = 243
1000
P(X = 2) = C；x(Q x2 = 27
10 1000
P(X = 3) = C；x(Q = 1
1000
X的分布列为
X 0 1 2 3
P 729 243 27 1
1000 1000 1000 1000
3
所以X的期望为E(X)=如=本
‘2b = 2 也
Q = 1
=>
16. (15分)解：⑴由题意〈4 9 « (-,从而=/+〃 =4 =。= 2
=1 Z> = V3
所以双曲线方程，一［=1,离心率e = g = 2
(2)证明：由题意知点S,7关于原点对称
不妨设 Sa。,”),则 T(一 X。, 一光)
设直线4s的斜率为《，直线4T的斜率为
因吹号人碧"廿号碧⑴
2
又点SQoJo),在曲线C上，即考一当■=1
2
火-9
=%=1+葭，代入(*)得脩& =
=3
2
1 + 区一4
3
所以直线AS的斜率和直线AT的斜率之积为定值3.
法二 设过原点的直线ST方程为：y = kx,代入双曲方程3一2=1,
3
得(3-/)，=3,由题意知3 —二工0,..“2 = 3 73
=>x = ± , ,不妨设
3-公 J3-公c,由 上k 、 石 儡、
7 ; 7 /
S( T(一 ~1=7 ~ )，从而
。3 — k J3 —Z y3 - k 、3 — k
= 3/一9(3-公)=12公-27 =
3 ，= 3-4(3 —公)=4k』=
3-k2
所以直线AS的斜率和直线AT的斜率之积为定值3.
17. （15分）（1）证明：过尸作POJL平面Z5CD,垂足为。
由"AB,"AD都是等边三角形知PA = PB = PD
:.OA = OB = OD,又/胡。= 90。，所以。为8。中点
又= AOLBD
又ABCD为等边三角形，；.CO上BD,所以40,C三点共线,即/C_L8D
又POJ.即，所以8D_L平面P4C,又ZCu平面以C
J.BD1.PC
（2证明：）以。为原点建系如图，不妨取力B = 2,由题意知
AO = &,PO = 6,BD = 2®,OC = 76 .则
4（0,-V2,0）, 0,0）,C（0,瓜 0）, DQ&, 0,0）, P（0,0, &）
pa=（0,-0,-夜），丽=（V5,o,-&）,元=电 瓜
设面以8的一个法向量为7 = （xj,z）,则
n*PA - 0 j-&y - yjlz = 0
取x = z = l,y = — 1 即 G = (l,-l,l)
n^PB = Q 显
。
设面pc 的一个法向量为£=a,y,z),则
- 0 [y/6y->/2z- 0 取x = -&y = l,z =区即■=(-框1,收)
m，PD = 0 [-yJ2x - V2z = 0
---- m^n —>/3 — 1 + >/3 y/21
cos < m.n >=，_ _ ,
I m ll〃l =73x77 ~所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为应
21
18. (17 分)解：(1) f'(x) = ex -ca cos x ,
故r(O) = l-ac,又/(O) = e°-〃sinO = l
故在(0,/(0))处的切线方程为^-1 = (1-ac)x，即(1 -ac)x-y +1 = 0
(2〉①当a = 0时，/(x) = e、，由/(O)wg(O)故x>0,
由/a)=g(x)='=W
设"(x) = 2,则
ex (Jx —
ex 1
h'(x)=---------
x
函数/»(x)在(0,g)上单调递减，在(g,+8)单调递增
.•.x>0时，力(x)的最小值为a(g) = J二
所以6的取值范围［、3,+8)
②由题意，存在％ >0使得f(x0) = g(x0)=>ex° -asincx。=久怂
=> asincxQ + 6扁=*
设a = Z8se,b = Zsine,Z>0,则
Z sin 以。cos 8+Z 6 = e "
=ex0 <, tylx0 +sin2 cx0
、 *
=> Z > —7====
“o + sin2%
由 ％ > 0,故 sin2 cx0 <| sin cxQ |< cx0所以年
G+si^cxo J(l + c)x0 41 + c 扃
Xq ____
由①知i— N J2e
\lxo
1 exO 1 /—
故 Z > ‘『—N -----y/2e
y/\+C y]xQ Yl + C
故 "2+/=">，_,即证。
1 + C
19. (17 分)解：⑴△%="”+]-4“ =7?-(〃-1)3 =3〃2-3〃+1
△% = 1,A% = 7 ,ba、—19
/. △/一 △% = 6 w Aa3 - = 12
所以｛△/｝不是等差数列
△2a„ = M”+i - = 6n ,则 AZa.+i -&an = 6, A2at = 6
所以｛A?”,,｝是首项为6,公差为6的等差数列
(2)由题意a=4.，4 >0
管瓦=地--% f)=心2 -2% +b〃=如"+-2如"+如~
又 e N*y3m e N*,於bn =bm
即 4 夕"+1_241"+4夕'一=4夕"1
=>^n+,-2/-/-'=<-*
= /宁-2夕+ 1)=/
=(小)2 =夕…
v q > 2,：. (^-1)2 > 1,则加一〃 >0
若;《_〃 = ],即(g — l)2 =g =g2_3q + ] = 0,解得g = .?,g =^(舍去)
即当夕=土皆时，^neN\BmeN\^bn=bm
当加一〃N2时，则（［一 1）2=4‘"-"2/＞（夕一］）2,对v〃eN•，不存在加6%・工2匕=〃
