江苏省扬州中学2025届高三上学期1月月考数学+答案_2025年1月_250107江苏省扬州中学2025届高三上学期1月月考

高三数学自主学习效果评估
2025.1
一、选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
 
1. 设集合A1,0，B  x 2 x0 ，则AB （ ）
A 1 B. 1,0  C.  x 2 x0  D.  x 2 x0 
.
ai
2.“a 1”是“复数  aR 为纯虚数”的（ ）
1i
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
   
3.已知正方形ABCD的边长为2，若BPPC，则 APBD（ ）
A.2 B.2 C.4 D.4
4.过点P 1,1  的直线l与圆C:x2  y2 4x10交于A,B两点，则 AB 的最大值为
（ ）
A.2 5 B. 15 C.2 3 D.2
5. 已知向量a  ，b  满足a   3,4  ，b   2,1 ，则向量b  在向量a  方向上的投影向量为
（ ）
 6 8  6 8
A.  ,  B. (6,8) C.  ,  D. (4,2)
25 25 5 5
  3  
6. 若cos sin     ，则cos 的值为（ ）
 6 5  3 
3 1 3 1
A. B. C. D.
5 5 5 5
  1 4
7. 已知随机变量~ N 1,2 ，且P(1)P(a)，则  (0 xa)的最小
x a x
值为（ ）
9 7
A.9 B.3 C. D.
2 3
8. 已知alog 3,blog 4,ce0.09，则下列结论正确的是（ ）
4 5
A．abc B．bac C．cba D．bca
1
{{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}二､选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 设等差数列  a  的前n项和为S ，公差为d ，a 0，a a 0，a a 0，下列
n n 1 6 7 6 7
结论正确的是( ).
A. a 0，a 0 B. d 0 C. S 0 D. 当n7时，S 最大
6 7 13 n
10.已知A,B为随机事件，P  A 0.5,P  B 0.4，则下列结论正确的有（ ）
A.若A,B为互斥事件，则P  AB 0.9 B.若A,B为互斥事件，则P  AB  0.1
C.若A,B相互独立，则P  AB 0.7 D.若P  B∣A 0.3，则P  B∣A  0.5
11.在正三棱锥PABC 中，AB2 3，PA 7 ，三棱锥PABC 的内切球球心为O，
顶点P在底面ABC的射影为Q，且PQ中点为M ，则下列说法正确的是（ ）
2 7
A. 三棱锥PABC 的体积为3 B. 二面角M  ABP的余弦值为
7
4
C. 球O的表面积为 π D. 若在此三棱锥中再放入一个球O ，使其与三个
1
3
3
侧面及内切球O均相切，则球O 的半径为
1
9
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12．等比数列  a  的各项均为正数，若a a a 7,a a 2a ，则
n 1 2 3 4 3 2
a a a ______.
7 8 9
13．若n为一组从小到大排列的数1，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则(2x y1)n
的展开式中x2y3的系数为__________.
14. 已知关于 x 的方程 asinxb1cosx2b20 有解，则 a2 b2 的最小值为
__________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或步骤.
B B
15.① 3cosB 22sin cos ，② 3bsinC ccosB，③ ba  ba c2  3ac
2 2
2
{{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.
问题：已知ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a  4，c  3b，______，
求（1）B； （2）ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
16.如图，在四面体ABCD中，△ACD是边长为3的正三角
形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为
   
线段AB，BC的中点，AM  2MD，CN  2ND.
（1）求证：EF//平面MNB；
（2）若平面ACD 平面ABC，求直线BD与平面MNB所
成角的正弦值.
17.黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来
1 2
黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中 的人计划只参观罗田天堂寨，另外 的
3 3
人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁.每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既
参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分.假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览
东坡赤壁相互独立，视频率为概率.
（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望；
 
（2）从游客中随机抽取n人 n N* ，记这n人的合计得分恰为n1分的概率为P ，求
n
n
P
.
i
i1
3
{{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}x2 y2 3
18. 已知椭圆C:  1  a b 0 的离心率为 ，过C的右顶点A的直线l与C的
a2 b2 2
2 5
另一交点为P.当P为C的上顶点时，原点到l的距离为 .
5
（1）求C的标准方程；
（2）过A与l垂直的直线交抛物线 y2 8x于M,N 两点，求PMN 面积的最小值.
19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图
所示的光滑曲线C：y f x上的曲线段AB ，其弧长为s，当动点从A沿曲线段AB 运动
到B点时，A点的切线l 也随着转动到B点的切线l ，记这两条切线之间的夹角为(它等
A B
于l 的倾斜角与l 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越
B A
Δ
大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K  为曲线段AB 的平均
Δs
曲率；显然当B越接近A，即s越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因
Δ y
K  lim 
此定义 Δs0 Δs  1y2 3
2
(若极限存在)为曲线C在点A处的曲率．(其中y＇，y＇＇分别
表示y f x在点A处的一阶、二阶导数)
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
x2  1
(2)求椭圆 y2 1在 3, 处的曲率；
4  2
(3)定义 y 2 2 y 为曲线y f x的“柯西曲率”．已知在曲线 f xxlnx2x上存在
1y3
两点P  x ,f x 和Q  x , f x ，若x 8x 且P，Q处的“柯西曲率”相同，求3 x 3 x 的
1 1 2 2 2 1 1 2
最小值．
4
{{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}1月答案
一、选择题：
1.A 2.C 3.B 4.A 5.A 6.D 7.B 8.C
二、选择题：
9.BC 10. ACD 11. ACD
三、填空题：
3
12. 448 13. 840 14.
4
四、解答题：
B B
15. 解：选①：由 3cosB 22sin cos 得sinB 3cosB 2 ，
2 2
  
即sinB  1，因为B 0, ，所以B  ．
 3  6
选②：由正弦定理得得 3sinBsinC sinCcosB，因为sinC 0，
所以 3sinB cosB．
因为cosB0，所以tanB 
3 ．因为B 0,
，所以B 

．
3 6
a2 c2 b2 3ac 3
选③：由题意得c2 a2 b2  3ac，得cosB   ．
2ac 2ac 2

因为B 0,
，所以B  ．
6
sinC c 1 3
又因为   3，所以sinC  3sinB  3  ．
sinB b 2 2
 2
由C 0, ，所以C  或C  ．
3 3
 
当C  时，A ，又因为a  4，所以b2，c 2 3．
3 2
1
则面积S  22 3 2 3．
2
2 
当C  时，A ，所以AB．又因为a  4，所以b4．
3 6
1 3
则面积S  44 4 3．
2 2
综上所述，ABC的面积为2 3或4 3．
16..解：（1）因为E，F分别为线段AB，BC中点，所以EF//AC.
1
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{{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}    DM DN 1
因为AM  2MD，CN  2ND，即   ，所以MN//AC，所以EF//MN .
DA DC 3
又MN 平面MNB，EF 平面MNB，所以EF//平面MNB.
（2）取AC中点O，连接DO，OE
因为△ACD为正三角形，所以DO  AC .
因为平面ACD 平面ABC，平面ACD平面ABC  AC ，DO 平面ACD，
所以DO 平面ABC.
因为O，E分别为AC，AB中点，则OE//BC.
又因为AC  BC，所以OE  AC.
以O为坐标原点，OE，OC，OD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
 3 3  3   1   1 
则D

0,0, 

，B3, ,0，M 0, , 3，N0, , 3，
 2   2   2   2 
    3 3 3
故BM  (3,2, 3)，MN  (0,1,0)，BD 3, , .
 
 2 2 

设平面MNB的法向量为n  (x,y,z)，直线BD与平面MNB所成角 为，


 nBM  0, 3x2y 3z  0, 
则  即 取n  ( 3,0,3).

nMN  0, y  0.
9 3
  3 30 3 3
  BDn 2 2 2
则sin cos BD,n      ，

BD n 9 27 3 2 2 3 8
9   39
4 4
2
所以BD与平面MNB所成角的正弦值为 .
8
17【小问1详解】
由题意得，随机变量X 的可能取值为2，3，4，
1 2 1 1 2 4 2 2 4
可得P(X 2)    ，P(X 3)  C1    ，P(X 4)    .
3 9 2 3 3 9 3 9
所以X 的分布列如下表所示：
X 2 3 4
1 4 4
P
9 9 9
1 4 4 10
所以，数学期望为E(X)2 3 4  .
9 9 9 3
【小问2详解】
由这n人的合计得分为n1分，则其中只有1人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，
2
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{{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}2 1 n1 2n n 2 22 23 2n
所以P C1  
 
 ,P     ，
n n 3 3 3n i 3 32 33 3n
i1
1 n 2 22 23 2n
则 P     ，
3 i 32 33 34 3n1
i1
1
1
由两式相减，可得
2

n
P 
2

2

2

2

2n

2

3n

2n
，
3 i 3 32 33 3n 3n1 3 1 3n1
i1 1
3
n 3 1  n
所以P  1   .
i 2 3n  3n
i1
 
18. 解（1）由题意知：A a,0 ，
x y
若P为C的上顶点，则P  0,b  ，l:  1，即bxayab0，
a b
ab 2 5
原点到l的距离d   ，
a2 b2 5
c 3
又离心率e  ，a2 b2 c2，a2，b1，
a 2
x2
椭圆C的标准方程为：  y2 1.
4
(2)由题意知：直线l斜率存在；
①当直线l斜率为0时，l:y0，P 2,0  ；此时直线MN:x 2，
1 1
则M  2,4  ，N  2,4  ，S  MN  PA  8416；
PMN 2 2
②当直线l斜率存在且不为0时，l:y k  x2  ，
y k  x2 
  
由x2 得： 14k2 x2 16k2x16k2 40，
  y2 1
 4
又A  2,0  ，x  8k2 2 ，则 y  6k ，P   8k2 2 , 4k  ；
P 14k2 P 14k2 14k2 14k2

1
又直线MN :y   x2 ，
k
 1
y   x2 
 
由 k 得：x2  8k2 4 x40，x x 8k24；
M N
 y2 8x
3
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{{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}y2 8x的焦点为A  2,0  ， MN  x x 48k28，
M N
8k2 2  2  4k  2 4 k2 1
又 AP   2      ，
14k2   14k2  14k2
1 16  k2 1   k2 1
，
S  AP  MN 
PMN 2 14k2
16t3
设 k2 1t 1，则k2 t2 1，S   t 1 ，
PMN 4t2 3
令 f  t 
16t3
，则 f t 
48t2 4t2 3  16t38t

16t2 2t3  2t3 
，
4t2 3  4t2 3 2  4t2 3 2
 3 3 
当t1, 时， f t 0；当t  , 时， f t 0；
 2 2 
 f  t  在  1, 3 上单调递减，在   3 ,  上单调递增， f  t   f   3   9，
 2 2  min 2
即  S  9；
△PMN min
综上所述：PMN 面积的最小值为9.
π
Δ
3
19.解(1)K   1．
Δs π
3
1 1 3
(2)y 1 x2 ， y x 1 x2    2， y 1 1 x2   2  x2 1 x2   2 ，
4 4 4  4 4  16 4 
2 16 7
K  
故y
x 3

2
3 ，y
x 3
2，故
 1 3 
3
2
49 ．
 4
1 2 2 y'' 2 2 2 2
(3) fxlnx1， fx ，故y   ，其中s 3 x，
x 1 y3 xlnx3 3slns3
tlnt t
令t  3 x ，t  3 x ，则t lnt t lnt ，则 lnt  ，其中 t 2 2(因为x 8x )
1 1 2 2 1 1 2 2 1 t1 t 2 1
1
 1 1  1
令 pxxlnx，px1lnx px在0, 递减，在 ,递增，故1t  t 0；
 e e  2 e 1
tlnt
令htlnt t lnt1 ，
1 2 t1
h't
t
1
12
 

lnt 2
t
t


1
1 

，令m(t)lnt 2
t
t


1
1
(t2)
，
4
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{{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}则 m(t)
t12
，当 t2
时，m(t)0恒成立，故m(t)在
2，上单调递增，
t(t1)
2t1
可得 ，即lnt 0，
m(t)m(2)0
t1
1  2t1
故有ht lnt  0，
t12

t1

则ht在 2，递增，
3
故lnt t ln ，
1 2 4
3
故3 x  3 x 的最小值为 ．
1 2 4
5
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{{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}