江苏省扬州中学2025届高三上学期1月月考数学+答案_2025年1月_250107江苏省扬州中学2025届高三上学期1月月考

高三数学自主学习效果评估 2025.1 一、选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.   1. 设集合A1,0，B  x 2 x0 ，则AB （ ） A 1 B. 1,0  C.  x 2 x0  D.  x 2 x0  . ai 2.“a 1”是“复数  aR 为纯虚数”的（ ） 1i A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件     3.已知正方形ABCD的边长为2，若BPPC，则 APBD（ ） A.2 B.2 C.4 D.4 4.过点P 1,1  的直线l与圆C:x2  y2 4x10交于A,B两点，则 AB 的最大值为 （ ） A.2 5 B. 15 C.2 3 D.2 5. 已知向量a  ，b  满足a   3,4  ，b   2,1 ，则向量b  在向量a  方向上的投影向量为 （ ）  6 8  6 8 A.  ,  B. (6,8) C.  ,  D. (4,2) 25 25 5 5   3   6. 若cos sin     ，则cos 的值为（ ）  6 5  3  3 1 3 1 A. B. C. D. 5 5 5 5   1 4 7. 已知随机变量~ N 1,2 ，且P(1)P(a)，则  (0 xa)的最小 x a x 值为（ ） 9 7 A.9 B.3 C. D. 2 3 8. 已知alog 3,blog 4,ce0.09，则下列结论正确的是（ ） 4 5 A．abc B．bac C．cba D．bca 1 {{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}二､选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9. 设等差数列  a  的前n项和为S ，公差为d ，a 0，a a 0，a a 0，下列 n n 1 6 7 6 7 结论正确的是( ). A. a 0，a 0 B. d 0 C. S 0 D. 当n7时，S 最大 6 7 13 n 10.已知A,B为随机事件，P  A 0.5,P  B 0.4，则下列结论正确的有（ ） A.若A,B为互斥事件，则P  AB 0.9 B.若A,B为互斥事件，则P  AB  0.1 C.若A,B相互独立，则P  AB 0.7 D.若P  B∣A 0.3，则P  B∣A  0.5 11.在正三棱锥PABC 中，AB2 3，PA 7 ，三棱锥PABC 的内切球球心为O， 顶点P在底面ABC的射影为Q，且PQ中点为M ，则下列说法正确的是（ ） 2 7 A. 三棱锥PABC 的体积为3 B. 二面角M  ABP的余弦值为 7 4 C. 球O的表面积为 π D. 若在此三棱锥中再放入一个球O ，使其与三个 1 3 3 侧面及内切球O均相切，则球O 的半径为 1 9 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．等比数列  a  的各项均为正数，若a a a 7,a a 2a ，则 n 1 2 3 4 3 2 a a a ______. 7 8 9 13．若n为一组从小到大排列的数1，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则(2x y1)n 的展开式中x2y3的系数为__________. 14. 已知关于 x 的方程 asinxb1cosx2b20 有解，则 a2 b2 的最小值为 __________. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或步骤. B B 15.① 3cosB 22sin cos ，② 3bsinC ccosB，③ ba  ba c2  3ac 2 2 2 {{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：已知ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a  4，c  3b，______， 求（1）B； （2）ABC的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16.如图，在四面体ABCD中，△ACD是边长为3的正三角 形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为     线段AB，BC的中点，AM  2MD，CN  2ND. （1）求证：EF//平面MNB； （2）若平面ACD 平面ABC，求直线BD与平面MNB所 成角的正弦值. 17.黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来 1 2 黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中 的人计划只参观罗田天堂寨，另外 的 3 3 人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁.每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既 参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分.假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览 东坡赤壁相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望；   （2）从游客中随机抽取n人 n N* ，记这n人的合计得分恰为n1分的概率为P ，求 n n P . i i1 3 {{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}x2 y2 3 18. 已知椭圆C:  1  a b 0 的离心率为 ，过C的右顶点A的直线l与C的 a2 b2 2 2 5 另一交点为P.当P为C的上顶点时，原点到l的距离为 . 5 （1）求C的标准方程； （2）过A与l垂直的直线交抛物线 y2 8x于M,N 两点，求PMN 面积的最小值. 19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图 所示的光滑曲线C：y f x上的曲线段AB ，其弧长为s，当动点从A沿曲线段AB 运动 到B点时，A点的切线l 也随着转动到B点的切线l ，记这两条切线之间的夹角为(它等 A B 于l 的倾斜角与l 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越 B A Δ 大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K  为曲线段AB 的平均 Δs 曲率；显然当B越接近A，即s越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因 Δ y K  lim  此定义 Δs0 Δs  1y2 3 2 (若极限存在)为曲线C在点A处的曲率．(其中y＇，y＇＇分别 表示y f x在点A处的一阶、二阶导数) (1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率； x2  1 (2)求椭圆 y2 1在 3, 处的曲率； 4  2 (3)定义 y 2 2 y 为曲线y f x的“柯西曲率”．已知在曲线 f xxlnx2x上存在 1y3 两点P  x ,f x 和Q  x , f x ，若x 8x 且P，Q处的“柯西曲率”相同，求3 x 3 x 的 1 1 2 2 2 1 1 2 最小值． 4 {{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}1月答案 一、选择题： 1.A 2.C 3.B 4.A 5.A 6.D 7.B 8.C 二、选择题： 9.BC 10. ACD 11. ACD 三、填空题： 3 12. 448 13. 840 14. 4 四、解答题： B B 15. 解：选①：由 3cosB 22sin cos 得sinB 3cosB 2 ， 2 2    即sinB  1，因为B 0, ，所以B  ．  3  6 选②：由正弦定理得得 3sinBsinC sinCcosB，因为sinC 0， 所以 3sinB cosB． 因为cosB0，所以tanB  3 ．因为B 0, ，所以B   ． 3 6 a2 c2 b2 3ac 3 选③：由题意得c2 a2 b2  3ac，得cosB   ． 2ac 2ac 2  因为B 0, ，所以B  ． 6 sinC c 1 3 又因为   3，所以sinC  3sinB  3  ． sinB b 2 2  2 由C 0, ，所以C  或C  ． 3 3   当C  时，A ，又因为a  4，所以b2，c 2 3． 3 2 1 则面积S  22 3 2 3． 2 2  当C  时，A ，所以AB．又因为a  4，所以b4． 3 6 1 3 则面积S  44 4 3． 2 2 综上所述，ABC的面积为2 3或4 3． 16..解：（1）因为E，F分别为线段AB，BC中点，所以EF//AC. 1 学科网（北京）股份有限公司 {{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}    DM DN 1 因为AM  2MD，CN  2ND，即   ，所以MN//AC，所以EF//MN . DA DC 3 又MN 平面MNB，EF 平面MNB，所以EF//平面MNB. （2）取AC中点O，连接DO，OE 因为△ACD为正三角形，所以DO  AC . 因为平面ACD 平面ABC，平面ACD平面ABC  AC ，DO 平面ACD， 所以DO 平面ABC. 因为O，E分别为AC，AB中点，则OE//BC. 又因为AC  BC，所以OE  AC. 以O为坐标原点，OE，OC，OD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，  3 3  3   1   1  则D  0,0,   ，B3, ,0，M 0, , 3，N0, , 3，  2   2   2   2      3 3 3 故BM  (3,2, 3)，MN  (0,1,0)，BD 3, , .    2 2   设平面MNB的法向量为n  (x,y,z)，直线BD与平面MNB所成角 为，    nBM  0, 3x2y 3z  0,  则  即 取n  ( 3,0,3).  nMN  0, y  0. 9 3   3 30 3 3   BDn 2 2 2 则sin cos BD,n      ，  BD n 9 27 3 2 2 3 8 9   39 4 4 2 所以BD与平面MNB所成角的正弦值为 . 8 17【小问1详解】 由题意得，随机变量X 的可能取值为2，3，4， 1 2 1 1 2 4 2 2 4 可得P(X 2)    ，P(X 3)  C1    ，P(X 4)    . 3 9 2 3 3 9 3 9 所以X 的分布列如下表所示： X 2 3 4 1 4 4 P 9 9 9 1 4 4 10 所以，数学期望为E(X)2 3 4  . 9 9 9 3 【小问2详解】 由这n人的合计得分为n1分，则其中只有1人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁， 2 学科网（北京）股份有限公司 {{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}2 1 n1 2n n 2 22 23 2n 所以P C1      ,P     ， n n 3 3 3n i 3 32 33 3n i1 1 n 2 22 23 2n 则 P     ， 3 i 32 33 34 3n1 i1 1 1 由两式相减，可得 2  n P  2  2  2  2  2n  2  3n  2n ， 3 i 3 32 33 3n 3n1 3 1 3n1 i1 1 3 n 3 1  n 所以P  1   . i 2 3n  3n i1   18. 解（1）由题意知：A a,0 ， x y 若P为C的上顶点，则P  0,b  ，l:  1，即bxayab0， a b ab 2 5 原点到l的距离d   ， a2 b2 5 c 3 又离心率e  ，a2 b2 c2，a2，b1， a 2 x2 椭圆C的标准方程为：  y2 1. 4 (2)由题意知：直线l斜率存在； ①当直线l斜率为0时，l:y0，P 2,0  ；此时直线MN:x 2， 1 1 则M  2,4  ，N  2,4  ，S  MN  PA  8416； PMN 2 2 ②当直线l斜率存在且不为0时，l:y k  x2  ， y k  x2     由x2 得： 14k2 x2 16k2x16k2 40，   y2 1  4 又A  2,0  ，x  8k2 2 ，则 y  6k ，P   8k2 2 , 4k  ； P 14k2 P 14k2 14k2 14k2  1 又直线MN :y   x2 ， k  1 y   x2    由 k 得：x2  8k2 4 x40，x x 8k24； M N  y2 8x 3 学科网（北京）股份有限公司 {{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}y2 8x的焦点为A  2,0  ， MN  x x 48k28， M N 8k2 2  2  4k  2 4 k2 1 又 AP   2      ， 14k2   14k2  14k2 1 16  k2 1   k2 1 ， S  AP  MN  PMN 2 14k2 16t3 设 k2 1t 1，则k2 t2 1，S   t 1 ， PMN 4t2 3 令 f  t  16t3 ，则 f t  48t2 4t2 3  16t38t  16t2 2t3  2t3  ， 4t2 3  4t2 3 2  4t2 3 2  3 3  当t1, 时， f t 0；当t  , 时， f t 0；  2 2   f  t  在  1, 3 上单调递减，在   3 ,  上单调递增， f  t   f   3   9，  2 2  min 2 即  S  9； △PMN min 综上所述：PMN 面积的最小值为9. π Δ 3 19.解(1)K   1． Δs π 3 1 1 3 (2)y 1 x2 ， y x 1 x2    2， y 1 1 x2   2  x2 1 x2   2 ， 4 4 4  4 4  16 4  2 16 7 K   故y x 3  2 3 ，y x 3 2，故  1 3  3 2 49 ．  4 1 2 2 y'' 2 2 2 2 (3) fxlnx1， fx ，故y   ，其中s 3 x， x 1 y3 xlnx3 3slns3 tlnt t 令t  3 x ，t  3 x ，则t lnt t lnt ，则 lnt  ，其中 t 2 2(因为x 8x ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 t1 t 2 1 1  1 1  1 令 pxxlnx，px1lnx px在0, 递减，在 ,递增，故1t  t 0；  e e  2 e 1 tlnt 令htlnt t lnt1 ， 1 2 t1 h't t 1 12    lnt 2 t t   1 1   ，令m(t)lnt 2 t t   1 1 (t2) ， 4 学科网（北京）股份有限公司 {{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}则 m(t) t12 ，当 t2 时，m(t)0恒成立，故m(t)在 2，上单调递增， t(t1) 2t1 可得 ，即lnt 0， m(t)m(2)0 t1 1  2t1 故有ht lnt  0， t12  t1  则ht在 2，递增， 3 故lnt t ln ， 1 2 4 3 故3 x  3 x 的最小值为 ． 1 2 4 5 学科网（北京）股份有限公司 {{##{{QQQQAABBQSYYACwQ5oggKAYo0QABSBAACARR5grCQQww2U2QCACuAQCkQpkEghGLAcgAEYggQGABEBOAAMQIArSAYBFiAAFBAIBAA=}A#=}}#}