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2025 届高三三模数学答案
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
A
C
B
C
C
D
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项
中,有多项符合题目要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0
分.
9.BD
10.BCD
11.ACD
9
10
11
选1 个
（B 或
D）
选2 个
（BD)
选1 个
（B 或C
或D）
选2 个
（BC 或
CD 或
BD）
选3 个
（BCD)
选1 个
（A 或C
或D）
选2 个（AC
或CD 或AD)
选3 个
（ACD）
3 分
6 分
2 分
4 分
6 分
2 分
4 分
6 分
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12. 4
13. 30
14.
2
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15.(13 分）（1）解：由
2
2
2
3 (
)
4
S
b
c
a
及余弦定理
2
2
2
cos
2
b
c
a
A
bc
得1
3
sin
2
cos
2
4
bc
A
bc
A
tan
3
A
又
(0, ),
A
3
A
.
(2)
2
3
3
A
B
C
2
( )
sin(2
)
sin(2
)
2sin(2
)
3
3
3
f x
x
x
x
令
5
2
2
2
(
)
2
3
2
12
12
k
x
k
k
x
k
k
Z
由于
[0, ]
x
取
0
k
，得
5
0
12
x
取
1,
k
得11
12
x
( )
f x 在[0, ]
上的单调递增区间为
5
11
[0,
],[
, ]
12
12
.
16.（15 分）解：（1）
2
( )
3
2
f
x
x
ax
b
，因为
( )
f x 在
1
x
处有极值，
(1)
0
f
，即3
2
0
a
b
----①
又
2
(1)
1
10
f
a
b
a
---②
由①②得
2
12
0,
3
4
a
a
a
a
或
3
3
a
b
或
4
11
a
b
当
3
3
a
b
时，
2
2
( )
3
6
3
3(
1)
0
f
x
x
x
x
故
( )
f x 在R 上单调递增，不可能在在
1
x
处有极值，舍去
所以
11
b
为所求.
（2）由题意
2
( )
3
2
0
f
x
x
ax
b
对任意
[ 1,
),
a
[ 2,0]
x
成立
则
2
( )
2
3
0
g a
ax
x
b
对任意
[ 1,
),
a
[ 2,0]
x
成立
0
x
，
2
0
x
，则( )
g a 在
[ 1,
)
a上递增或为常数函数
2
min
( )
( 1)
2
3
0
g a
g
x
x
b
对任意
[ 2,0]
x
成立
2
min
(2
3
)
b
x
x
又
2
1
1
3
2
3(
)
3
3
x
x
x
，当
1
3
x
时，
2
min
1
(2
3
)
3
x
x
故
1
3
b
，所以b 的最大值为
1
3
.
17. （15 分）证明：（1）由于
PH
平面
BD
ABCD,
平面ABCD ，
故
BD
PH
，
由于底面ABCD 为直角梯形，
故
3
2
,
6
2
2
2
2
BC
AB
AC
AB
AD
BD
作
AC
C
D
//
，且与BC 相交于C,则
12
,6
2
2
2
2
2
2
BC
AB
C
D
C
D
AC
AD
AB
BD
，
18
,
2
3
2
2
2
2
2
2
BD
C
D
C
B
C
B
故
C
D
BD
,所以
BD
AC
,
由于
PH
AC
BD
PH
BD
AC
,
,
,
平面PAC ，
H
PH
AC
,
所以
BD
平面PAC .
（2）由题意可知
,
tan
HC
PH
过H 作BC 的垂线，垂足为E ，连接
,
PE 由于
PH
平面ABCD ，
BC
平面ABCD ，
故
HE
PH
H
HE
PH
BC
HE
BC
PH
,
,
,
,
平面PHE ,
故
BC
平面PHE ，故
BC
PE
，
故
PEH
为二面角
P
BC
A
的平面角，所以
,
tan
HE
PH
从而
3
sin
1
tan
tan
ACB
HE
HC
.
18.(17 分）解：（1）该同学第一天和第二天都选择去A 餐厅为事件M
6
1
3
1
2
1
)
(
M
P
(2) 设
1
M 表示第一天选择去A 餐厅，
2
M 表示第二天选择去A 餐厅，则
1
M 表示第一天选
择去B 餐厅,则
5
2
5
3
1
)
|
(
,
3
1
)
|
(
,
2
1
)
(
,
2
1
)
(
1
2
1
2
1
1
M
M
P
M
M
P
M
P
M
P
所以，
30
11
5
2
2
1
3
1
2
1
)
|
(
)
(
)
|
(
)
(
)
(
1
2
1
1
2
1
2
M
M
P
M
P
M
M
P
M
P
M
P
(3) 设
n
M 表示第n 天选择去A 餐厅，则
n
n
n
n
P
M
P
M
P
P
1
)
(
),
(
根据题意：
5
2
5
3
1
)
|
(
,
3
1
)
|
(
1
1
n
n
n
n
M
M
P
M
M
P
由全概率公式得
5
2
)
1(
3
1
)
|
(
)
(
)
|
(
)
(
)
(
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
P
M
M
P
M
P
M
M
P
M
P
M
P
即
5
2
15
1
1
n
n
P
P
所以
)
8
3
(
15
1
8
3
1
n
n
P
P
，而
8
1
8
3
2
1
8
3
1
P
,所以
}
8
3
{
nP
是以8
1 为首项，
15
1
为公比的等比数列
8
3
)
15
1
(
8
1
)
15
1
(
8
1
8
3
1
1
n
n
n
n
P
P
.
19.（17 分）解：（1）依题意，
4
,
4
16
p
p
，所以
y
x
8
2
.
（2）因为
4
x
y
，
所以切线的斜率为1，从而切线方程为
0
2
y
x
,
所以点
)
2
,0
(
G
设直线BD 方程为
2
kx
y
代入
y
x
8
2
有
0
16
8
2
kx
x
，设
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
D
y
x
B
，则
1
0
64
64
16
8
2
2
2
1
2
1
k
k
x
x
k
x
x
32
|
|
2
GA
,
32
)
1(
16
|
|)
1(
|
||
|
2
2
1
2
k
x
x
k
GB
GD
从而有
2|
| GA
|
|
|
|
GD
GB
（3）由题意知直线PQ 的斜率必存在，故设直线
2
:
mx
y
PQ
，代人
y
x
8
2
有
0
16
8
2
mx
x
，设
)
,
(
),
,
(
4
4
3
3
y
x
Q
y
x
P
所以
16
,
8
4
3
4
3
x
x
m
x
x
设直线PM 方程为
2
2
2
2
3
3
x
x
y
y
，代人
y
x
8
2
有
0
2
16
)
2
2
(
8
3
3
2
x
x
y
x
由
3
3
2
16
2
16
x
x
x
x
M
M
，
2
3
2
64
8
x
x
y
M
M
，所以
)
64
,
2
16
(
2
3
3
x
x
M
，
同理
)
64
,
2
16
(
2
4
4
x
x
N
由抛物线的两点弦方程得直线MN：
4
3
4
3
2
16
2
16
8
)
2
16
2
16
(
x
x
y
x
x
x
，化简得
0
4
2
y
mx
所以直线MN 过定点
)
4,0
(
S
要使点A 到直线MN 距离的最大，则只需
MN
AS
从而最大值为
5
2
)
4
2
(
)
0
4
(
|
|
2
2
AS
.
